Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Производные алгебраические системы некоторых колец Середа Владимир Александрович

Производные алгебраические системы некоторых колец
<
Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец Производные алгебраические системы некоторых колец
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Середа Владимир Александрович. Производные алгебраические системы некоторых колец : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 : Красноярск, 2005 72 c. РГБ ОД, 61:05-1/680

Содержание к диссертации

Введение

1. Предварительные сведения 13

1.1. Теорема Голода-Шафарефича 13

1.2. Альтернативные кольца 16

1.3. Алгебры Новикова 18

2. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода 19

2.1. Конечно порождённые ниль-алгебры 20

2.2. Некоторые свойства групп Голода 28

2.3. Об одном вопросе Тимофеенко 29

2.4. Ниль-алгебры с операторами 31

2.5. Об одном вопросе Рожкова 36

3. Ниль-радикалы альтернативных колец 39

3.1. Радикал Бэра и вопрос Жевлакова 39

3.2. Нильпотентность некоторых идеалов 40

3.3. О стабилизации бэровских идеалов 42

3.4. Две комбинаторные леммы 43

3.5. Продолжение доказательства теоремы 3.2 46

3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий 49

4. Гомотопы алгебр Новикова 51

4.1. Обозначения и определения 52

4.2. Левые гомотопы алгебр Новикова 54

4.3. Центральные изотопы 57

4.4. Гомотопы первичных алгебр Новикова 59

Список литературы 68

Введение к работе

Пусть R — некоторое кольцо с основными операциями сложения и умножения. Одним из основных методов построения новых алгебр и других алгебраических систем является метод производных операций. Так в случае ассоциативной ниль-алгебры (ниль-кольца) множество элементов вида 1 + а, где а Є R, относительно операции умножения образует группу, которая называется присоединенной к R. Молшо рассмотреть производную операцию "присоединенного умножения" «об == а + Ъ + аЪ. В этом случае, с точностью до изоморфизма, получается та же самая присоединенная к R группа. В ряде работ [20, 21, 22] А.И. Мальцев вводит и использует на ассоциативном кольце присоединённое умножение в связи с разложением алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, с вложением группы в присоединённую группу кольца и т.д. Благодаря указанной плодотворной связи колец и групп решены многие известные проблемы [2, 5, 6, 32]. Наряду с кольцом R часто рассматриваются так называемые сг-операторные кольца [19]. Подмножество К множества R называется сг-допустимым, если для любого а а и к Є К ка Є К. В диссертации с помощью конструкции Голода-Шафаревича строятся ассоциативные сг-операторные ниль-алгебры и примеры не локально конечных р-групи с условиями конечности.

В наиболее общем виде метод производных операций был реализован А.И. Мальцевым в [21]. Он изучал связь между ассоциативными и неассоциативными алгебрами и кольцами используя следующие операции. Если в ассоциативной алгебре А над полем Ф определить умножение "о" как хоу = 22 ^іхЬіуа + 2J fjygjxhj,і j где х, у Є А и o,i,bi,Ci,gj,fj1hj — фиксированные элементы из А, то совокупность элементов А относительно старой операции сложения и новой операции умножения "о" является алгеброй над Ф, но, вообще говоря, не ассоциативной.

Пусть В — неассоциативная конечномерная алгебра над полем Ф, и А — алгебра матриц порядка п = dimJ3 над Ф. Пусть на элементах алгебры А определено новое умножение по формуле XoY = ^2 AaPXBa$YCa^

Обозначим новую алгебру через А^\

А.И. Мальцев доказал: всякая неассоциативная конечномерная алгебра В изоморфна подалгебре алгебры А^, для определенным образом подобранных матриц Аа$, Ва0, Са$ [21].

В общем случае им же было показано [21], что каждое неассоциативное кольцо С над произвольным кольцом операторов П изоморфно подколъцу подходящего ассоциативного Q-колъца, в котором операция "о " определяется формулой х о у = аху или х о у = хуа.

Отметим, что операция хор = хау сама является ассоциативной и не приводит к образованию неассоциативных колец, и что существуют алгебры конечного ранга, которые не вкладываются в конечномерную ассоциативную алгебру с помощью операций умножения х о у =. аху или (= хуа) [21]. Например 3-х мерная алгебра с таблицей умножения е\ = еь eie2 = 0, e2ei = е2, е\ = е2 [21].

Как уже упоминалось, присоединённое умножение имеет непосредственное отношение к разложениям алгебры в прямую сумму радикала и полупростой алгебры, квазирегулярным элементам и радикалам [2, 11, 13, 32]. Среди классических радикалов ассоциативных колец наи- более известны ниль-радикалы — нижний ниль-радикал Бэра, локально нильпотеитный радикал Левицкого, верхний ниль-радикал Кете [2]. Из предложения 1.2 диссертации следует, что в ассоциативных кольцах не существует n-нильпотеитного радикала, промежуточного между радикалом Левицкого и радикалом Кете.

Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Хорошо известно, что подкольца альтернативного кольца, порождённые любой парой элементов, ассоциативны. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ — а+Ъ-\-аЪ образуют квазигруппу — алгебраическую систему наиболее близкую к группам. Известно [2], [13], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать /3(R). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если R — ассоциативное нилъ-кольцо с тождественным соотношением, то Pf2(R) = R. Решению вопроса о стабилизации цепочки бэровских идеалов в альтернативных кольцах с тождественными соотношениями посвящена глава 3 диссертации.

Производные операции на линейном пространстве ассоциативных алгебр изучал Альберт [34], ввёл понятия изотопа и гомотопа неассоциативной алгебры. Пусть неассоциативные алгебры Aq и А имеют общее линейное пространство, на котором определены операторы умножения Тх и Тх (для А и Ло). Алгебры Ао и А называются изотопными, если существуют невырожденные линейные отображения Р, Q, С, такие, что Тх = PTxqC. Алгебра А0 называется изотопом А. Если хотя бы одно из преобразований Р, Q, С вырожденное, то А^ называется гомотопом А.

Дедловская М.И. [7] - [9] рассматривала гомотопы и изотопы (—1,1) алгебр относительно умножения, определяемого как x-Qy = (ха)у. Ей доказано, что многообразие, порожденное свободной (—1,1) алгеброй с двумя образующими замкнуто относительно взятия гомотопа, т.е. вместе с каждой своей алгеброй содержит и любой ее гомотоп. При этом, изотоп свободной (—1,1) алгебры с тремя образующими лежит в многообразии Мз, порожденном свободной (—1,1) алгеброй с тремя образующими.

К. Маккримон [38] описывая квазирегулярный радикал йордано-вой алгебры А над кольцом R, определил гомотоп А^а\ определенный элементом а, как Я-модуль с умножением х-ау= {ха)у- (ж, у, а), где (х,у,а) — (ху)а ~ х(уа). Он показал, что J (А) — квазирегулярный радикал есть множество PQI(A) всех собственно квазирегулярных элементов алгебры А. Элемент называется собственно квазирегулярным, если он квазирегулярен в любом гомотопе А. В классе специальных йор-дановых алгебр справедливо следующее соотношение: х 'а У = 2 {(ха)У + х(аУ))

Эндоморфизм <р алгебры А называется ^-дифференцированием, если для любых х, у Є R справедливо (ху)ір - 8((х(р)у + x(yip)).

Таким образом естественно рассмотреть новую операцию на алгебре А, по аналогии с гомотопами йордановых алгебр, как х-у = {ху)<р, где ip — ^-дифференцирование. Полученная структура А^ также была названа гомотопом алгебры А.

В.Т. Филиппов изучал J-дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих клас- сах ^-дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, так как существует простая неассоциативная, некоммутативная алгебра Новикова [16]. Как доказано в диссертации, существуют ненулевые гомотопы первичных и других алгебр Новикова.

Диссертация посвящена изучению алгебраических систем с производными операциями, заданных на основной алгебре (кольце): присоединённых групп ассоциативных ниль-алгебр, альтернативных нильколец, их радикалов, гомотопов и изотопов, алгебр Новикова.

В главе 1 приведены известные определения и результаты, используемые в дальнейшем.

В главе 2 исследуются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные нильалгебры, их присоединённые группы и группы Голода [5, 6]. Результаты главы доказаны в нераздельном и равном соавторстве с научным руководителем и опубликованы в [42]-[44]. Сформулируем основные результаты главы.

Теорема 2.1, Пусть для некоторой системы элементов pi, Qi-> .--,( нильалгебры А справедливы равенства к Qi = 2_,9jvij) где ї = 1, *, к и щ$ Є А.

Тогда д\= д%~ ... = ( = 0. В частности, если нилъ-алгебра А конечно порождена, то она отлична от своего квадрата А2.

В [18] под номером 11.101. сформулирован следующий вопрос Ти-мофеенко А.В.: Существует ли группа Голода (см. 9.76) с конечным центром? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из следующей теоремы,

Теорема 2.2. Если Р — группа Голода, то некоторая её факторгруппа является группой Голода и имеет тривиальный центр.

В параграфе 3 главы строятся ассоциативные нильалгебры с операторами.

Теорема 2.3. Для произвольных натуральных чисел 2 < d < п, подгруппы G группы GLn(p), конечного множества М натуральных чисел, содержащего вместе с числом есе его делители, в алгебре F — Ф(асі, ..., хп) над Ф = GF{p) существует допустимый относительно G однородный идеал J С F^l\ для которого выполняются следующие утверждения.

Фактор-алгебра A — F^/J есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (d — 1)-порождённые подалгебры нильпотентны;

Группа G есть группа операторов алгебры А;

Для любого подмножества D = {х^, ...,3} С {xi,...,xn} фактор-алгебра A(D) = F1(D)/(Fl(D) П J) есть бесконечномерная нилъ-алгебра, в которой все (dm — 1)-порождённые подалгебры из A{D)m нильпотентны для каждого т М;

Если однородные компоненты степени 1 многочленов gi,...,gd F^1', линейно независимы, то подалгебра, порождённая в А образами многочленов gi, ...,gd, бесконечномерна.

Рожков А.В. в [23][С. 589] поставил следующий

Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. Для всех ли пар р, п существуют финитно-аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би-примитивно конечные?

Как показано в предложении 2.4, при п>р таких групп нет, и для исчерпывающего ответа на вопрос А.В. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р > 2.

Пример. Для каждого простого р > 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе < р} порождает конечную подгруппу.

В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом:

Пусть j3[(R) — сумма всех разрешимых идеалов кольца, если для всех порядковых чисел о; < 7 Ра{Щ Уже определены, то f3'y(R) — есть сумма полных прообразов разрешимых идеалов кольца R/p'a(R), если у — не предельное, и Ply{R) = U P'a(R), если а — предельное.

К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе альтернативных колец с тождественными соотношениями?

В главе 3 даётся ответ на этот вопрос и некоторые смежные вопросы. Результаты главы принадлежат диссертанту и опубликованы в [40].

Теорема 3.1. Пусть R — альтернативное ниль-кольцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда Pq(R) ~ R.

Теорема 3.2. Всякий односторонний нильпотентный идеал альтернативного кольца порождает двусторонний нильпотентный идеал.

Следствие 3.3. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе и А — ниль-подкольцо в R. Тогда (3(A) = А.

Следствие 3.4. Пусть R — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца и А — нилъ-подкольцо в R. Тогда /3{А) = А.

Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества x{yz) = y(xz), (x,y,z)^(x,z,y), где (х,у, z) = (xy)z — x(yz) — ассоциатор элементов х, г/, z (алгебры Новикова были впервые введены в [3]). В главе 4 диссертации рассматриваются гомотопы и изотопы алгебр Новикова, т.е. алгебры, полученные из алгебры Новикова А посредством производной операции х у = ху<р на Ф-модуле А. Результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В.Т. Филипповым и опубликованы в [41].

Напомним определения. Через V^ обозначается алгебра, полученная из V с помощью производной операции коммутирования [х, у] = ху — ух. Г;(У) — левый центроид алгебры V, т.е. централизатор алгебры L(V) — левых умножений алгебры V. A(V) — множество \-дифференцирований V и C(V) — П(У) П A(V^).

Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова (\ Є Ф), <р — произвольный элемент из С(А), то её гомотоп Av является алгеброй Новикова.

Теорема 4.2. Если V — неассоциативная Ф-алгебра (\ Є Ф), ір — произвольный обратимый элемент C(V)} то её изотоп V^ является Ф-алгеброй Новикова тогда и только тогда, когда V является Ф-алгеброй Новикова.

Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое.

Теорема 4.3. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова (\ Є Ф), то Гі(А) — коммутативная подалгебра алгебры ЕпёфА и выполняется равенство Г/ (А) = С (А).

Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова (~ Ф^, ір — произвольный элемент из Г}(Л), то её гомотоп А^ является алгеброй Новикова.

Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях "Алгебра и её приложения" (Красноярск, 2002г.), "Алгебра и теория чисел" (Тула, 2003г.), "Мальцевских чтения" (Новосибирск, 2003 и 2004гг) и семинаре "Алгебра и логика". Кроме того, они обсуждались на Красноярском городском семинаре "Алгебраические системы" и на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии.

Основные результаты диссертации опубликованы в [40] - [44].

Работа над диссертацией поддержана РФФИ (грант № 03-01-00356) и ККФН (грант №11F0201C).

Автор выражает благодарность научным руководителям В.Т. Филиппову и А.И. Созутову за постановку задач и внимание к работе.

Альтернативные кольца

Наиболее близки к ассоциативным кольцам алгебра октав Кэли и алгебры Кэли-Диксона [13]. Они хорошо известны и первоначально были построены как конечномерные алгебры с делением (над полем R действительных чисел). Алгебры Кэли-Диксона завершили ряд последовательных квадратичных расширений: поле действительных чисел С поле комплексных чисел С тело кватернионов С композиционные алгебры. Если при переходе от поля комплексных чисел к телу кватернионов теряется коммутативность умножения, то при последнем возможном расширении ассоциативность заменяется следующими ослабленными тождествами ассоциативности Алгебры и кольца с этими двумя тождествами впоследствии были названы альтернативными [13]. Хорошо известно, что любое подкольцо альтернативного кольца, порождённое парой элементов, ассоциативно. Поэтому элементы альтернативного ниль-кольца относительно операции аоЬ — a+b+ab образуют квазигруппу — структуру "довольно близкую" к группам. Напомним некоторые обозначения и определения, используемые в дальнейшем. Через обозначается ассоциатор элементов а, Ь и с, через коммутатор элементов а и b кольца Я. Множество называется ассоциативным центром кольца R. Приведем некоторые тождественные соотношения, выполняющиеся в альтернативных кольцах, которые потребуются в главе 3 (доказательство можно найти в работах [36], [37]): Для доказательства теорем главы 3 понадобятся также две леммы, которые нетрудно доказать, используя технику Е. Клейнфелда, указанную в работе [37]. Лемма 1.1. Пусть Я — альтернативное кольцо, без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе, и а — элемент кольца R, такой, что а2 — aRa = 0. Тогда а є P{{R)- Лемма 1.2. Пусть R — альтернативное нилъ-колъцо без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе кольца. Тогда, если для любых элементов w, х, у из кольца [w, ж]4 = [w, ж]2?/[и ,я;]2 = 0, то fi R) = R. 1.3. Алгебры Новикова При изучении в [3] локальных алгебр Ли первого порядка и пространства фектор-функций на прямой, их классификация была сведена к изучению конечномерных вещественных алгебр, которые удовлетворяют тождествам В дальнейшем такие алгебры получили название алгебр Новикова. Пусть Ф — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, содержащее \. Неассоциативная Ф-алгебра А называется Ф-алгеброй Новикова, если в А выполняются тождества где (х, у, z) — ассоциатор (1.4) элементов x,y,z.

Как уже упоминалось, алгебры Новикова были впервые введены в [3] в связи с расширением востребованного алгебраического аппарата в механике. Ассоциативные ниль-алгебры и группы Голода В главе изучаются ненильпотентные конечно порожденные ассоциативные ниль-алгебры Л, их присоединённые группы и группы Голода. Показано, что пересечение Аш степеней Ат алгебры А имеет бесконечную коразмерность в А, и, вместе с тем, может оказаться ненулевым (теорема 2.1 и следствие 2.1); что пересечение членов нижнего центрального ряда в группе Р — подгруппа бесконечного индекса, не обязательно единичная; что некоторая фактор-группа произвольной группы Голода является группой Голода и имеет тривиальный центр (решение вопроса. 11.101 [18], теорема 2.2). Доказано, что для произвольных натуральных чисел 2 d п, подгруппы Я GLn(p) Endo(i?i), конечного множества М С N и подмножеств D = {xiu ..., xid} С {жь ..., хп} свободная алгебра F = Ф(жь » хп) над GF(p) содержит допустимый относительно Н однородный идеал 7, для которого фактор-алгебры A{D) = F {D)/(JnF (D)) алгебр F(D) = Ф{хіі: ..., xid) ненильпо-тентны, а их подалгебры из A(D)m, где т Є М, порожденные dm — 1 элементами, нильпотентны (теорема 2.3). В последнем параграфе главы для всех простых р т 2 постро- ены бесконечные сопряжённо m-конечные финитно-аппроксимируемые р-группы, порождённые двумя элементами порядка р) и тем самым получен исчерпывающий ответ на вопрос 2 из [23]. Результаты главы получены в нераздельном и .равном соавторстве с научным руководителем А.И. Созутовым и опубликованы в [42, 43, 44]. Теорема 2.1. Пусть для некоторой системы элементов gi, 52, ..., ? нильалгебры А справедливы равенства Тогда g\ = gi = ... = д& — 0. В частности если нилъ-алгебра А имеет п порождающих, то она отлична от своего квадрата А2 и число порождающих подалгебры А2 не превосходит п3 -\-п2. Вначале докажем две леммы. Лемма 2.1.

Пусть А конечно порождена и хі,хг, -., хп — её порождающие. Тогда А2 также конечно порождена и злеліентьі вида являются порождающими алгебры А2. Число порождающих А2 не превосходит к — п3 + п2. Доказательство. Каждый элемент А2 представим в виде линейной комбинации слов-мономов вида w = 3 ... -х , 1 ki, &2, -) ks тг, s 2, s = d[w) — длина слова w. Поэтому достаточно доказать, что алгебра В, порождённая мономами вида (2.2), (2.3), содержит каждый моном w А с d(w) 2. Если й(ги) = 2 в порождающих xi, ..., х„, то гу = XfaXfa есть порождающий элемент вида (2.2) алгебры В. Предположим, что все мономы w Є А2 длины d(w) s в порождающих xi, ..., хп содержатся в Б и пусть w — слово-моном длины s + 1 3 из А2. Пользуясь ассоциативностью, разобьём слово w — v\V2 на подслова-мономы Щ, V2 — в порождающих xi, ..., хп так, что d(v{) 2 и d{vi) d(v{) — 1. Если d(v2) 2, то 1,1/2 Є В по индуктивному предположению и w = «1 2 Є В. Если d(v2) 2, то s + 1 = 3, d(«i) = 2, d(u2) = 1 и ги = x Xk2Xkz есть порождающий элемент вида (2.3) алгебры В. Таким образом, w Є В и В = Л2. Предложение доказано. Лемма 2.2. Пусть А нилъалгебра и при подходящих -ш є А, Доказательство. Очевидно, что Поскольку Vi = 0 для некоторого n, то имеет место представление #1 в виде Переобозначая vf через w , получаем требуемое представление. Лемма доказана. Доказательство теоремы 2.1. Докажем теорему для к = 3. Пусть По лемме 2.2 элементы 5ii 52 и ?з можно представить в виде Но тогда по лемме 2.2 gi = g2t\. Аналогично для д2 = 51 2- Таким образом, где I — нильиндекс элемента і. Тогда дч — g\ti — 0 и #з = д\Щ\ + 52 32 = 0. Таким образом, для к = 3 первое утверждение теоремы доказано. Далее применяем индукцию по к. Предположим, что для к п теорема верна, и пусть к = п + 1. По лемме 2.2 можно считать, что в представлении (2.1) элемента Qi нет слагаемого вида giva, поэтому Заменим элемент gn+\ в выражениях для i, ?2 ---, 9п его представлением (2.9). Очевидно, что мы получим выражения для gi,g%, ..., ?n через ді,д2,...,дп. Поэтому по индуктивному предположению gt 0 для і = 1, тг. Но тогда из (2.9) следует, что и дп+\ = 0. Первое утверждение теоремы доказано.

Об одном вопросе Рожкова

Вопрос. Пусть р — простое нечетное число, п — натуральное. ДЛЯ всех ли пар р,п существуют финитно аппроксимируемые конечно порожденные р-группы, являющиеся сопряженно п-конечными, но не би примитивно конечные? Отрицательный ответ на этот вопрос при р п вытекает из следующего предложения. Предложение 2.4. Пусть G — сопряженно п-конечная группа. Тогда для всех р Є тг(С7), не превышающих п, группа G — р-бипримитивно конечна. Доказательство. Действительно, если группа G сопряженно п-конечна и р п, то любая пара а,& элементов порядка р из G порождает в ней конечную подгруппу {а, Ь) = (а, аь, ...,а )А(Ь). Следовательно, G слабо р-бипримитивно конечна. Понятно, что условие сопряженной п-конечности наследуется на все сечения группы G. Поэтому они все слабо р-бипримитивно конечны, и, значит, G р-бипримитивно конечна. Если дополнительно G — р-группа, то она бипримитивно конечна. Предложение доказано. Рассмотрим теперь случай пар р, п с условием п р. Отметим, что любая 2-группа бипримитивно конечна. Следовательно, можно считать, что р 2 и для исчерпывающего ответа на вопрос А.В. Рожкова достаточно рассмотреть случай п = р — 1, р 2. Положительный ответ даёт следующий пример сопряжённо (р — 1)-конечной группы, порождённой двумя элементами порядка р. Пример. Для каждого простого р 2 существует бесконечная финитно-аппроксимируемая р-группа, порождённая двумя элементами порядка р, в которой любой набор сопряжённых элементов, взятых в числе р, порождает конечную подгруппу. Доказательство. Рассмотрим присоединенную группу алгебры А из теоремы 2.3 при Ф = GF(p), п — р2, р 2, G = GLn(p). Пусть Н = (а) х (Ь) — элементарная абелева р-подгруппа из G, действую щая регулярно на множестве { }, и К = (1 + Л)ХН. Используя заданное действие Н на i \, образуем конечную р-группу Q = F\\H} изоморфную фактор-группе К/(1 + А2). Очевидно, что \Q\ — рп+2 и Q содержит подгруппу М — {а9, Ъ) порядка р" 2, в частности, Fid М со держит п—А линейно независимых элемента. Также понятно, что любая подгруппа R = (с, C2...,Cp_i) М, где С2, ...,Ср_і Є см, либо содержится в 1-І-А, либо имеет вид (Дп(1 + А)) - (с), причём с $ 1 +Л, ср Є 1 + А. В последнем случае с учётом действия элемента с на образе подпростран- ства Fi при гомоморфизме М —» М М/(1 + Л2) получаем и подгруппа Л Г) F\ порождается не более чем р2 — 2р + 1 — п — 2р + 1 элементами. Если р 2, то р2 — 2р + 1 п — 4 и р — 1 п — 4. Положим в теореме 2.3 (f = п - 4 и пусть Р — подгруппа группы К = (1 + Л)АЯ, порождённая элементами а3,Ь.

Как показано выше, Р содержит элементы 1 + 01,..., 1 + 5п_4, при этом у многочленов gi,...,gn-4 однородные компоненты /ь- )/п-4 линейно независимы. Ввиду предложения 1.3 группа Р бесконечна. С другой стороны, как вытекает из неравенств р2 — 2р + 1 п — 4 и р — 1 п — 4, группа Р сопряжённо (р — 1)-конечна. Можно показать, что группа Р финитно-аппроксимируема, поскольку построенный в доказательстве теоремы 2.3 идеал J однороден. В общем случае, когда идеал J не обязательно однороден, а Р — не финитно-аппроксимируемая группа, как и в предложении 2.1 перейдём к фактор-группе Р/ уи(Р). Очевидно, что Р/уи(Р) наследует интересуемые нас свойства группы Р, то есть порождена двумя элементами порядка р и является сопряжённо (р— 1)-конечной. В то же время, P/7W(P) финитно-аппроксимируема и является группой Голода. Построение примера окончено. Ниль-радикалы альтернативных колец Известно [13, 2], что в классе альтернативных колец определен нижний ниль-радикал, то есть радикал, порожденный свойством быть кольцом с нулевым умножением. В дальнейшем этот радикал, называемый радикалом Бэра, будем обозначать /3(R). В классе альтернативных колец радикал Бэра можно построить следующим образом: пусть /?{(Я) есть сумма всех разрешимых идеалов кольца R, если для всех порядковых чисел а 7 0 a{R) уже определены, тогда j3 (R) есть сумма полных прообразов всех разрешимых идеалов кольца R/p,rf_1(R)J если 7 — не предельное, и /3 (Я) = Ua 7 a(- )) если 7 — предельное, тогда наибольший элемент множества идеалов {{3 a(R)} и будет совпадать с (3(R). В классе ассоциативных колец известен следующий факт (см. [11], глава 10): если R — ассоциативное ниль-кольцо с тождественным соотношением, то fyiR) = Я- К.А. Жевлаков поставил вопрос: на каком шаге будет стабилизироваться цепочка идеалов, построенная выше, в классе чисто альтернативных колец? Решению этого вопроса посвящена данная глава диссертации. Доказано, что в альтернативном ниль-кольце, без элементов порядка 2 и З в аддитивной группе кольца, с существенным тождественным соотношением 0Q(R) = R (теорема 3.2). (Определение существенного тождественного соотношения можно найти в [33]). Кроме того, получен ряд свойств альтернативных колец, представляющих самостоятельный интерес. Так, в альтернативном кольце нильпотентный односторонний идеал порождает нильпотентный двусторонний идеал (теорема 3.1). Установлена радикальность ниль-подколец в альтернативном кольце с существенным тождественным соотношением, и в чисто альтернативном кольце без элементов порядка 2 и 3 в в аддитивной группе. Основные результаты главы — теоремы 3.1, 3.2 и следствия 3.1, 3.2. Они опубликованы в [40]. 3.2. Нильпотентность некоторых идеалов В данном параграфе доказана следующая Теорема 3.1. В альтернативном кольце нильпотентный односторонний идеал порождает нильпотентный двусторонний идеал.

Доказательство. Доказательство проведём только для правого идеала кольца R. Для левого идеала доказательство аналогичное. Обозначим через Sn подгруппу в аддитивной группе кольца, порожденную элементами вида ВпМд...Мд, где MR — оператор правого или левого умножения, Вп — степень правого идеала Б. (Заметим, что операторы могут отсутствовать). Ясно, что Sn — идеал в R и Si — В + RB. Покажем, что (В + RB)Sn С Sn+i для любого п 1. Действительно, (В + RB)Si = (Б + ЯВ)2 С 52. Пусть при п — т [В + RB)Sm С 5т+1. Докажем, что при этом предположении (В + RB)Sm+i С Sm+2. Обозначим через гп элементы подкольца Вп и через 4 — элементы Sn) содержащие к операторов Мд. Из предположений индукции следует, что Далее, используя (1.7) и (1.8), для а,Ь Є Rn г Є В имеем (rm+i,r,a) Є m+2 и Аналогичным образом получаем, что (a, г, b m+i) Є Sm+2. Следовательно, при I = 1, (oJm+1),r,a) 5m+2 и m[m Є Sm+2. Пусть для I fc, (a[m+ rjo) Є Sm+2 и га}"1" " Є Sm+2. Покажем, что (4+і ,г,а) Є 5 +2. Используя (1.7), (1.8) и индуктивные предположения, установим следующие включения: Из включений (3.2), (3.4) следует включение (4+t )г?а) Є SW+2- и также Ввиду включений (3.5) и (3.6) имеем включение raf є 5 +2. Итак, (а[т , г,а),гат Є Э т+г Для любых 7. Перейдем к доказательству первоначального утверждения: Из только что доказанного следует BSm+\ С 5т+2-Пусть (ar)4m+1) Є (ЯВ),?т+1, тогда по только что доказанному. Таким образом, {В + RB)Sn С 5п+1 для любого п 1. Пусть J = Л + -RS. По доказанному, ) J +1{C Sjt+i, где знак ) ( обозначает левую расстановку скобок в произведении Jk+l. Аналогичным образом, как в [14], можно показать, что в альтернативном кольце R любое слово можно представить в виде линейной комбинации /2-слов того же состава, что и данное слово. (Напомним, что -словом называется /і-слово от /і-слов, где Zi-слово — это слово с левой расстановкой скобок на образующих). Теперь ясно, что если Вп = 0, то Jn +1 — 0. Теорема доказана. Основной результат параграфа Теорема 3.2. Пусть R — альтернативное нилъ-колъцо, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе, с существенным тождественным соотношением. Тогда 0Q(R) = R. Доказательство разобьём на ряд лемм и предложений. Обозначим через rr&n\ k элементы подкольца Nft из N(R), через ХІ — произвольные элементы из кольца R и через W d — элементы следующего вида если I и d нечетные, где а обозначает некоторую расстановку скобок, [] — целую часть числа . Имеем [N(R),R] С N(R), и пусть W d — элемент из N(R)y получающийся из Wlf заменой операции умножения между элементами хі и к\т на коммутирование в случае d 1, а также заменой опера-ции между элементами хі и чщ на коммутирование в случае d = 1 дополнительно. Лемма 3.1. Пусть Щ — подкольцо в N(R). Тогда слово И 1 = W imodNfiR + RNR). 43 Доказательство.

Продолжение доказательства теоремы 3.2

Лемма 3.3. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением и N(R) является ниль-подколъцом. Тогда N(Д) С P 2{R). Доказательство. Пусть NQ — подкольцо в N(R) и п — произвольное целое число, обозначим через R i-i и . следующие под кольца в R: (Здесь а обозначает некоторую расстановку скобок). Докажем это утверждение. Действительно, R2iR2m = N RN RNl Предположим, что при t І наше утверждение верно. так как m, I + 1 — (m + 1) /. Для нечетных hi и &m+i утверждение доказывается аналогично. Далее, пусть целое число h 2п, тогда Действительно, где і — четное. При нечетном і доказательство аналогичное. Пусть iVg — нильпотентное подкольцо в N(R) (такое подпольно существует в силу локальной нильпотентности кольца N(R)) (см. [10], глава 10) и п — наименьшее целое число, такое, что идеал В NQR + RNQR — разрешим. Предположим, что п [], где d — степень существенного тождественного соотношения, которое выполняется в R. Тогда 2тг d и мы можем взять h = d. Пусть а{п...га) Є T{R\..,RJ) согласно лемме 3.1, слово если d — нечетное. Так как тождество на N(R) можно представить как некоторую сумму перестановок, то применяя его к правой части сравнений (3.9), (3.10), получим в силу леммы 3.2 так как п [т] по предположению. Но тогда и Рассмотрим двухсторонний идеал N$ lR + RNQ 1R = А + ЙЛ и фактор-кольцо Д — І2/В. Тогда правый идеал А в R, порожденный гомоморфным образом правого идеала N$ lR} правонильпотентен, так как (Ng R) 1 С В, где {х) обозначает тот факт, что в элементе х из R правая расстановка скобок на образующих. Следовательно (см. [37]), А — нильпотентен некоторого индекса. Но тогда, в силу леммы 3.1, идеал A + RA — нильпотентен, а идеал A + RA — разрешим. Таким образом, предположение п [ ] приводит к противоречию, и, значит, п []. Следовательно, идеал разрешим, так как С2 С щ2 R 4- RNQ R и мы получаем, что Л 2 С Й(Д). ПуСТЬ iVx ПрОИЗВОЛЫЮе НИЛЬ-ПОДКОЛЬЦО В iV(-R) И Пі, 712, -, «г Є Мі г [f]) тогда піП2...ггг е /?J(i), так как (JV{)I«1 С #(Я), где iV{ — подкольцо в N(R) порожденное элементами пі,П2, ...,пг Є JVi. Так как JVi — любое подкольцо в N(R), то 7У(Я) 1 С P[(R). Далее, так как N(R) + N(R)R — идеал в Я и N(R) нильпотентен по модулю (3[(R), то N(R) + N(R)R — также нильпотентно по модулю /3[(R) и, следовательно, N(R) С f3 2(R). Лемма полностью доказана. 3.6. Доказательство теоремы 3.2 и следствий Приступим к доказательству теоремы 3.2.

В силу леммы 3.3 и соотношения(1.9) в фактор-кольце R — R/p 2(R) имеют место соотноше- для любых ги, х, у Є R. Но тогда из леммы 1.2 следует, что (3 А[Ё) = Я, то есть /?е(Я) = R. Теорема доказана. Следствие 3.1. Пусть R — альтернативное кольцо с существенным тождественным соотношением, без элементов порядка 2 и 3 в аддитивной группе и Л — нилъ-подпольно в R. Тогда /3(A) = А. Утверждение следствия 3.1 можно доказать, используя теорему 3.2 и методы работы [37]. Следствие 3.2. Пусть R — чисто альтернативное кольцо без элементов порядка 2 и 3 е аддитивной группе кольца, и А — нилъ-подкольцо в R. Тогда (3(A) = А. Доказательство. Напомним, что чисто альтернативным кольцом называется альтернативное кольцо без ненулевых идеалов, лежащих в ассоциативном центре. Покажем, что в R выполняется некоторое существенное тождественное соотношение. Действительно, К = N(R) рС((Я, Я, R)) есть идеал в R и К С N(R)y где С((Я, R, R)) — полный аннулятор подкольца (R, R, К). Следовательно, К = 0. Далее легко видеть, что [JV, N] С К = 0. Поэтому в R выполняется существенное тождественное соотношение (см. [15]). Теперь следствие вытекает из теоремы 3.2. Гомотопы алгебр Новикова В данной главе рассматриваются гомотопы алгебр Новикова, то есть алгебры А р, полученные из алгебр Новикова А посредством производной операции х у = хуїр на Ф-модуле А, где отображение ip удовлетворяет равенству xytp = x(ytp), и находятся условия, при которых гомотоп алгебры Новикова снова является алгеброй Новикова. В.Т. Филиппов изучал -дифференцирование первичных альтернативных и мальцевских алгебр [29] - [31]. Он показал, что в этих классах 5-дифференцирования могут быть только тривиальные [30]. Следовательно гомотопы этих алгебр тоже могут быть только нулевые. Однако в классе первичных алгебр Новикова ситуация иная, поскольку существуют простые неассоциативные и некоммутативные алгебры Новикова [16]. Эти алгебры первичны и у них всегда есть ненулевой оператор левого умножения. В данном случае, как доказано в главе, существуют и ненулевые гомотопы первичных алгебр Новикова. Этим результатам посвящена последняя глава диссертации. Основными результатами главы являются теоремы 4.1 - 4.4. Все результаты главы получены в нераздельном и равном соавторстве с В. Т. Филипповым и опубликованы в [41]. Далее через А и V обозначим, соответственно, произвольную Ф-алгебру Новикова и произвольную неассоциативную Ф-алгебру. Для сокращения записи слова вида U = (...((xiX2)x )...)xn будем записывать без скобок: U — х\Х2Х$...хп. Если не оговоренно противное, будем предполагать, что x,y,z,... — произвольные элементы алгебры V (алгебры Л). Правым и левым умножением на х называются, соответственно, отображения Rxy —)- ух и Ьху —» ху элемента у Є V. Алгеброй правых умножений (левых умножений) алгебры V называется подалгебра R(V) (подалгебра L{V)) алгебры эндоморфизмов Ena4 (V) Ф-модуля V, порожденная тождественным эндоморфизмом є и всеми правыми умножениями Rx (левыми умножениями Lx), где х Є V.

Следуя [29] отображение р Є Епо!ф(Уг) назовем -дифференцированием алгебры V, если для любых х,у Є V выполняется равенство Далее будут использоваться следующие обозначения: хоу = ху + ух — -умножение; (гс, у, z)0 = (х о у) о z — х о (у о z) — -ассоциатор элементов х, у, z\ [ж, у] = ху — ух — коммутатор элементов х и у; у( ) — коммутаторная алгебра алгебры V, т.е. антикоммутативная Ф-алгебра, определенная на Ф-модуле V посредством операции коммутирования [х, у] = ху — ух; I)(V) — левый центроид алгебры V", т.е. централизатор алгебры L(V) в алгебре Епс1ф(К); A(V) — множество —дифференцирований алгебры V; Докажем вначале несколько тождеств, используемых в главе. По определению Г/(У), р Є l\(V) тогда и только тогда, когда для любых xt у є V. Из тождества (1.10) следует, что Ь{А) С Гі(А) и, в частности, L(A) — коммутативная подалгебра алгебры Епс1ф(А). Если р Є Ti(V), то в силу 4.2, для любых х,у, z Є V имеем равенство Отсюда и из тождества (1.11) для любых ху у, z A, tp Є Г)(Л) получим равенство Пусть р є n(V). Легко проверить, что в алгебре V следующие равенства равносильны Следовательно, ц С (А) тогда и только тогда, когда выполняется (4.2) и одно из равенств Пусть ц — произвольный фиксированный элемент алгебры Endj (V). Определим на Ф-модуле алгебры V новое умножение (), положив для любых х}у V. Ф-модуль V относительно умножения () становится Ф-алгеброй, которую назовём гомотопом алгебры V и обозначим через V p. Если -обратимый элемент Endo(V), то гомотоп V назовём изотопом алгебры V. В данном параграфе доказываются две теоремы главы. Теорема 4.1. Если А — Ф-алгебра Новикова [\ Є Ф), tp — произвольный элемент из С(А), то её гомотоп А9 является алгеброй Новикова. Теорема 4.2. Если А — Ф-алгебра Новикова ( Ф), р — произвольный элемент алгебры левых умножений Е{А), то её гомотоп Av является Ф-алгеброй Новикова. Доказательство теоремы 4.1. В силу (4.8), (4.2) и выполнимости тождества (1.10) в алгебре А имеем Следовательно, и в алгебре А выполняется тождество (1.10). Пусть (x,y,z). = (х у) z — х [у z) — ассоциатор элементов xyy,z в алгебре Ар. Применив последовательно (4.2), (4.6), (4.3), (4.4) и (1.11), получим: Следовательно, в А выполняется тождество (1.11), то есть Av — алгебра Новикова. Теорема доказана.

Гомотопы первичных алгебр Новикова

Данный параграф посвящен доказательству ещё двух основных результатов главы. Теорема 4.4. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова и \ Є Ф, то Ц(А) — коммутативная подалгебра алгебры Endcp(A) и выполняется равенство Из теоремы 4.1 и теоремы 4.4 вытекает Теорема 4.5. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова, Є Ф} tp — произвольный элемент из Г}(А), то ее гомотоп Av является алгеброй Новикова. Доказательство теоремы 4.3 разбивается на ряд лемм. Через [А, А] и М(А) обозначим, соответственно, Ф-подмодуль Ф-модуля А и идеал А, порожденные всеми коммутаторами, а через (А, А, А) и D(A) — Ф-подмодуль Ф-модуля А и идеал А, порожденные всеми ассоциаторами. Лемма 4.3. В алгебре А выполняются равенства: Доказательство. Достаточно показать замкнутость Ф-под модул ей [А}А] и (А, А, А) относительно умножения на элементы из А. Ввиду леммы 4.2 имеем Ьх Є А(А ) для любого х Є А. Следовательно, в А выполняется тождество Отсюда Следовательно, выполняется равенство (4.17). В силу (1.10) = xy(tz) - z{t{yz)) - xy{tz) + x(y(tz)) = -x(t(yz)) + x(y(tz)) - 0. Поэтому в А выполняется тождество Далее, в любой неассоциативной алгебре выполняется тождество Тейхмюллера: В силу (4.21),(x,y,z) Є (Л, Л, Л), т.е. А{А,А,А) С (А, А, А). Отсюда и из (4.22) имеем включение и (А, А, А)А С (Л, Л, Л). Значит, выполняется равенство (4.18). В силу (1.11) и (1.10) имеем Отсюда получаем включение Наконец, из (4.17) и (4.18) вытекает включение (4.19). Лемма доказана. Пусть Nr(V) — правоассоциативный центр алгебры V: Если п NT(A), то в силу тождества (1.11) выполняется равенство Лемма 4.4. Правоассоциативный центр NT(A) алгебры А является её идеалом и выполняется равенство Доказательство. Пусть п Nr(A), x,y,z є А. По тождеству (4.21) и определению Nr(A) имеем С другой стороны, применив последовательно (4.22), определение Nr(A) и тождества (1.11), (4.24), (4.21) и (4.24), получим равенства Из (4.26) и (4.27) получаем включение zn nz є Nr(A). Следовательно, Nr{A) является идеалом алгебры А. По определению Nr(A) и (1.10), имеем = x{yn) — y(xn) 0, Отсюда и из леммы 4.3 следует тождество (4.25). Лемма доказана. Напомним, что алгебра называется первичной, если произведение двух любых ее ненулевых идеалов ненулевое. Предложение 4.1. Если А — первичная Ф-алгебра Новикова и 5 Є Ф, то либо А — ассоциативная коммутативная алгебра, либо Nr(A) = 0. Доказательство. Если А является коммутативной, то по лемме 4.3 алгебра А ассоциативна. Если А не коммутативна, то М(А) ф 0 и по лемме 4.4 имеет место равенство Nr(A) — 0.

Предложение доказано. В связи с предложением 4.1 заметим, что существуют даже простые алгебры Новикова, которые не являются ассоциативными коммутативными алгебрами (см., например, [30]) и, следовательно, имеют ненулевой правоассоциативный центр. Лемма 4.5. Если а{,Ь{ (г = l,...,fc) — произвольные элементы из А, удовлетворяющие соотношению Доказательство. В дальнейшем знак суммы будем опускать, считая, что в формулах, содержащих повторяющийся индекс г, имеется ввиду суммирование по г от 1 до к. Применив последовательно (4.22), (1.11), (4.28), (4.21), (1.11) и снова (4.21), получим равенства Применив последовательно (1.11), (4.22), (4.21), (4.28), (1.11), (4.21) и (4.31), получим равенства Доказательство теоремы 4.4. В силу (4.2), Г) (Л) — подалгебра алгебры Епо ф(А). Пусть (р, ф — произвольные элементы из Г](Л). По предложению 4.1 либо А — коммутативная ассоциативная алгебра, либо Nr(A) = 0. В первом случае, в силу (4,2) и коммутативности А, выполняются равенства Следовательно, ху[(р,ф] = 0 и в силу (4.2) х{у[р, ф]) = 0, у[(р,ф] Є АттА. Но, в силу первичности A, Ann Л = 0. Поэтому у[ р,ф] 0, [ р,ф] = 0 и алгебра Т\(А) коммутативна. Ввиду коммутативности А и (4.2) имеем Следовательно, (р 6= А(А ), Гі(А) = С(А) и теорема для рассматриваемого случая доказана. Пусть А не является коммутативной, тогда Nr(A) = 0. В силу (4.2), (4.3) и (4.4), получаем равенства Значит, г[(р,ф] Є Nr(A) и по предложению 4.1 имеют место равенства г[(р,ф] = 0, [(р,ф] О, и поэтому Г)(А) коммутативна. Далее, в силу (4.3) и (4.4) имеем Отсюда и из леммы 4.5 получим включение yoztp — ytpoz Є Nr(A), и по предложению 4.1 имеем yozip—yipoz = 0. Это означает, что выполняется равенство (4.7). Поэтому р Л(Л ) и выполняется (4.16). Теорема доказана.

Замечание 4.2. Если (р Є Г}, moyozip — ytpoz iV2(A) для любых y,zSA. Б заключение покажем, что можно дать определение первичности алгебр Новикова в более слабой форме. Назовем алгебру V слабо первичной, если для любых идеалов /]_, їч алгебры V из равенств Iil-z = 0, /2- 1 = 0 следует, что либо 1г — 0, либо /2 = 0- Лемма 4.6. В алгебре А выполняются равенства Доказательство. Равенство (4.32) следует из леммы (4.3) и леммы (4.4). Для любого п 6 Nr(A), в силу (4.21) и леммы (4.4), имеем равенство п(х, у, z) — (ж, у, nz) = 0. Отсюда, и из лемм 4.3, 4.4 следует (4.33). Лемма доказана. Предложение 4.2. Ф-алгебра Новикова А (\ Є Ф) слабо первична тогда и только тогда, когда А — первична. Доказательство. Ввиду леммы 4.6 либо алгебра А ассоциативна, либо Nr(A) = 0. В первом случае, если /i, h — идеалы алгебры А такие, что І\І2 — О, то идеал І2Іі имеет нулевое умножение, и в силу слабой первичности, J2Ii = 0. Но тогда либо /і = 0, либо J2 = 0. Следовательно, алгебра А первична. Во втором случае, из равенства І-[І2 = 0 и (1.10) для любых а Є /і, b h вытекают равенства По лемме 4.5 а о 6 е Nr{A) = 0. Следовательно, Ъа = —аЪ = 0, hh = 0, то есть алгебра А первична. Обратное очевидно. Предложение доказано.