Продолжение частичных операций и полигоны над вполне 0-простыми полугруппами Петриков Александр Олегович

Введение к работе

Актуальность исследования. Частичные операции, т.е. операции, определённые, возможно, не для всех значений аргументов, в последнее время привлекают всё большее внимание специалистов: Е. С. Ляпин¹,²,³, В. В. Розен⁴, P. Goralcik⁵ и др. Во-первых, это происходит по причине того, что они являются обобщением обычных операций, а, во-вторых, ввиду их распространённости. Систематическое изложение теории частичных операций можно найти в монографии Е. С. Ляпина и А. Е. Евсеева⁶.

Интересен и важен вопрос: может ли частичная операция быть продолженной до полной (т.е. всюду определённой) с сохранением тех или иных свойств, например, ассоциативности?

Понятие ассоциативности частичной операции было введено В. В. Розеном⁷ двумя неэквивалентными способами: сильная и слабая ассоциативности. Частичная бинарная операция называется сильно ассоциативной, если для любых элементов а, Ъ, с произведения (ab)c и а(Ьс) либо оба не существуют, либо оба существуют и равны друг другу. Соответственно, она называется слабо ассоциативной, если для любых элементов а, Ъ, с произведения (ab)c и а(Ьс) равны друг другу, либо хотя бы одна из них не определена. Очевидно, что сильная ассоциативная частичная бинарная операция является также слабо ассоциативной. Множество с ассоциативной операцией называется полугруппой⁸. Множество с сильно ассоциативной частичной бинарной операцией назовём частичной полугруппой. Нетрудно видеть, что частичная полугруппа - это в точности множество ненулевых элементов полугруппы с нулём. Е. С. Ляпин и А. Е. Евсеев⁹ вводят два типа продолжения частичной операции - внутреннее и внешнее продолжение. Продолжение частичной операции на множестве А называется внешним, если существуют множество B^A и операция * на В такие, что для любых а₁, а₂є А

из существования произведения а₁а₂ следует равенство а₁*а₂=а₁а₂. Продолжение называется внутренним, если существует операция * на А такая, что для всех а₁, а₂є А

из существования произведения а₁а₂ следует равенство a₁ *а₂ =а₁а,

¹ Ляпин Е. С. Внутреннее полугрупповое продолжение некоторых полугрупповых
амальгам. // Изв. вузов. Матем. № 11. 1993. С. 20-26.

² Ляпин Е. С. О внутреннем продолжении частичных действий до полных ассоциативных.
// Изв. вузов. Матем. № 7. 1982. C. 40-44.

³ Ляпин Е. С. О возможности полугруппового продолжения частичного группоида. // Изв.
вузов. Матем. № 12. 1989. С. 68-70.

⁴ Розен В. В. Частичные операции в упорядоченных множествах. – Саратов: Изд-во Сарат.
ун-та. – 1973. – 123 С.

⁵ Goralcik P., Koubek V. On completing partial groupoids to semigroups. // Int. J. Algebra
Comput. Vol. 16, no. 3. 2006. P. 551-562.

⁶ Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. – Санкт-Петербург:
Образование. – 1991. – 163 С.

⁷ Розен В. В. Частичные операции в упорядоченных множествах. – Саратов: Изд-во Сарат.
ун-та. – 1973. – 123 С.

⁸ Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: в 2-х томах. – М.: Мир. –
1972. – Т. 1. – 286 С.

⁹ Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. Глава 1, 6. – Санкт-
Петербург: Образование. – 1991. – 163 С.

Необходимые и достаточные условия внутренней продолжаемости полугруппы частичных преобразований с единицей были получены Е.С. Ляпиным¹⁰ в 1982 году.

Нас будет интересовать вопрос о внутреннем продолжении частичной полугруппы до полной с сохранением ассоциативности. Существование внутренне продолжаемой частичной полугруппы очевидно. В качестве внутренне непродолжаемой частичной полугруппы можно взять полугруппу из статьи А.О. Петрикова [13, пример 2].

Также нас интересуют некоторые вопросы из теории полигонов. Полигоном над полугруппой S (или S-полигоном) называется множество X, на котором действует полугруппа S, то есть определено отображение XxS —»Х, (х,s) ь-» xs такое, что x(st) = (xs)t при всех х є X, s, t є S .

Полигон является унарной алгеброй - элементы полугруппы S задают унарные операции на X. Кроме того, полигон является алгебраической моделью автомата¹¹. При этом X - множество состояний автомата, а S - полугруппа входных сигналов.

Полигон X над полугруппой S называется унитарным, если в полугруппе S есть единица е, и хе = х для всех хєХ. Полигон X над полугруппой S называется циклическим, если полигон порожден некоторым элементом хєХ, т.е. X = xS . Полигон X над полугруппой S называется сепарабельным, если для любых элементов а,ЬєХ существует такой s є S \ {0}, что as*bs.

Если полигон X является объединением попарно не пересекающихся подполигонов Х_г (ієі), то X называется копроизведением и обозначается ЦХ_г .

Полигон X над полугруппой S называется инъективным, если для любого инъективного гомоморфизма а: А -^В полигонов А и В над полугруппой S и любого гомоморфизма (р: А ->X существует гомоморфизм у/:В^Х такой, что осу/ = <р (здесь и далее произведение отображений мы осуществляем слева направо).

Полигон X над полугруппой S называется проективным, если для любого сюръективного гомоморфизма а: А -^ В полигонов A и В над полугруппой S и любого гомоморфизма <р:Х^>В существует гомоморфизм у/ : X -> А такой, что ц/а = ср.

Инъективной оболочкой полигона X называется минимальный инъективный полигон, содержащий X. Проективное накрытие полигона X - это проективный полигон Р(Х) такой, что существует сюръективный гомоморфизм Р(Х)^^Х, но для любого собственного подполигона Р₁ а Р(Х) ограничение В |_р не является

сюръективным.

Частичным полигоном над полугруппой S называется множество X, для которого произведения xs определены, возможно, не для всех хєX, s gS, но равенство (xs)s' = x(ss') выполнено, если оба произведения существуют, либо оба произведения не существуют, где S ' є S .

Полурешёткой называется частично упорядоченное множество, в котором любое двухэлементное множество имеет точную нижнюю грань. Отношение порядка задается следующим образом: а<Ъ, тогда и только тогда, когда ab = ba = a.

Будем говорить, что частичный полигон продолжается до полного, если после продолжения частичного отображения XxS^X до полного равенство x(st) = (xs)t будет выполнено для всех XєX, s gS .

¹⁰ Ляпин Е. С. О внутреннем продолжении частичных действий до полных ассоциативных.
// Изв. вузов. Матем. № 7. 1982. C. 40-44.

¹¹ Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории
автоматов. – М.: «Высшая школа». – 1994. – 191 С.

Гомологическая теория – важное направление общей алгебры, а в теории колец и модулей она занимает одно из центральных мест. Под большим влиянием теории колец и модулей создавалась гомологическая теория полугрупп и полигонов над ними. Целый спектр вопросов этой теории освещён в статье Л. А. Скорнякова¹² и монографии М. Кильпа, У. Кнауэра, А. В. Михалёва¹³.

Обзор основных результатов по исследованию теории полигонов был сделан И. Б. Кожуховым¹⁴.

Инъективности и проективности полигонов над полугруппами посвящены главы III и IV уже упоминавшейся монографии¹⁵. Бертьём¹⁶ доказал существование инъективной оболочки произвольного полигона над полугруппой (без предположения о наличии в полугруппе единицы). Проективное накрытие, как и в случае модулей над кольцами, существует не у всякого полигона. Моноиды, над которыми любой полигон имеет проективное накрытие, изучал Исбелл¹⁷. Для полугрупп сравнительно простого строения могут быть описаны все полигоны над ними, а также построены инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов. Могаддаси^18,19 описал инъективные полигоны (в предположении сепарабельности полигона) и построил проективные накрытия полигонов над полугруппой левых нулей. В работе Ким²⁰ были построены инъективные оболочки полигонов над полурешётками групп. И. Б. Кожухов и А. Р. Халиуллина²¹ описали инъективные и проективные полигоны над группами и полугруппами правых и полугруппами левых нулей, построили инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами.

Д.О. Птахов²² исследует примитивно нормальные и аддитивные

аксиоматизируемый класс всех свободных, проективных сильно плоских полигонов над

¹² Скорняков Л. А. Гомологическая классификация моноидов. // Сиб. мат. журн. Т. 10, № 5.
1969. С. 1139-1143.

¹³ Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. W. de Gruyter. – 2000. –
529 P.

¹⁴ Кожухов И. Б. Некоторые вопросы теории полигонов над полугруппами. // Сборник
материалов VII Международной научно-технической конференции «Информатика,
управляющие системы, математическое и компьютерное моделирование». ДонНТУ.
Донецк, 2016. – C. 62-68.

¹⁵ Kilp M., Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories. W. de Gruyter. – 2000. – 529
P.

¹⁶ Berthiaume P. The injective envelope of S-sets. // Canad. Math. Bull. V. 10, no. 2. 1967. P.
261-273.

¹⁷ Kilp M., Knauer U., Mikhalev A. V. Monoids, acts and categories. W. de Gruyter. Chapter III,
theorem 17.26. – 2000. – 529 P.

¹⁸ Ebrahimi M., Mahmoudi M., Moghaddasi Gh. Injective hulls of acts over left zero semigroups.
// Semigroup Forum. Vol. 75, no. 1. 2007. P. 212-220.

¹⁹ Moghaddasi Gh. On injective and subdirectly irreducible S-acts over left zero semigroups. //
Turk J. Math. V. 36. 2012. P. 359-365.

²⁰ Kim J. P., Park Y. S. Injective hulls of S-systems over a Clifford semigroup. // Semigroup
Forum. Vol. 43, no. 1. 1991. P. 19-24.

²¹ Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. Инъективность и проективность полигонов над
сингулярными полугруппами. // Электронные информационные системы. № 2 (2). 2014. C.
45-56.

²² Птахов Д. О. Примитивная нормальность и аддитивность свободных, проективных и
сильно плоских полигонов. // Алгебра и логика. Т. 53, № 5. 2014. C. 614-624.

моноидом. Руэнтан исследует однородные полигоны над моноидом и их инъективные свойства. Могаддаси и Махмуди²⁴ описывают подпрямо неразложимые полигоны над полугруппой нулей, над полугруппой правых нулей и над строгой цепью полугруппы левых нулей. А.А. Степанова и Д.О. Птахов²⁵ дают описание строения (P,s)-, (Р,а)-, (Р,е) -стабильных левых полигонов А над счётным моноидом S левых нулей.

Для полигонов над полугруппой левых нулей было снято поставленное Могаддаси²⁶ условие сепарабельности полигонов. Следует отметить, что основным средством для исследований И. Б. Кожухова и А. Р. Халиуллиной²⁷ послужило полученное А. Ю. Авдеевым и И. Б. Кожуховым²⁸ описание полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. В связи с вышесказанным исследования продолжения частичных операций и полигонов над полугруппами представляются актуальными.

Объектом исследования в работе являются частичные операции, а также полигоны над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами.

Предметом исследования в работе является продолжение частичных операций внутренним образом с сохранением свойств операции, а также инъективные и проективные полигоны над вполне (0-)простыми полугруппами, инъективные оболочки и проективные накрытия над этими полугруппами.

Цель работы. Целью данной диссертационной работы является исследование возможности продолжения частичных операций в частичных полугруппах, а также в нахождении условий проективности и инъективности полигонов над вполне (0-) простыми полугруппами.

Задачи исследования. В диссертационной работе были решены следующие задачи.

1. Получить необходимые и достаточные условия продолжаемости частичной операции до полной для частичных полугрупп: ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы с конечным числом Н -классов, ненулевых вычетов, ненулевых (2x2)-матриц над полем F .

2. Построить примеры непродолжаемых частичных полугрупп.

3. Найти минимальную по количеству элементов непродолжаемую частичную полугруппу.

4. Найти связь продолжаемости операции с инъективностью универсальной алгебры.

²³ Roueentan M., Sedaghatjoo M. On uniform acts over semigroups. // Semigroup Forum.
20.10.2017. P 1-15.

²⁴ Moghaddasi Gh., Mahmoudi M. Subdirectly irreducible acts over some semigroups. // Bulletin
of the Iranian Mathematical Society. V. 43, no. 6. 2017. P. 1913-1924.

²⁵ Степанова А. А., Птахов Д. О. P-стабильные полигоны. // Алгебра и логика. Т. 56, № 4.
2017. С. 486-505.

²⁶ Moghaddasi Gh. On injective and subdirectly irreducible S-acts over left zero semigroups. //
Turk J. Math. V. 36. 2012. P. 359-365.

²⁷ Кожухов И. Б., Халиуллина А. Р. Инъективность и проективность полигонов над
сингулярными полугруппами. // Электронные информационные системы. № 2 (2). 2014. C.
45-56.

²⁸ Avdeyev A. Yu., Kozhukhov I. B. Acts over completely 0-simple semigroups. // Acta
Cybernetica. Vol. 14, no. 4. 2000. P. 523-531.

5. Описать строение инъективных и проективных полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. Научная новизна. Получены необходимые и достаточные условия продолжаемости некоторых видов частичных полугрупп, найдена минимальная по количеству элементов непродолжаемая частичная полугруппа, получена связь продолжаемости частичной операции с инъективностью частичной универсальной алгебры, а также получены полное описание инъективных и проективных полигонов над вполне (0-) простыми полугруппами.

Положения, выносимые на защиту.

5. Получены необходимые и достаточные условия возможности продолжения частичной операции до полной в некоторых частичных полугруппах (ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы с конечным числом Ті -классов, ненулевых вычетов и ненулевых (2 х 2) -матриц над полем).

6. Найдена минимальная (по количеству элементов) непродолжаемая частичная полугруппа. Данная частичная полугруппа задана на 5 -элементном множестве, единственная с точностью изоморфизма и антиизоморфизма.

7. Доказано, что у любой частичной инъективной алгебры с некоторой совокупностью тождеств все частичные операции алгебры могут быть продолжены до полных с сохранением совокупности тождеств.

8. Получено полное описание инъективных и проективных полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. Для произвольных полигонов над этими полугруппами построены инъективные оболочки и проективные накрытия. Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов,

полученных в диссертационной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре «Кольца, модули и матрицы» кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова. Также результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

1. на международном симпозиуме «Абелевы группы» (Москва, МПГУ, 2014), на международной научной конференции «Математика и информатика» (Москва, МПГУ, 2016);

2. на XII Международном семинаре «Дискретная математика и её приложения» (Москва, МГУ, 2016);

3. на международной конференции по алгебре, анализу и геометрии, посвященной юбилеям профессоров П. А. и А. П. Широковых (Казань, КФУ, 2016);

4. на XIV Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 70-ти летию со дня рождения С. М. Воронина и Г. И. Архипова (Саратов, 2016);

5. на XVIII Международной конференции «Теоретические проблемы кибернетики» (Пенза, 2017);

6. на 5-ой Международной конференции «Современные информационные технологии в образовании и научных исследованиях» (Донецк, ДонНТУ, 2017).

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с другими авторами. В совместных работах вклад автора составляет примерно 50%.

Методы исследования. В работе использованы методы алгебраической теории полугрупп и теории полигонов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения частичных операций над частичными алгебрами.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ: ([1] - [13]), из них 4 статьи ([1] - [4]) в журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и списка литературы. Текст диссертации изложен на 97 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.