Распределение представлений целых чисел квадратичными формами в поле рациональных чисел и в мнимых квадратичных полях Фоменко, Олег Мстиславович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕЛЫ. Проблема представления целых чисел индивидуальной целочисленной квадратичной формой в полях алгебраических чисел на протяжении длительного времени является одной из центральных задач в теории чисел.

Исторически исследования начались с рационального случая, на котором мы особо остановимся, ограничившись при этом положительно определенными формами. При рассмотрении проблемы по степени сложности выделяются вопросы: качественные результаты (доказательство представимости) и количественные результаты (количественные характеристики для числа решений и изучение распределения представлений или, что то же, изучение распределения'целых точек на соответствующих поверхностях). Первые результаты в данной тематика касались представления целых чисел суммой квадратов целых чисел и были доказаны еще в 19 веке. Наиболее знаменитые формулы били получены Гауссом (для количества представлений целого числа суммой трех квадратов) и Якоби (для количества представлений целого числа суммой четырех квадратов). В дальнейшем уже в нашем веке создание кругового метода Харди-Литтлвуда и продвижение этого метода Клостер-маном и прогресс в теории модулярных форм (Гекке) привели к исследованию проблемы представления чисел общими положительно определенными квадратичными формами от I переменных, где-і^. 4. Значительные результаты в случае теркарннх квадратичных форм получили акад. Ю.В.Линник и его школа (А.Б.Малышев, В.Г.Тетерин) и Е.П.Голубева, а в последние годы - Иванец.

Прогресс в теории модулярных форм как целого веса (Делинь), так и полуцелого веса (Шимура, Вальдшпуржер, Иванец), наблюдаемый'в последние десятилетия, делают актуальной задачу создания метода, использующего ети достижения для получения новых результатов в проблеме распределения целых точек на і -мерных эллипсоидах, где I 3.

Методы и (многие) упомянутые выше результаты могут быть (и уже) перенесены на случай вполне положительно определенных квадратичных форм над вполне вещественны/ полом алгебраических чисел.

Весьма труден и значительно менее изучен случай представления целых чисел не вполне вещественного поля алгебраических чисел К квадратичными формами над кольцом целых чисел этого поля. Эта проблематика относится к т.н. "неопределенному случаю". Зигель доказал, что если К -не вполне вещественное поле алгебраических чисел, то все вполне положительные числа в J_z (= кольцо, порожденное квадратами всех целых чисел из К ) являются суммами пяти квадратов целых чисел этого поля. Известную гипотезу о том, что четырех квадратов в данной задаче достаточно, в случае мнимого квадратичного поля доказали Кон и Полл, а в общем случае (с помощью созданной Айхлером и Кнезером в 50- 60-е года теории спинорных родов)⁵ - Корнер.

Вце Зигель показал, что в общем случае трех квадратов не хватает для представимости. Недавно теория спинорных родов Лйхлера-Кнезера была с успехом применена Эстесом и Сия для исследования вопроса о представимости целых чисел мнішого квадратичного поля суммой трех квадратов целых чи-сзл втого поля.

Зигель получил свои результаты как следствие некоторых асимптотических формул, связанных с распределением представлений целых чисел суммами Q квадратов ( 0, ^- 5 ) . В наиболее интересных случаях четырех и особенно трех квадратов никаких фактов, связанных о количественными характеристиками распределения представлений, не известно, за исключением представления Ї суммой четырех квадратов в мнимом квадратичном поле (Фрик'ер, Эльстродт-. Грюневальд- Мен-нике); в этом частном случае найденное авторами утверждение сводится к счету числа точек решетки в трехмерном ги-перболдаеском шара и тем самым к известной теореме Лакса -Филлилса и Б.М.Левитана.

- 5 г

Поэтому является актуальной задача получения количественных характеристик распределения представлений целых чисел не вполне вещественного поля алгебраических чисел квадратичными формами от I >> 3 переменных, пробегающих целке числа отого поля; в частности, актуальна задача получения аналогов теорем Гаусса и Якоби в случае мнимого квадратичного поля.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в получении новых результатов о распределении целых точек на эллипсоидах с числом переменных

Z ^ 3 ив получении количественных характеристик распределения представлений целых чисел мнимых квадратичных полей сушами трех и четырех квадратов целых чисел этих полей.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе применяются современные методы теории модулярных форм целого и полуцелого веса и аналитической теории чисел,

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе имеются следукядіе новые научные результаты:

1. Получены количественные характеристики распределения зіредставлений целых чисел мнимых квадратичных полей суммами зрех и четырех квадратов целых чисел этих полей.

2. Получены новые результаты в проблеме распределения целых точек на эллипсоидах с числом переменных ^> 3 .

3. Введены и исследованы тригонометрические суммы нового типа.

4. Получены новые результаты о распределении корней квадратичного сравнения.

5. Получены оценки коэффициентов Фурье параболических форм, равномерные по параметрам формы (т.е. весу, ступени).

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных ферм как над рациональным полем, так и над полями алгебраических чисел (не вполне вещественными и вполне вещественными).

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты представлялись на Всесоюзной конференции по те.рии трансцендентных чисел и ее приложениям (Москва, 1983), на Вс-союзной конференции по теории чи-

сел и её приложениям (Тбилиси, 1985), а также докладывались на семинарах ЛОМИ АН СССР (ПОЇЛИ РАН) по алгебраическим методам и теории чисел.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і] - [9], список которых приведен в конце автореферата.

ОБЪЕМ РАБОТЫ, диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы из 96 названий и составляет 170 страниц машинописного текста.