Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 13
1.1. Теорема Голода-Шафарефича 13
1.2. Альтернативные кольца 16
1.3. Алгебры Новикова 18
2. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода 19
2.1. Конечно порождённые ниль-алгебры 20
2.2. Некоторые свойства групп Голода 28
2.3. Об одном вопросе Тимофеенко 29
2.4. Ниль-алгебры с операторами 31
2.5. Об одном вопросе Рожкова 36
3. Ниль-радикалы альтернативных колец 39
3.1. Радикал Бэра и вопрос Жевлакова 39
3.2. Нильпотентность некоторых идеалов 40
3.3. О стабилизации бэровских идеалов 42
3.4. Две комбинаторные леммы 43
3.5. Продолжение доказательства теоремы 3.2 46
3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий 49
4. Гомотопы алгебр Новикова 51
4.1. Обозначения и определения 52
4.2. Левые гомотопы алгебр Новикова 54
4.3. Центральные изотопы 57
4.4. Гомотопы первичных алгебр Новикова 59
Список литературы 68
- Альтернативные кольца
- Об одном вопросе Рожкова
- Продолжение доказательства теоремы 3.2
- Гомотопы первичных алгебр Новикова
Введение к работе
Пусть R — некоторое кольцо с основными операциями сложения и умножения. Одним из основных методов построения новых алгебр и других алгебраических систем является метод производных операций. Так в случае ассоциативной ниль-алгебры (ниль-кольца) множество элементов вида 1 + а, где а Є R, относительно операции умножения образует группу, которая называется присоединенной к R. Молшо рассмотреть производную операцию "присоединенного умножения" «об == а + Ъ + аЪ. В этом случае, с точностью до изоморфизма, получается та же самая присоединенная к R группа. В ряде работ [20, 21, 22] А.И. Мальцев вводит и использует на ассоциативном кольце присоединённое умножение в связи с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т.д. Благодаря указанной плодотворной связи колец и групп решены многие известные проблемы [2, 5, 6, 32]. Наряду с кольцом R часто рассматриваются так называемые сг-операторные кольца [19]. Подмножество К множества R называется сг-допустимым, если для любого а а и к Є К ка Є К. В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича строятся ассоциативные сг-операторные ниль-алгебры и примеры не локально конечных р-групи с условиями конечности.
В наиболее общем виде метод производных операций был реализован А.И. Мальцевым в [21]. Он изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами используя следующие операции. Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умножение "о" как хоу = 22 ^іхЬіуа + 2J fjygjxhj,і j где х, у Є А и o,i,bi,Ci,gj,fj1hj — фиксированные элементы из А, то совокупность элементов А относительно старой операции сложения и новой операции умножения "о" является алгеброй над Ф, но, вообще говоря, не ассоциативной.
Пусть В — неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и А — алгебра матриц порядка п = dimJ3 над Ф. Пусть на элементах алгебры А определено новое умножение по формуле XoY = ^2 AaPXBa$YCa^
Обозначим новую алгебру через А^\
А.И. Мальцев доказал: всякая неассоциативная конечномерная алгебра В изоморфна подалгебре алгебры А^, для определенным образом подобранных матриц Аа$, Ва0, Са$ [21].
В общем случае им же было показано [21], что каждое неассоциативное кольцо С над произвольным кольцом операторов П изоморфно подколъцу подходящего ассоциативного Q-колъца, в котором операция "о " определяется формулой х о у = аху или х о у = хуа.
Отметим, что операция хор = хау сама является ассоциативной и не приводит к образованию неассоциативных колец, и что существуют алгебры конечного ранга, которые не вкладываются в конечномерную ассоциативную алгебру с помощью операций умножения х о у =. аху или (= хуа) [21]. Например 3-х мерная алгебра с таблицей умножения е\ = еь eie2 = 0, e2ei = е2, е\ = е2 [21].
Как уже упоминалось, присоединённое умножение имеет непосредственное отношение к разложениям алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, квазирегулярным элементам и радикалам [2, 11, 13, 32]. Среди классических радикалов ассоциативных колец наи- более известны ниль-радикалы — нижний ниль-радикал Бэра, локально нильпотеитный радикал Левицкого, верхний ниль-радикал Кете [2]. Из предложения 1.2 диссертации следует, что в ассоциативных кольцах не существует n-нильпотеитного радикала, промежуточного между радикалом Левицкого и радикалом Кете.
Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Хорошо известно, что подкольца альтернативного кольца, порождённые любой парой элементов, ассоциативны. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ — а+Ъ-\-аЪ образуют квазигруппу — алгебраическую систему наиболее близкую к группам. Известно [2], [13], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать /3(R). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если R — ассоциативное нилъ-кольцо с тождественным соотношением, то Pf2(R) = R. Решению вопроса о стабилизации цепочки бэровских идеалов в альтернативных кольцах с тождественными соотношениями посвящена глава 3 диссертации.
Производные операции на линейном пространстве ассоциативных алгебр изучал Альберт [34], ввёл понятия изотопа и гомотопа неассоциативной алгебры. Пусть неассоциативные алгебры Aq и А имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и Тх (для А и Ло). Алгебры Ао и А называются изотопными, если существуют невырожденные линейные отображения Р, Q, С, такие, что Тх = PTxqC. Алгебра А0 называется изотопом А. Если хотя бы одно из преобразований Р, Q, С вырожденное, то А^ называется гомотопом А.
Дедловская М.И. [7] - [9] рассматривала гомотопы и изотопы (—1,1) алгебр относительно умножения, определяемого как x-Qy = (ха)у. Ей доказано, что многообразие, порожденное свободной (—1,1) алгеброй с двумя образующими замкнуто относительно взятия гомотопа, т.е. вместе с каждой своей алгеброй содержит и любой ее гомотоп. При этом, изотоп свободной (—1,1) алгебры с тремя образующими лежит в многообразии Мз, порожденном свободной (—1,1) алгеброй с тремя образующими.
К. Маккримон [38] описывая квазирегулярный радикал йордано-вой алгебры А над кольцом R, определил гомотоп А^а\ определенный элементом а, как Я-модуль с умножением х-ау= {ха)у- (ж, у, а), где (х,у,а) — (ху)а ~ х(уа). Он показал, что J (А) — квазирегулярный радикал есть множество PQI(A) всех собственно квазирегулярных элементов алгебры А. Элемент называется собственно квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе А. В классе специальных йор-дановых алгебр справедливо следующее соотношение: х 'а У = 2 {(ха)У + х(аУ))
Эндоморфизм <р алгебры А называется ^-дифференцированием, если для любых х, у Є R справедливо (ху)ір - 8((х(р)у + x(yip)).
Таким образом естественно рассмотреть новую операцию на алгебре А, по аналогии с гомотопами йордановых алгебр, как х-у = {ху)<р, где ip — ^-дифференцирование. Полученная структура А^ также была названа гомотопом алгебры А.
В.Т. Филиппов изучал J-дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих клас- сах ^-дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, так как существует простая неассоциативная, некоммутативная алгебра Новикова [16]. Как доказано в диссертации, существуют ненулевые гомотопы первичных и других алгебр Новикова.
Диссертация посвящена изучению алгебраических систем с производными операциями, заданных на основной алгебре (кольце): присоединённых групп ассоциативных ниль-алгебр, альтернативных нильколец, их радикалов, гомотопов и изотопов, алгебр Новикова.
В главе 1 приведены известные определения и результаты, используемые в дальнейшем.
В главе 2 исследуются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные нильалгебры, их присоединённые группы и группы Голода [5, 6]. Результаты главы доказаны в нераздельном и равном соавторстве с научным руководителем и опубликованы в [42]-[44]. Сформулируем основные результаты главы.
Теорема 2.1, Пусть для некоторой системы элементов pi, Qi-> .--,( нильалгебры А справедливы равенства к Qi = 2_,9jvij) где ї = 1, *, к и щ$ Є А.
Тогда д\= д%~ ... = ( = 0. В частности, если нилъ-алгебра А конечно порождена, то она отлична от своего квадрата А2.
В [18] под номером 11.101. сформулирован следующий вопрос Ти-мофеенко А.В.: Существует ли группа Голода (см. 9.76) с конечным центром? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из следующей теоремы,
Теорема 2.2. Если Р — группа Голода, то некоторая её факторгруппа является группой Голода и имеет тривиальный центр.
В параграфе 3 главы строятся ассоциативные нильалгебры с операторами.
Теорема 2.3. Для произвольных натуральных чисел 2 < d < п, подгруппы G группы GLn(p), конечного множества М натуральных чисел, содержащего вместе с числом есе его делители, в алгебре F — Ф(асі, ..., хп) над Ф = GF{p) существует допустимый относительно G однородный идеал J С F^l\ для которого выполняются следующие утверждения.
Фактор-алгебра A — F^/J есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (d — 1)-порождённые подалгебры нильпотентны;
Группа G есть группа операторов алгебры А;
Для любого подмножества D = {х^, ...,3} С {xi,...,xn} фактор-алгебра A(D) = F1(D)/(Fl(D) П J) есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (dm — 1)-порождённые подалгебры из A{D)m нильпотентны для каждого т М;
Если однородные компоненты степени 1 многочленов gi,...,gd F^1', линейно независимы, то подалгебра, порождённая в А образами многочленов gi, ...,gd, бесконечномерна.
Рожков А.В. в [23][С. 589] поставил следующий
Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. Для всех ли пар р, п существуют финитно-аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би-примитивно конечные?
Как показано в предложении 2.4, при п>р таких групп нет, и для исчерпывающего ответа на вопрос А.В. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р > 2.
Пример. Для каждого простого р > 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе < р} порождает конечную подгруппу.
В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом:
Пусть j3[(R) — сумма всех разрешимых идеалов кольца, если для всех порядковых чисел о; < 7 Ра{Щ Уже определены, то f3'y(R) — есть сумма полных прообразов разрешимых идеалов кольца R/p'a(R), если у — не предельное, и Ply{R) = U P'a(R), если а — предельное.
К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе альтернативных колец с тождественными соотношениями?
В главе 3 даётся ответ на этот вопрос и некоторые смежные вопросы. Результаты главы принадлежат диссертанту и опубликованы в [40].
Теорема 3.1. Пусть R — альтернативное ниль-кольцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда Pq(R) ~ R.
Теорема 3.2. Всякий односторонний нильпотентный идеал альтернативного кольца порождает двусторонний нильпотентный идеал.
Следствие 3.3. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе и А — ниль-подкольцо в R. Тогда (3(A) = А.
Следствие 3.4. Пусть R — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца и А — нилъ-подкольцо в R. Тогда /3{А) = А.
Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества x{yz) = y(xz), (x,y,z)^(x,z,y), где (х,у, z) = (xy)z — x(yz) — ассоциатор элементов х, г/, z (алгебры Новикова были впервые введены в [3]). В главе 4 диссертации рассматриваются гомотопы и изотопы алгебр Новикова, т.е. алгебры, полученные из алгебры Новикова А посредством производной операции х у = ху<р на Ф-модуле А. Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В.Т. Филипповым и опубликованы в [41].
Напомним определения. Через V^ обозначается алгебра, полученная из V с помощью производной операции коммутирования [х, у] = ху — ух. Г;(У) — левый центроид алгебры V, т.е. централизатор алгебры L(V) — левых умножений алгебры V. A(V) — множество \-дифференцирований V и C(V) — П(У) П A(V^).
Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова (\ Є Ф), <р — произвольный элемент из С(А), то её гомотоп Av является алгеброй Новикова.
Теорема 4.2. Если V — неассоциативная Ф-алгебра (\ Є Ф), ір — произвольный обратимый элемент C(V)} то её изотоп V^ является Ф-алгеброй Новикова тогда и только тогда, когда V является Ф-алгеброй Новикова.
Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.
Теорема 4.3. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова (\ Є Ф), то Гі(А) — коммутативная подалгебра алгебры ЕпёфА и выполняется равенство Г/ (А) = С (А).
Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова (~ Ф^, ір — произвольный элемент из Г}(Л), то её гомотоп А^ является алгеброй Новикова.
Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Алгебра и её приложения" (Красноярск, 2002г.), "Алгебра и теория чисел" (Тула, 2003г.), "Мальцевских чтения" (Новосибирск, 2003 и 2004гг) и семинаре "Алгебра и логика". Кроме того, они обсуждались на Красноярском городском семинаре "Алгебраические системы" и на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии.
Основные результаты диссертации опубликованы в [40] - [44].
Работа над диссертацией поддержана РФФИ (грант № 03-01-00356) и ККФН (грант №11F0201C).
Автор выражает благодарность научным руководителям В.Т. Филиппову и А.И. Созутову за постановку задач и внимание к работе.
Альтернативные кольца
Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Они хорошо известны и первоначально были построены как конечномерные алгебры с делением (над полем R действительных чисел). Алгебры Кэли-Диксона завершили ряд последовательных квадратичных расширений: поле действительных чисел С поле комплексных чисел С тело кватернионов С композиционные алгебры. Если при переходе от поля комплексных чисел к телу кватернионов теряется коммутативность умножения, то при последнем возможном расширении ассоциативность заменяется следующими ослабленными тождествами ассоциативности Алгебры и кольца с этими двумя тождествами впоследствии были названы альтернативными [13]. Хорошо известно, что любое подкольцо альтернативного кольца, порождённое парой элементов, ассоциативно. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ — a+b+ab образуют квазигруппу — структуру "довольно близкую" к группам. Напомним некоторые обозначения и определения, используемые в дальнейшем. Через обозначается ассоциатор элементов а, Ь и с, через коммутатор элементов а и b кольца Я. Множество называется ассоциативным центром кольца R. Приведем некоторые тождественные соотношения, выполняющиеся в альтернативных кольцах, которые потребуются в главе 3 (доказательство можно найти в работах [36], [37]): Для доказательства теорем главы 3 понадобятся также две леммы, которые нетрудно доказать, используя технику Е. Клейнфелда, указанную в работе [37]. Лемма 1.1. Пусть Я — альтернативное кольцо, без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе, и а — элемент кольца R, такой, что а2 — aRa = 0. Тогда а є P{{R)- Лемма 1.2. Пусть R — альтернативное нилъ-колъцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца. Тогда, если для любых элементов w, х, у из кольца [w, ж]4 = [w, ж]2?/[и ,я;]2 = 0, то fi R) = R. 1.3. Алгебры Новикова При изучении в [3] локальных алгебр Ли первого порядка и пространства фектор-функций на прямой, их классификация была сведена к изучению конечномерных вещественных алгебр, которые удовлетворяют тождествам В дальнейшем такие алгебры получили название алгебр Новикова. Пусть Ф — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, содержащее \. Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества где (х, у, z) — ассоциатор (1.4) элементов x,y,z.
Как уже упоминалось, алгебры Новикова были впервые введены в [3] в связи с расширением востребованного алгебраического аппарата в механике. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода В главе изучаются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные ниль-алгебры Л, их присоединённые группы и группы Голода. Показано, что пересечение Аш степеней Ат алгебры А имеет бесконечную коразмерность в А, и, вместе с тем, может оказаться ненулевым (теорема 2.1 и следствие 2.1); что пересечение членов нижнего центрального ряда в группе Р — подгруппа бесконечного индекса, не обязательно единичная; что некоторая фактор-группа произвольной группы Голода является группой Голода и имеет тривиальный центр (решение вопроса. 11.101 [18], теорема 2.2). Доказано, что для произвольных натуральных чисел 2 d п, подгруппы Я GLn(p) Endo(i?i), конечного множества М С N и подмножеств D = {xiu ..., xid} С {жь ..., хп} свободная алгебра F = Ф(жь » хп) над GF(p) содержит допустимый относительно Н однородный идеал 7, для которого фактор-алгебры A{D) = F {D)/(JnF (D)) алгебр F(D) = Ф{хіі: ..., xid) ненильпо-тентны, а их подалгебры из A(D)m, где т Є М, порожденные dm — 1 элементами, нильпотентны (теорема 2.3). В последнем параграфе главы для всех простых р т 2 постро- ены бесконечные сопряжённо m-конечные финитно-аппроксимируемые р-группы, порождённые двумя элементами порядка р) и тем самым получен исчерпывающий ответ на вопрос 2 из [23]. Результаты главы получены в нераздельном и .равном соавторстве с научным руководителем А.И. Созутовым и опубликованы в [42, 43, 44]. Теорема 2.1. Пусть для некоторой системы элементов gi, 52, ..., ? нильалгебры А справедливы равенства Тогда g\ = gi = ... = д& — 0. В частности если нилъ-алгебра А имеет п порождающих, то она отлична от своего квадрата А2 и число порождающих подалгебры А2 не превосходит п3 -\-п2. Вначале докажем две леммы. Лемма 2.1.
Пусть А конечно порождена и хі,хг, -., хп — её порождающие. Тогда А2 также конечно порождена и злеліентьі вида являются порождающими алгебры А2. Число порождающих А2 не превосходит к — п3 + п2. Доказательство. Каждый элемент А2 представим в виде линейной комбинации слов-мономов вида w = 3 ... -х , 1 ki, &2, -) ks тг, s 2, s = d[w) — длина слова w. Поэтому достаточно доказать, что алгебра В, порождённая мономами вида (2.2), (2.3), содержит каждый моном w А с d(w) 2. Если й(ги) = 2 в порождающих xi, ..., х„, то гу = XfaXfa есть порождающий элемент вида (2.2) алгебры В. Предположим, что все мономы w Є А2 длины d(w) s в порождающих xi, ..., хп содержатся в Б и пусть w — слово-моном длины s + 1 3 из А2. Пользуясь ассоциативностью, разобьём слово w — v\V2 на подслова-мономы Щ, V2 — в порождающих xi, ..., хп так, что d(v{) 2 и d{vi) d(v{) — 1. Если d(v2) 2, то 1,1/2 Є В по индуктивному предположению и w = «1 2 Є В. Если d(v2) 2, то s + 1 = 3, d(«i) = 2, d(u2) = 1 и ги = x Xk2Xkz есть порождающий элемент вида (2.3) алгебры В. Таким образом, w Є В и В = Л2. Предложение доказано. Лемма 2.2. Пусть А нилъалгебра и при подходящих -ш є А, Доказательство. Очевидно, что Поскольку Vi = 0 для некоторого n, то имеет место представление #1 в виде Переобозначая vf через w , получаем требуемое представление. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2.1. Докажем теорему для к = 3. Пусть По лемме 2.2 элементы 5ii 52 и ?з можно представить в виде Но тогда по лемме 2.2 gi = g2t\. Аналогично для д2 = 51 2- Таким образом, где I — нильиндекс элемента і. Тогда дч — g\ti — 0 и #з = д\Щ\ + 52 32 = 0. Таким образом, для к = 3 первое утверждение теоремы доказано. Далее применяем индукцию по к. Предположим, что для к п теорема верна, и пусть к = п + 1. По лемме 2.2 можно считать, что в представлении (2.1) элемента Qi нет слагаемого вида giva, поэтому Заменим элемент gn+\ в выражениях для i, ?2 ---, 9п его представлением (2.9). Очевидно, что мы получим выражения для gi,g%, ..., ?n через ді,д2,...,дп. Поэтому по индуктивному предположению gt 0 для і = 1, тг. Но тогда из (2.9) следует, что и дп+\ = 0. Первое утверждение теоремы доказано.
Об одном вопросе Рожкова
Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. ДЛЯ всех ли пар р,п существуют финитно аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би примитивно конечные? Отрицательный ответ на этот вопрос при р п вытекает из следующего предложения. Предложение 2.4. Пусть G — сопряженно п-конечная группа. Тогда для всех р Є тг(С7), не превышающих п, группа G — р-бипримитивно конечна. Доказательство. Действительно, если группа G сопряженно п-конечна и р п, то любая пара а,& элементов порядка р из G порождает в ней конечную подгруппу {а, Ь) = (а, аь, ...,а )А(Ь). Следовательно, G слабо р-бипримитивно конечна. Понятно, что условие сопряженной п-конечности наследуется на все сечения группы G. Поэтому они все слабо р-бипримитивно конечны, и, значит, G р-бипримитивно конечна. Если дополнительно G — р-группа, то она бипримитивно конечна. Предложение доказано. Рассмотрим теперь случай пар р, п с условием п р. Отметим, что любая 2-группа бипримитивно конечна. Следовательно, можно считать, что р 2 и для исчерпывающего ответа на вопрос А.В. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р 2. Положительный ответ даёт следующий пример сопряжённо (р — 1)-конечной группы, порождённой двумя элементами порядка р. Пример. Для каждого простого р 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе р, порождает конечную подгруппу. Доказательство. Рассмотрим присоединенную группу алгебры А из теоремы 2.3 при Ф = GF(p), п — р2, р 2, G = GLn(p). Пусть Н = (а) х (Ь) — элементарная абелева р-подгруппа из G, действую щая регулярно на множестве { }, и К = (1 + Л)ХН. Используя заданное действие Н на i \, образуем конечную р-группу Q = F\\H} изоморфную фактор-группе К/(1 + А2). Очевидно, что \Q\ — рп+2 и Q содержит подгруппу М — {а9, Ъ) порядка р" 2, в частности, Fid М со держит п—А линейно независимых элемента. Также понятно, что любая подгруппа R = (с, C2...,Cp_i) М, где С2, ...,Ср_і Є см, либо содержится в 1-І-А, либо имеет вид (Дп(1 + А)) - (с), причём с $ 1 +Л, ср Є 1 + А. В последнем случае с учётом действия элемента с на образе подпростран- ства Fi при гомоморфизме М —» М М/(1 + Л2) получаем и подгруппа Л Г) F\ порождается не более чем р2 — 2р + 1 — п — 2р + 1 элементами. Если р 2, то р2 — 2р + 1 п — 4 и р — 1 п — 4. Положим в теореме 2.3 (f = п - 4 и пусть Р — подгруппа группы К = (1 + Л)АЯ, порождённая элементами а3,Ь.
Как показано выше, Р содержит элементы 1 + 01,..., 1 + 5п_4, при этом у многочленов gi,...,gn-4 однородные компоненты /ь- )/п-4 линейно независимы. Ввиду предложения 1.3 группа Р бесконечна. С другой стороны, как вытекает из неравенств р2 — 2р + 1 п — 4 и р — 1 п — 4, группа Р сопряжённо (р — 1)-конечна. Можно показать, что группа Р финитно-аппроксимируема, поскольку построенный в доказательстве теоремы 2.3 идеал J однороден. В общем случае, когда идеал J не обязательно однороден, а Р — не финитно-аппроксимируемая группа, как и в предложении 2.1 перейдём к фактор-группе Р/ уи(Р). Очевидно, что Р/уи(Р) наследует интересуемые нас свойства группы Р, то есть порождена двумя элементами порядка р и является сопряжённо (р— 1)-конечной. В то же время, P/7W(P) финитно-аппроксимируема и является группой Голода. Построение примера окончено. Ниль-радикалы альтернативных колец Известно [13, 2], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать /3(R). В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом: пусть /?{(Я) есть сумма всех разрешимых идеалов кольца R, если для всех порядковых чисел а 7 0 a{R) уже определены, тогда j3 (R) есть сумма полных прообразов всех разрешимых идеалов кольца R/p,rf_1(R)J если 7 — не предельное, и /3 (Я) = Ua 7 a(- )) если 7 — предельное, тогда наибольший элемент множества идеалов {{3 a(R)} и будет совпадать с (3(R). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если R — ассоциативное ниль-кольцо с тождественным соотношением, то fyiR) = Я- К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе чисто альтернативных колец? Решению этого вопроса посвящена данная глава диссертации. Доказано, что в альтернативном ниль-кольце, без элементов порядка 2 и З в аддитивной группе кольца, с существенным тождественным соотношением 0Q(R) = R (теорема 3.2). (Определение существенного тождественного соотношения можно найти в [33]). Кроме того, получен ряд свойств альтернативных колец, представляющих самостоятельный интерес. Так, в альтернативном кольце нильпотентный односторонний идеал порождает нильпотентный двусторонний идеал (теорема 3.1). Установлена радикальность ниль-подколец в альтернативном кольце с существенным тождественным соотношением, и в чисто альтернативном кольце без элементов порядка 2 и 3 в в аддитивной группе. Основные результаты главы — теоремы 3.1, 3.2 и следствия 3.1, 3.2. Они опубликованы в [40]. 3.2. Нильпотентность некоторых идеалов В данном параграфе доказана следующая Теорема 3.1. В альтернативном кольце нильпотентный односторонний идеал порождает нильпотентный двусторонний идеал.
Доказательство. Доказательство проведём только для правого идеала кольца R. Для левого идеала доказательство аналогичное. Обозначим через Sn подгруппу в аддитивной группе кольца, порожденную элементами вида ВпМд...Мд, где MR — оператор правого или левого умножения, Вп — степень правого идеала Б. (Заметим, что операторы могут отсутствовать). Ясно, что Sn — идеал в R и Si — В + RB. Покажем, что (В + RB)Sn С Sn+i для любого п 1. Действительно, (В + RB)Si = (Б + ЯВ)2 С 52. Пусть при п — т [В + RB)Sm С 5т+1. Докажем, что при этом предположении (В + RB)Sm+i С Sm+2. Обозначим через гп элементы подкольца Вп и через 4 — элементы Sn) содержащие к операторов Мд. Из предположений индукции следует, что Далее, используя (1.7) и (1.8), для а,Ь Є Rn г Є В имеем (rm+i,r,a) Є m+2 и Аналогичным образом получаем, что (a, г, b m+i) Є Sm+2. Следовательно, при I = 1, (oJm+1),r,a) 5m+2 и m[m Є Sm+2. Пусть для I fc, (a[m+ rjo) Є Sm+2 и га}"1" " Є Sm+2. Покажем, что (4+і ,г,а) Є 5 +2. Используя (1.7), (1.8) и индуктивные предположения, установим следующие включения: Из включений (3.2), (3.4) следует включение (4+t )г?а) Є SW+2- и также Ввиду включений (3.5) и (3.6) имеем включение raf є 5 +2. Итак, (а[т , г,а),гат Є Э т+г Для любых 7. Перейдем к доказательству первоначального утверждения: Из только что доказанного следует BSm+\ С 5т+2-Пусть (ar)4m+1) Є (ЯВ),?т+1, тогда по только что доказанному. Таким образом, {В + RB)Sn С 5п+1 для любого п 1. Пусть J = Л + -RS. По доказанному, ) J +1{C Sjt+i, где знак ) ( обозначает левую расстановку скобок в произведении Jk+l. Аналогичным образом, как в [14], можно показать, что в альтернативном кольце R любое слово можно представить в виде линейной комбинации /2-слов того же состава, что и данное слово. (Напомним, что -словом называется /і-слово от /і-слов, где Zi-слово — это слово с левой расстановкой скобок на образующих). Теперь ясно, что если Вп = 0, то Jn +1 — 0. Теорема доказана. Основной результат параграфа Теорема 3.2. Пусть R — альтернативное нилъ-колъцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда 0Q(R) = R. Доказательство разобьём на ряд лемм и предложений. Обозначим через rr&n\ k элементы подкольца Nft из N(R), через ХІ — произвольные элементы из кольца R и через W d — элементы следующего вида если I и d нечетные, где а обозначает некоторую расстановку скобок, [] — целую часть числа . Имеем [N(R),R] С N(R), и пусть W d — элемент из N(R)y получающийся из Wlf заменой операции умножения между элементами хі и к\т на коммутирование в случае d 1, а также заменой опера-ции между элементами хі и чщ на коммутирование в случае d = 1 дополнительно. Лемма 3.1. Пусть Щ — подкольцо в N(R). Тогда слово И 1 = W imodNfiR + RNR). 43 Доказательство.
Продолжение доказательства теоремы 3.2
Лемма 3.3. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением и N(R) является ниль-подколъцом. Тогда N(Д) С P 2{R). Доказательство. Пусть NQ — подкольцо в N(R) и п — произвольное целое число, обозначим через R i-i и . следующие под кольца в R: (Здесь а обозначает некоторую расстановку скобок). Докажем это утверждение. Действительно, R2iR2m = N RN RNl Предположим, что при t І наше утверждение верно. так как m, I + 1 — (m + 1) /. Для нечетных hi и &m+i утверждение доказывается аналогично. Далее, пусть целое число h 2п, тогда Действительно, где і — четное. При нечетном і доказательство аналогичное. Пусть iVg — нильпотентное подкольцо в N(R) (такое подпольно существует в силу локальной нильпотентности кольца N(R)) (см. [10], глава 10) и п — наименьшее целое число, такое, что идеал В NQR + RNQR — разрешим. Предположим, что п [], где d — степень существенного тождественного соотношения, которое выполняется в R. Тогда 2тг d и мы можем взять h = d. Пусть а{п...га) Є T{R\..,RJ) согласно лемме 3.1, слово если d — нечетное. Так как тождество на N(R) можно представить как некоторую сумму перестановок, то применяя его к правой части сравнений (3.9), (3.10), получим в силу леммы 3.2 так как п [т] по предположению. Но тогда и Рассмотрим двухсторонний идеал N$ lR + RNQ 1R = А + ЙЛ и фактор-кольцо Д — І2/В. Тогда правый идеал А в R, порожденный гомоморфным образом правого идеала N$ lR} правонильпотентен, так как (Ng R) 1 С В, где {х) обозначает тот факт, что в элементе х из R правая расстановка скобок на образующих. Следовательно (см. [37]), А — нильпотентен некоторого индекса. Но тогда, в силу леммы 3.1, идеал A + RA — нильпотентен, а идеал A + RA — разрешим. Таким образом, предположение п [ ] приводит к противоречию, и, значит, п []. Следовательно, идеал разрешим, так как С2 С щ2 R 4- RNQ R и мы получаем, что Л 2 С Й(Д). ПуСТЬ iVx ПрОИЗВОЛЫЮе НИЛЬ-ПОДКОЛЬЦО В iV(-R) И Пі, 712, -, «г Є Мі г [f]) тогда піП2...ггг е /?J(i), так как (JV{)I«1 С #(Я), где iV{ — подкольцо в N(R) порожденное элементами пі,П2, ...,пг Є JVi. Так как JVi — любое подкольцо в N(R), то 7У(Я) 1 С P[(R). Далее, так как N(R) + N(R)R — идеал в Я и N(R) нильпотентен по модулю (3[(R), то N(R) + N(R)R — также нильпотентно по модулю /3[(R) и, следовательно, N(R) С f3 2(R). Лемма полностью доказана. 3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий Приступим к доказательству теоремы 3.2.
В силу леммы 3.3 и соотношения(1.9) в фактор-кольце R — R/p 2(R) имеют место соотноше- для любых ги, х, у Є R. Но тогда из леммы 1.2 следует, что (3 А[Ё) = Я, то есть /?е(Я) = R. Теорема доказана. Следствие 3.1. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и Л — нилъ-подпольно в R. Тогда /3(A) = А. Утверждение следствия 3.1 можно доказать, используя теорему 3.2 и методы работы [37]. Следствие 3.2. Пусть R — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе кольца, и А — нилъ-подкольцо в R. Тогда (3(A) = А. Доказательство. Напомним, что чисто альтернативным кольцом называется альтернативное кольцо без ненулевых идеалов, лежащих в ассоциативном центре. Покажем, что в R выполняется некоторое существенное тождественное соотношение. Действительно, К = N(R) рС((Я, Я, R)) есть идеал в R и К С N(R)y где С((Я, R, R)) — полный аннулятор подкольца (R, R, К). Следовательно, К = 0. Далее легко видеть, что [JV, N] С К = 0. Поэтому в R выполняется существенное тождественное соотношение (см. [15]). Теперь следствие вытекает из теоремы 3.2. Гомотопы алгебр Новикова В данной главе рассматриваются гомотопы алгебр Новикова, то есть алгебры А р, полученные из алгебр Новикова А посредством производной операции х у = хуїр на Ф-модуле А, где отображение ip удовлетворяет равенству xytp = x(ytp), и находятся условия, при которых гомотоп алгебры Новикова снова является алгеброй Новикова. В.Т. Филиппов изучал -дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих классах 5-дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр тоже могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, поскольку существуют простые неассоциативные и некоммутативные алгебры Новикова [16]. Эти алгебры первичны и у них всегда есть ненулевой оператор левого умножения. В данном случае, как доказано в главе, существуют и ненулевые гомотопы первичных алгебр Новикова. Этим результатам посвящена последняя глава диссертации. Основными результатами главы являются теоремы 4.1 - 4.4. Все результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В. Т. Филипповым и опубликованы в [41]. Далее через А и V обозначим, соответственно, произвольную Ф-алгебру Новикова и произвольную неассоциативную Ф-алгебру. Для сокращения записи слова вида U = (...((xiX2)x )...)xn будем записывать без скобок: U — х\Х2Х$...хп. Если не оговоренно противное, будем предполагать, что x,y,z,... — произвольные элементы алгебры V (алгебры Л). Правым и левым умножением на х называются, соответственно, отображения Rxy —)- ух и Ьху —» ху элемента у Є V. Алгеброй правых умножений (левых умножений) алгебры V называется подалгебра R(V) (подалгебра L{V)) алгебры эндоморфизмов Ena4 (V) Ф-модуля V, порожденная тождественным эндоморфизмом є и всеми правыми умножениями Rx (левыми умножениями Lx), где х Є V.
Следуя [29] отображение р Є Епо!ф(Уг) назовем -дифференцированием алгебры V, если для любых х,у Є V выполняется равенство Далее будут использоваться следующие обозначения: хоу = ху + ух — -умножение; (гс, у, z)0 = (х о у) о z — х о (у о z) — -ассоциатор элементов х, у, z\ [ж, у] = ху — ух — коммутатор элементов х и у; у( ) — коммутаторная алгебра алгебры V, т.е. антикоммутативная Ф-алгебра, определенная на Ф-модуле V посредством операции коммутирования [х, у] = ху — ух; I)(V) — левый центроид алгебры V", т.е. централизатор алгебры L(V) в алгебре Епс1ф(К); A(V) — множество —дифференцирований алгебры V; Докажем вначале несколько тождеств, используемых в главе. По определению Г/(У), р Є l\(V) тогда и только тогда, когда для любых xt у є V. Из тождества (1.10) следует, что Ь{А) С Гі(А) и, в частности, L(A) — коммутативная подалгебра алгебры Епс1ф(А). Если р Є Ti(V), то в силу 4.2, для любых х,у, z Є V имеем равенство Отсюда и из тождества (1.11) для любых ху у, z A, tp Є Г)(Л) получим равенство Пусть р є n(V). Легко проверить, что в алгебре V следующие равенства равносильны Следовательно, ц С (А) тогда и только тогда, когда выполняется (4.2) и одно из равенств Пусть ц — произвольный фиксированный элемент алгебры Endj (V). Определим на Ф-модуле алгебры V новое умножение (), положив для любых х}у V. Ф-модуль V относительно умножения () становится Ф-алгеброй, которую назовём гомотопом алгебры V и обозначим через V p. Если -обратимый элемент Endo(V), то гомотоп V назовём изотопом алгебры V. В данном параграфе доказываются две теоремы главы. Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова [\ Є Ф), tp — произвольный элемент из С(А), то её гомотоп А9 является алгеброй Новикова. Теорема 4.2. Если А — Ф-алгебра Новикова ( Ф), р — произвольный элемент алгебры левых умножений Е{А), то её гомотоп Av является Ф-алгеброй Новикова. Доказательство теоремы 4.1. В силу (4.8), (4.2) и выполнимости тождества (1.10) в алгебре А имеем Следовательно, и в алгебре А выполняется тождество (1.10). Пусть (x,y,z). = (х у) z — х [у z) — ассоциатор элементов xyy,z в алгебре Ар. Применив последовательно (4.2), (4.6), (4.3), (4.4) и (1.11), получим: Следовательно, в А выполняется тождество (1.11), то есть Av — алгебра Новикова. Теорема доказана.
Гомотопы первичных алгебр Новикова
Данный параграф посвящен доказательству ещё двух основных результатов главы. Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова и \ Є Ф, то Ц(А) — коммутативная подалгебра алгебры Endcp(A) и выполняется равенство Из теоремы 4.1 и теоремы 4.4 вытекает Теорема 4.5. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова, Є Ф} tp — произвольный элемент из Г}(А), то ее гомотоп Av является алгеброй Новикова. Доказательство теоремы 4.3 разбивается на ряд лемм. Через [А, А] и М(А) обозначим, соответственно, Ф-подмодуль Ф-модуля А и идеал А, порожденные всеми коммутаторами, а через (А, А, А) и D(A) — Ф-подмодуль Ф-модуля А и идеал А, порожденные всеми ассоциаторами. Лемма 4.3. В алгебре А выполняются равенства: Доказательство. Достаточно показать замкнутость Ф-под модул ей [А}А] и (А, А, А) относительно умножения на элементы из А. Ввиду леммы 4.2 имеем Ьх Є А(А ) для любого х Є А. Следовательно, в А выполняется тождество Отсюда Следовательно, выполняется равенство (4.17). В силу (1.10) = xy(tz) - z{t{yz)) - xy{tz) + x(y(tz)) = -x(t(yz)) + x(y(tz)) - 0. Поэтому в А выполняется тождество Далее, в любой неассоциативной алгебре выполняется тождество Тейхмюллера: В силу (4.21),(x,y,z) Є (Л, Л, Л), т.е. А{А,А,А) С (А, А, А). Отсюда и из (4.22) имеем включение и (А, А, А)А С (Л, Л, Л). Значит, выполняется равенство (4.18). В силу (1.11) и (1.10) имеем Отсюда получаем включение Наконец, из (4.17) и (4.18) вытекает включение (4.19). Лемма доказана. Пусть Nr(V) — правоассоциативный центр алгебры V: Если п NT(A), то в силу тождества (1.11) выполняется равенство Лемма 4.4. Правоассоциативный центр NT(A) алгебры А является её идеалом и выполняется равенство Доказательство. Пусть п Nr(A), x,y,z є А. По тождеству (4.21) и определению Nr(A) имеем С другой стороны, применив последовательно (4.22), определение Nr(A) и тождества (1.11), (4.24), (4.21) и (4.24), получим равенства Из (4.26) и (4.27) получаем включение zn nz є Nr(A). Следовательно, Nr{A) является идеалом алгебры А. По определению Nr(A) и (1.10), имеем = x{yn) — y(xn) 0, Отсюда и из леммы 4.3 следует тождество (4.25). Лемма доказана. Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое. Предложение 4.1. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова и 5 Є Ф, то либо А — ассоциативная коммутативная алгебра, либо Nr(A) = 0. Доказательство. Если А является коммутативной, то по лемме 4.3 алгебра А ассоциативна. Если А не коммутативна, то М(А) ф 0 и по лемме 4.4 имеет место равенство Nr(A) — 0.
Предложение доказано. В связи с предложением 4.1 заметим, что существуют даже простые алгебры Новикова, которые не являются ассоциативными коммутативными алгебрами (см., например, [30]) и, следовательно, имеют ненулевой правоассоциативный центр. Лемма 4.5. Если а{,Ь{ (г = l,...,fc) — произвольные элементы из А, удовлетворяющие соотношению Доказательство. В дальнейшем знак суммы будем опускать, считая, что в формулах, содержащих повторяющийся индекс г, имеется ввиду суммирование по г от 1 до к. Применив последовательно (4.22), (1.11), (4.28), (4.21), (1.11) и снова (4.21), получим равенства Применив последовательно (1.11), (4.22), (4.21), (4.28), (1.11), (4.21) и (4.31), получим равенства Доказательство теоремы 4.4. В силу (4.2), Г) (Л) — подалгебра алгебры Епо ф(А). Пусть (р, ф — произвольные элементы из Г](Л). По предложению 4.1 либо А — коммутативная ассоциативная алгебра, либо Nr(A) = 0. В первом случае, в силу (4,2) и коммутативности А, выполняются равенства Следовательно, ху[(р,ф] = 0 и в силу (4.2) х{у[р, ф]) = 0, у[(р,ф] Є АттА. Но, в силу первичности A, Ann Л = 0. Поэтому у[ р,ф] 0, [ р,ф] = 0 и алгебра Т\(А) коммутативна. Ввиду коммутативности А и (4.2) имеем Следовательно, (р 6= А(А ), Гі(А) = С(А) и теорема для рассматриваемого случая доказана. Пусть А не является коммутативной, тогда Nr(A) = 0. В силу (4.2), (4.3) и (4.4), получаем равенства Значит, г[(р,ф] Є Nr(A) и по предложению 4.1 имеют место равенства г[(р,ф] = 0, [(р,ф] О, и поэтому Г)(А) коммутативна. Далее, в силу (4.3) и (4.4) имеем Отсюда и из леммы 4.5 получим включение yoztp — ytpoz Є Nr(A), и по предложению 4.1 имеем yozip—yipoz = 0. Это означает, что выполняется равенство (4.7). Поэтому р Л(Л ) и выполняется (4.16). Теорема доказана.
Замечание 4.2. Если (р Є Г}, moyozip — ytpoz iV2(A) для любых y,zSA. Б заключение покажем, что можно дать определение первичности алгебр Новикова в более слабой форме. Назовем алгебру V слабо первичной, если для любых идеалов /]_, їч алгебры V из равенств Iil-z = 0, /2- 1 = 0 следует, что либо 1г — 0, либо /2 = 0- Лемма 4.6. В алгебре А выполняются равенства Доказательство. Равенство (4.32) следует из леммы (4.3) и леммы (4.4). Для любого п 6 Nr(A), в силу (4.21) и леммы (4.4), имеем равенство п(х, у, z) — (ж, у, nz) = 0. Отсюда, и из лемм 4.3, 4.4 следует (4.33). Лемма доказана. Предложение 4.2. Ф-алгебра Новикова А (\ Є Ф) слабо первична тогда и только тогда, когда А — первична. Доказательство. Ввиду леммы 4.6 либо алгебра А ассоциативна, либо Nr(A) = 0. В первом случае, если /i, h — идеалы алгебры А такие, что І\І2 — О, то идеал І2Іі имеет нулевое умножение, и в силу слабой первичности, J2Ii = 0. Но тогда либо /і = 0, либо J2 = 0. Следовательно, алгебра А первична. Во втором случае, из равенства І-[І2 = 0 и (1.10) для любых а Є /і, b h вытекают равенства По лемме 4.5 а о 6 е Nr{A) = 0. Следовательно, Ъа = —аЪ = 0, hh = 0, то есть алгебра А первична. Обратное очевидно. Предложение доказано.