Распознаваемые свойства конечно определенных ассоциативных алгебр Лукоянова, Елена Валерьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы о существовании алгоритмов для распознавания различных алгебраических свойств в фактор-алгебрах свободной ассоциативной алгебры возникли довольно давно. В связи с этим появилось понятие стандартного базиса идеала алгебры. Первоначально стандартный базис (базис Гребнера) был определен в идеалах свободных коммутативных алгебр k[xi,... ,х,Ц (Бухбергер 1965 ¹, а также 1970 ²). Систематическое изложение фактов, связанных со стандартными базисами сделано В. Н. Латышевым ³.

Интерес к стандартным базисам подтверждается публикацией в последнее время целого ряда статей, посвященных их обобщениям и применению.

Вопросы о распознавании свойств в различных классах алгебр в разные годы изучались А. И. Ширшовым (1962) ⁴ , В. Н. Латышевым и Т. Гатевой-Ивановой (1988) ⁵, В. А. Уфнаровским (19S9 ⁶,1990 ⁷),

'Buchberger В. An algorithm for finding a bases for the residue class ring of a zero-dimentional polinomial ideal // Ph.D.thesis. — 1965. — Univ.of Innsbruck, Math.Inst.

²Buchberger B. An algorithmical criterion for the solvability of algegraic systems of equations // Aequationes Math. — 1970. — v.4. — N 3. — p.374-383

³ Латышев В. H. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1988. — 69с.

⁴Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.мат.ж. — 1962. — 3,N 2. — с.292-296.

⁵Gateva-Ivanova Т. Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras // Special volume J.S.C.; On computational aspects commutative algebras. London. Acad.Press. — 1988. —- p.237-254.

⁶Уфнаровский В. А. Об использовании графов для вычисления базиса, роста и ряда Гильберта ассоциативных алгебр // Маг.сб. — 1989. — 180, N 11. — с. 1548-1555.

⁷Уфнаровский В. А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре, — Итоги науки и техники, Сер. Современные проблемы мат-кя. — 1990. — т.57. —с.5-177.

В. В. Ворисенко, А. Я. Беловым (1995) ⁸ и другими авторами.

Рад распознаваемых свойств конечно определенных алгебр с конечным базисом Гребнера, относящихся преимущественно к мономиаль-'ным алгебрам, указан В. Н. Латышевым и Т. Гатевой-Ивановой в работах ⁹. В. А. Уфнаровским в работе ¹⁰ и J. Okninski в работе ^п решены вопросы нетеровости в мономиальных алгебрах. Понятие автоматной алгебры, т.е. алгебры, в которой нормальные слова относительно идеала соотношений задаются конечным автоматом, впервые было введено В. А. Уфнаровским, это понятие позволило обобщить ряд распознаваемых свойств конечно определенных мономиальных алгебр на класс автоматных алгебр.

В частности, А. Я. Беловым в работе ¹² решена проблема распознавания нетеровости в автоматных мономиальных алгебрах.

Вопросы о распознавании свойств в фактор-алгебрах универсальных обертывающих алгебр алгебр^-Ли до настоящего времени почти не исследовались.

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на

автоматные алгебры, факторы универсальных обертывающих алгебр

алгебр Ли специального вида; получить положительное решение ряда

⁸Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras //Contemporary mathematics and its applications, Plenum, New-York. — v.26. — 1995.

^sGateva-Ivanova T. Algoritmic determination of the Jacobson radical of monomial algebras//Preprint.—19S7.Sofia. Gateva-Ivanova T. Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras // Special volume J.S.C.; On computational aspects commutative algebras. London. Acad.Press. — 1988. — p.237-254.

¹⁰Уфнаровский В. А. Комбинаторные и ассимптотические методы в алгебре, — Итоги науки и техники, Сер. Современные проблемы мат-ки. — 1990. — т.57. —«.5-177.

"Okninski J. On monomial algebras // Arch.Math. — 1987. — 45. — p.417-423.

¹²Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras //Contemporary mathematics and its applications, Plenum, New-York. — v.26. — 1995.

алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах и факторах универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли специального вида.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в автоматных мономиальпых алгебрах и в факторах универсальных обертывающих алгебр некоторых алгебр Ли, общие методы теории колец, комбинаторные методы.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Указан алгоритм распознавания характера роста автоматной мопомиальной алгебры.

2. Указан алгоритм распознавания алгебраичности, ниль-, нильпотентности автоматной мономиальной алгебры.

3. Решен вопрос распознавания полупервичности, первичности автоматной мономиальной алгебры, а также вопрос о порождающих радикала Джекобсона автоматной мономиальной алгебры.

4. Решен вопрос распознавания PI-свойства автоматной мономиальной алгебры.

5. Построен алгоритм распознавания является ли произвольный автомат автоматом нормальных слов некоторой алгебры.

6. Рассмотрен вопрос о конечной определенности автоматных мономиальпых алгебр.

7. Указан алгоритм распознавания, является ли некоторый полином / тождеством данной фактор-алгебры универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли, а также обобщение данного алгоритма для универсальных обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли.

8) Указана схема распознавания, является ли элемент

f{Xl,X2,X3,Xi) = [[Х1,Х2],[Х₃,Х4]]

свободной ассоциативной алгебры тождеством универсальной обертывающей алгебры Ui нильпотентиой алгебры Ли специального вида по модулю идеала алгебры U^.

9) Для нильпотентных алгебр Ли размерности не более 7 и двух
известных серий нильпотентных алгебр Ли размерности 8 в явном
виде указана система порождающих вербального идеала Tj(Ul) как
идеала алгебры Ul-

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при создании систем компьютерной алгебры, а также специалистами, работающими в области алгоритмической и компьютерной алгебры.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по теории колец и прикладным вопросам алгебры кафедры Высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета, на ежегодной научной конференции студентов и аспирантов филиала МГУ в г.Ульяновске в 1994 и 1995 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2], [3], [4], перечисленных в конце настоящего реферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения трех глав, включающих в себя восемь параграфов, приложения и спис-

ка литературы, содержащего 25 наименований. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Личный вклад. Получено положительное решение ряда алгоритмических вопросов в автоматных алгебрах и факторах универсальных обертывающих алгебр алгебр Ли специального вида.

Все результаты являются новыми и получены автором самостоятельно.