Простые алгебры Ли над полем характеристики 3 Чан Нам Зунг

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В отличие от теории простых алгебр Ли над полями больших характеристик, где в последнее время достигнуто много весомых результатов, простые алгебры Ли над полями малых характеристик мало изучены. Специфика случая малых характеристик заключается в том, что многие фундаментальные результаты теории простых модулярных алгебр Ли перестают быть верными при малых характеристиках.

Впервые обратил внимание на особенность случая малых характеристик Капланский. В своей работе ', где им классифицированы простые алгебры Ли ранга 1 с простыми корнями, он выделил для рассмотрения случай р=? и случай р=3. Здесь были получены первые результаты о простих алгебрах Ли над полями малых характеристик.

Б связи о общеизвестной гипотезой Кострикина-Шафаревича ^г'³"*, утверждавшей, что при р>5 любая простая неклассическая

¹ Kaplansky Т. Lie aJgehras от characteristic р // Trans. Amer.Math.Soc. 89 (1958), 149-183.

^г Кострикин А.И., ІИАФАРЕВИЧ И.Р. Псевдогруппы Картона и р-алгебры Ли, Доклады АН СССР. Сер. Матем. 163 (1966), 740-742.

³ Кострикин A.M., ШАФАРЕВМЧ И.Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики, Известия АН СССР. Сер. Матем. 33 (1969), П 2, 251-3??.

* Кострикин А.И. Мод'лярные вариации на тему Картана // Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады советских математиков. - М: Наука, 1Э72, 111-117.

алгебра Ли изоморфна одной из алгебр картановского типа, либо ее фильтрованной деформации, мы разделим простые алгебры Ли над полями малых характеристик на три типа: алгебры Ли классического типа, алгебры Ли обобщенного картановского типа и исключительные алгебры Ли, т.е. такие алгебры Ли, ко торые не имеют аналогов при больших характеристиках.

Единственным известным в настоящее время примером исключительных алгебр Ли над полем характеристики 5 являются алгебры Меликяна ^5.

Над полем характеристики 2 существует весьма много различных примеров исключительных простых алгебр Ли. Можно назвать четыре серии простых алгебр Ли над полем характеристики 2, определенных Капланским в работе ⁷, примеры Кочеткова-Лей-теса из ^в, 26-мерную алгебру Шафера-Томбера ".

⁵ Меликян P.M. О простых алгебрах Ли характеристики 5 // УМН 35 (1980), № 1, 203-204.

Меликян Г.М. Простые неприводимые 2-градуированные алгебры Ли с компонентой Ъ_от+Ъ П - М.: МГУ, 1982. - Деп.ВИНИТИ, » 1688-82.

⁷ Kaplasky I. Some simple Lie algebras of characteristic 2// Lie algebras and. Related Topics. Lect. Notes In Math. 933 (1982), 127-129.

" Kochetkov Iu, Leltes D. Simple Lie algebras In characteristic 2 recovered from Subalgebras and on the notion of a simple finite groupe//Contem.Math. 131(1992) Fart 2, 59-6T.

" Shafer R.D., TOMBER M.L. On a simple Lie algebras of characteristic 2.

Первым примером исключительных алгебр Ли над полем характеристики 3 можно назвать параметрическое семейство простых алгебр Ли L(e) над полем характеристики 3, построеное и изученное А.И.Кострикиным в ¹⁰. Алгебры L(s) допускают градуировку вида brsJ=L_₂+I__i+I_ofI_i+b₂ и являются ограниченными алгебрами Ли размерности 10, причем L(s) = L(s') тогда и только тогда, когда s=s' или е=1/е'. На этом примере выявляется еще одна особеность случая малых характеристик - существование бесконечного числа попарно неизоморфных простых алгебр Ли конечной размерности над алгебраическим замкнутым полем. Исходя из идеи, высказанной А.И.Кострикиным в ¹⁰ Браун в работе " построил бесконечный класс простых алгебр Ли Т(3:п), минимальная алгебра которого обнаружена ранее Франк ".

Существование новых исключительных простых алгебр Ли по- называет, что случай малых характеристик требует отдельного рассмотрения. В настоящее время единственными классификационными результатами для малых характеристик, за исключением теоремы Капланского об алгебрах Ли ранга 1, являются классификационные теоремы Кузнецова для 7-градуированных алгебр Ли 19.)4,13,1^ _Пр_{И этом в} is ₀₀-_нару_Жеш дає серии Т и Я простых

исключительных алгебр Ли над полем характеристики р=3.

Кострикин А.И. Параметрическое семейство простых алгебр Ли // Известия АН СССР Сер. Матем. 34 (1970), » 4, 751-764. ¹¹ Brown G. A class of simple Lie algebras of characteristic three // Proc.Amer.Math.Soc. 107 (1989), 901-905. Frank M. A new simple Lie algebras of characteristic three // Proc.Amer.Math.Soc. 38 (1973), 43-46.

С.М.Скрябин " обнаружил новые серии простых алгебр Ли характеристики 3, которые содержатся в классе градуированных алгебр, удовлетворяющих условиям (1 ) Г ч ,о_ 1 = «,_, для всех КО; (2) [a.a.J^O при a<=g,, 1>0,а/0. Компоненты степени 1ф этих алгебр описываются общим условием (3) и одним и? условий (4)-(7): (3) dim д =dtm 9 =3; (4) clln 9_t=o для f<-,?, 9,,=31(9., J; (5) dim 9_t=o для l<-2, s^glfa^J; (6) dim g_v=o для K-3, dim e_₃=1, e₀=gl(e_ ); (V) dim a_t = о для l<-4, dim 9 =3, dim 9 =', з =gl(a ). При этом построены явные реализации алгебр Ли, возникающих в случаях (4),(5), (7), в виде суммы алгебры Ли картановского типа и ее тензорных модулей. Соот! ^;тственно получены серии Х(т), Y(m), Z(m).

Существование новых простых алгебр Ли, не входящих в общую схему, приводит к ряду задач, требующих систематического

¹³ Кузнецов М.И. Модулярные простые алгебры Ли с разрешимой
максимальноной подалгеброй, Матем. сб. 101 (1976), № 1,
77-86.

¹⁴ Kuznetsov M.I. Graded Lie algebras with null component con-

taining sum of commuting ideals// С опта. Algebra 12 (1984), 1917-1 927.

^1,5 Кузнецов КУЗНЕЦОВ М.И. Классификация простых градуированных алгебр Ли с неполупростой нулевой компонентой Ь_о // Матем. сб. 180 (1989), 147-1Б8.

^1Й Кузнецов М.И. Модулярные алгебры Ли дифференциальных операторов. Докторская диссертация.- Низший Новгород, 1992.

⁴⁷ Скрябин СМ. Новые серии простых алгебр Ли характеристики 3 /7 Матем.сб. 1ЭЭ2.

изучения.

Первая задача связана с поиском новых исключительных алгебр а также с построением их явных реализаций.

Суть второй задачи состоит в том, чтобы распространять доказанные при больших характеристиках результаты на случай малых характеристик. При этом требуется вложить новые алгебры в общую схему, т.е. указать обобщение классы алгебр, куда входят исключительные алгебры Ли.

Третья задача заключается в изучении свойств новых алгебр. В первую очередь это вопросы об ограниченности, о дифференцированиях и автоморфизмах, о представлениях и модулях, о когомологиях, об инвариантных формах, о'деформациях. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение простых алгебр Ли над полем характеристики 3 и, в частности, исследование трех задач, сформулированных выше.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. в диссертации использованы комбинаторные методы, методы теории модулярных алгебр Ли, в частности, техника работы с картановскими продолжениями. В главе 2 развит новый метод в изучении модулярных алгебр Ли. НОВИЗНА РАБОТЫ. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работн моэно считать следующие:

1. Описаны в явном виде все алгебры серий Л и Г, установлена их новизна ( см. гл.1,2-53 ). Классифицированы простые градуированные алгебры Ли обобщенного типа B_r .

2. Изучены общие свойства z -градуированных алгебр Ли ( теорема 2.1.2 ). Классифицированы г₂-градуированные алгебры Ли, удовлетворяющие условию Кашинского (теорема 2.2.9 ).

, 5

.""'.. Полп.".г.тью описаны алгебри дифференцирований алгебр L(e), Т(т), Rim), X($i) и Y(m) ( теорема 3.1.1 ). Получено частичное описание групп авторморфизмов вышеперечисленных алгебр ' теорема 3.4.3 ).

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ем результаты и метода могут быть использованы для исследования простых алгер Ли над полем простой характеристики. Они могут быть полезны специалистам в области теории молулярных алгебр Ли, работащим в МГУ, НГУ, СИГУ, КГУ,

АПРОБАВДЧ РАБОТЫ. <;ои:г>Бные результаты диссертации докладыва-лись на семинаре "Избранные вопросы алгебры" под руководством А.И.Кострикша и Ю.А.Бахтурина, Международной конференции по алгебре памяти А.И.Ииршора (Барнаул, 1991 г.). ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора MI-UJ, список которых приведен в конце автореферата .

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на 118 страницах и состоит из введения, нулевой главы и трех глав. Библиография содержит 33 наименований.