Введение к работе
Предмет исследования. Гауссовыми числами называют натуральные числа, представпмые в виде суммы двух квадратов целых чисел.
В последние десятилетия после известных работ К.Хоолн (см.. например, [5]) возродился интерес к изучению теоретико-числовых проблем, касающихся последовательности гауссовых чисел s. Известно, что эта последовательность является полугруппой по умножению и поэтому ее свойства тесно связаны с последовательностью простых чисел натурального ряда. Сравнивая арифметические свойства последовательностей простых чисел и гауссовых чисел, следует отметить, что по существу последовательность гауссовых чисел "устроена " не менее сложно, чем последовательность простых чисел. Например, в обоих случаях известные функции плотности Ф(і) = 53 -Чп) п (-г) = Л 1 выражаются
через нули рядов Дирихле похожим образом, причем во втором случае соответствующая формула имеет более сложный вид. С другой стороны, полугрупповой характер последовательности гауссовых чисел позволяет предполагать большую регулярность этой последовательности относительно некоторых других теоретико - числовых проблем. Данная диссертация посвящена, в частности, исследованию подобного рода задач.
Актуальность темы. Первые свойства гауссовых чисел были установлены еще в средние века. В частности, Фибоначчи доказал пх полугрупповое свойство. Ряд результатов о структуре этой последовательности был получен Эйлером и Гауссом. В 1908 г. Э.Ландау [14] вывел асимптотическую формулу для функции S(x), т.е. количества гауссовых чисел, не превосходящих х. В шестидесятых годах К. Хоолн [5] рассматривал задачи о расстоянии между соседними гауссовыми числами. С помощью разработанной им тонкой техники в методе решета, он установил s„+i — s„ ^ s", где а = |4 +є, Є > 0 - сколь угодно малое фиксированное число. Интересно сравнить этот результат с последними результатами в аналогичной задаче для простых чисел: рп+і — Рп ^ Рп (см. [22]). Данный пример показывает большую регулярность последовательности гауссовых чисел в задаче об оценке сверху расстояния между соседними членами последовательности.
Решение аддитивных задач и проблем распределения значений дробных частей функций, связанных с последовательностью гауссовых чисел потребовало получения оценок соответствующих тригонометрических сумм. Эта работа была выполнена А. Хосшш [21]. Более точные ре-
2.
зультаты получены в работах [17], [18]. Отметим, что эти оценки тригонометрических сумм по точности такие нее, как и, оценки И.М.Виноградов; сумм с простыми числами.
Отметим также, что для широкого калеса мультипликативных функций Б.В. Левин и Н.М.Тимофеев [15], [16] получили аналог теоремы Виноградова - Бомбьерп о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем. При решении ряда аддитивных задач теоремы подобного вида обычно позволяют заменить использование в доказательстве расширенной гипотезы Рішана на эти теоремы.
Цель исследования:. 1. Получение оценки сверху количества гауссовых чисел в арифметической прогрессии, не превосходящих любой наперёд заданной границы.
-
Вывод асимптотической формулы для среднего значения количества делителей на последовательности "сдвинутых " гауссовых чисел.
-
Получение асимптотической формулы в обобщенной проблеме делителей с четным числом сомножителей на последовательности гауссовых чисел, л с остаточным членом, имеющим степенное понижение по сравнению с главным членом асимптотики.
Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теори-тический характер. Результаты диссертации и методика их получения могут быть использованы в аддитивной теории чисел.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по аналитической теории чисел в МГУ под руководством профессоров Г. И. Архппова и В. Н. Чубарикова.
Публикации. По теме диссертации опубликованн одна работа и 3 работы находятся в печати.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Объем работы девяносто две страницы, спнекок литературы включает двадцать восемь названий.