Введение к работе
- з -Актуальность темы. В 1742 году Гольдбах в
іисьме к Эйлеру высказал предположение, что кавдое четное число, зачиная с 6, является суммой двух простых чисел. Это предположение ^бинарная гипотеза Гольдбаха) не доказано до сих пор, так же, как Золее слабое утвервдение о том, что кавдое нечетное число, начиная з 9, является суммой трех нечетных простых чисел (тернарная гипотеза Гольдбаха). Харда и Литтлвуд в 1923, 1924 годах на основе сознанного ими кругового метода связали проблемы Гольдбаха с расширенной гипотезой Римана. В 1937 году Виноградов соединил метод Харди-Литтлвуда с полученной им оденкой тригонометрической суми do просты".' числам и доказал, что кавдое достаточно большое нечетное числе является суммой трех простых чисел (теорема Виноградова-Гольдбаха). Линник в 1946 году дал другое доказательство теоре:.н Виноградова-Гольдбаха, заменив оценку тригонометрической суммы теоремой о плотности нулей /,- функций Дирихле.
Различные обобщения теоремы Виноградова-Гольдбаха рассматривались многими авторами. Ван дер Корпут (1939 г.), Джеймс и ВеЗль (1942 г.), Цулау! (1952 г.), Рихерт (1953 г.) исследовали представления натуральных чисел в виде целочисленной линейной комбинации более чем двух простых чисел, принадлежащих к заданным арифметическим прогрессиям.'.
By Фанг в 1957 году подучил асимптотическую формулу, для количества решений в простых числах систем линейных уравнений, удовлетворяющих некоторым'.условиям. Туляганова и Файнлейб в 1989 годі' для более широкого класса систем доказали асимптотическое разложение количества их решений в простых числах (и,в частности,асимптотическое разложение числа представлений большого нечетного числа суммой'трех простых чисел).Хейзлгроув (Г951г.),Статулявпчус (1955), Дан (Г959г.),Чев(1965г.) рассматривали представления большого
-if -
нечетного числа суммой трех "почти равных" простых чисел.
Методы Харди-Литтлвуда и Виноградова оказались применимыми- и к биварксй проблеме Гольдбаха, но здесь удается только' доказать представимость "почти всех" четных чисел суммой двух: простых чисел. Первые результаты в отом направлении получили почти одновременно и независимо друг от друга Чудаков в Г937г., Ван дер-Корпу: (1937г.), Хуа (1938г.), Эстерман (1938г.). Они доказали, что все четные числа не превосходящие л , исключая <& %,\ШО А) из них, представимы суммой двух простых чисел; здесь А - любая положительная константа, постоянная в символе <ЗС зависит от А Впоследствии аналогичный результат для разности простых чисел получил Лаврик в 1960г. Б 1972 году Вон показал, что число искл! чений в бинарной проблеме Гольдбаха «g, X &ZQ (- С (иЮ X) )
С >0 - постоянная. Еде в 1924 году Харди и Литтлвуд выве; из расширенной гипотезы Рипана, что Е(Х) < Л " . В 1975 году Монтгомери и Вон существенно усилили круговой метод, связав его с мультипликативной теорией чисел, что-позволило км-получить эту оценку независимо от каких-либо недоказанных гипоте: Еашг/ю роль при этом сыграло неравенство Галлахера (1970г.) для сумм примитивных характеров по простым числам, основанное на доказанной им плотностной теореме для L -рядов. Лю в 1987 году обобщил результат Монтгомери-Бона, заменив сушу двух простых чисел их целочисленной линейной комбинацией.
Цель работы. В диссертации рассматриваются задачи і разрешимости бинарного линейного уравнения W.fl + ^tPy =^ в простых числах Р , D г асимптотически линейно зависящих от I (например, "почти равных"). Есть основания предполагать, что еслі
ILj и U.» взаимно просты, П. достаточно велико, взаимно престо с LLi U2 и четно в случае нечетности U; U^ » то это
уравнение разрешимо в простых числах с указанными ограничениями. Устанавливается связь между верхней границей плотности таких ҐІ , для которых эта гипотеза может оказаться неверной, и точностью асимптотических формул для Р. и А . Полученные оценки равномерны по всем параметрам.
Методы исследования. Результаты основаны на мультипликативной версии кругового метода и оценках тригонометрических сумм и сумм примитивных характеров по простым чис--
лам.. Научная новизна. Все результаты диссертации
являются новыми.-
Апробация работы. Основные результаты диссерг— тации докладывались на Всесоюзной конференции "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (Минск, 1989), на научно--теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава Джизакского филиала Ташкентского политехнического института (I987-I99Q), Джизакского филиала Ташкентского архитектурно-строительного института (1991), Джизакского политехнического института (1992)г на научно-теоретических конференциях молодых ученых Днизакского педагогического института (1989, 1992), на научно-исследовательском семинаре доктора физ.-мат — наук М.И.Тулягановой в Институте математики им.В.И.Романовскопг
АН РУз.
П у б л к к-& ц и и. По теме диссертации опубликовано
8 работ,. в~которых отражено ее основное содержание.
Объем работы. Диссертация изложена на 114 страницах машинописного- текста и состоит из введения, трех глав, разделенных на шесть параграфов, и библиографии, содержащей 38 наименований.
- б -