Введение к работе
Целью диссертации является получение новых результатов, связанных с приближением действительных чисел алгебраическими ограниченной степени. В работе построена система линейно независимых многочленов, с помощью которой конструируется целочисленный многочлен, приводящий к следующей альтернативе: либо он имеет большую производную, либо связанные с ним полиномы сильно приближают ноль б заданной точке. В первом случае получена оценка отношения величины многочлена в точке к его производной. Во втором — получено противоречие. Главный результат диссертации — усиление теоремы Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими ограниченной степени.
Первые исследования по данной тематике относятся к середине 19-го века. В работах Дирихле, Гурвица, Лиувилля были рассмотрены вопросы приближения действительных чисел рациональными. Современный этап этого раздела теории чисел начался в 60-х годах благодаря работам Э. Вирзинга, В. Шмидта и X. Дэвенпорта. Так, в 1961 году Э. Вирзинг выдвинул гипотезу о порядке приближения действительных чисел алгебраическими ограниченной степени. Им же был доказан ослабленный вариант гипотезы. Общий случай до сих пор остается открытым.'
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в доказательстве метрических теорем, в которых необходимо строить многочлены с большой производной; в ряде разделов математической физики, где используются системы линейно независимых многочленов; в разрешении вопросов, связанных с проблемами малых знаменателей.
Результаты диссертации докладывались на шестой конференции ма- . тематиков Беларуси (Гродно, 1992), на Международной математической конференции, посвященной 60-летшо со дня рождения В. Г. Сприн-джука (Минск, 1996), на международном математическом семинаре по теории чисел в Париже (Франция, 1997), на Международной 52-ой научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов БГПА "Технические вузы — респу-
блике" (Минск, 1997), иа семинарах по теории чисел Института мате матикн НАН Беларуси (руководитель Берник В. И.).
По теме диссертации опубликовано б работ, перечень которых пр» веден в конце автореферата.
Диссертация состоит из сведения, обшей характеристики работы, трех глав, включающих 11 параграфов и 34 подпараграфа, выводов и списка литературы, содержащего 36 наименований.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
-
Построена система из п линейно независимых многочленов, дающих хорошую аппроксимацию нуля в точке.
-
Построен целочисленный многочлен, приводящий к следующей альтернативе: либо он имеет большую производную, либо связанные с нии многочлены обладают сильной аппроксимацией нуля в точке.
-
Найдена оценка отношения величины построенного многочлена в точъ.е к его производной.
-
Введен метод индуктивного построения в случае сильной аппроксимации.
-
Доказана теорема о приближении действительных чисел алгебраическими ограниченной степени.