Проблемы сопряженности слов и подгрупп в свободных конструкциях групп Логачева Елена Сергеевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Метод специального множества для решения некоторых алгоритмических проблем в свободных структурах групп 16

1.1. Построение специального множества слов для свободного произведения групп с объединением 16

1.2. Построение специального множества слов для HNN-расширения 22

1.3. Свойства специального множества 28

Глава 2. Проблема сопряженности слов в древесных конструкциях групп 30

2.1. Разрешимость проблемы сопряженности слов в древесном произведении

свободных групп с объединением по циклическим подгруппам 30

2.1.1. Постановка задачи 30

2.1.2. Вспомогательные утверждения 31

2.1.3. Доказательство основной теоремы 42

2.2. Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами 47

2.2.1. Постановка задачи 47

2.2.2. Вспомогательные утверждения 47

2.2.3. Доказательство основной теоремы 52

2.3. Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами 56

2.3.1. Постановка задачи 56

2.3.2. Вспомогательные утверждения 57

2.3.3. Доказательство основной теоремы 59

Глава 3. Проблема сопряженности подгрупп в древесных конструкциях групп 62

3.1. Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в древесном произведении бесконечных циклических групп с объединением

3.1.1. Постановка задачи 62

3.1.2. Вспомогательные утверждения 63

3.1.3. Доказательство основной теоремы 73

3.2. Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в HNN-расширении бесконечной циклической группы 83

3.2.1. Постановка задачи 83

3.2.2. Вспомогательные утверждения 84

3.2.3. Доказательство основной теоремы 90

3.3. Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в HNN-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами 99

3.3.1. Постановка задачи 99

3.3.2. Вспомогательные утверждения 100

3.3.3. Доказательство основной теоремы 106

Заключение 116

Литература 118

• Построение специального множества слов для HNN-расширения
• Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами
• Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами
• Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в HNN-расширении бесконечной циклической группы

Введение к работе

Актуальность темы

В настоящее время теория групп - одно из наиболее динамично развивающихся математических направлений. Идеи теории групп уходят своими корнями к работам Э. Галуа, Н. Абеля, Дж. Руффини. Однако на начальных стадиях своего развития она представляла лишь теорию конечных групп. И только в начале XX века под влиянием признания роли теории групп в геометрии и бурного развития топологии начали изучаться группы заданные порождающими и определяющими соотношениями, большое значение среди которых имеют бесконечные дискретные группы. Анализ свойств таких групп приводит к комбинаторным методам, откуда и происходит название комбинаторной теории групп.

Основные алгоритмические проблемы комбинаторной теории групп были сформулированы М. Дэном¹ в 1912 году: проблема равенства, сопряженности в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Говорят, что в группе G разрешима проблема сопряженности слов, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух слов w₁,w₂, из G установить, существует ли элемент h Є G такой, что h~¹w₁h=w₂-

Значимые результаты при решении этой проблемы были получены Новиковым П. С.² В 1955 году им доказана неразрешимость проблемы равенства и сопряженности слов в классе конечно определенных групп. Из результата С. И. Адяна³ следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы. Однако отрицательное решение проблемы Дэна в общем случае явилось причиной ее дальнейшего изучения в определенных классах групп. Выделим наиболее

широкие классы групп с разрешимой проблемой сопряженности. В группах с

і і

малой мерой сокращения с условиями С'(-), С'(-) и Т(4), открытых

^LDehn, М. Uber Unendliche diskontinuierliche Grappen / M. Dehn // Math. Annal. - 1912. - V.71. -P. 116-144.

² Новиков, П. С. Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп / П. С. Новиков

// Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1955. - №44. - С.1-143.

^ъАдян, С. И. Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем в теории групп / С. И. Адян // Труды

Московского математического общества. - 1957. - Т. 6. - С. 231-298.

Гриндлингером М. Д., проблема сопряженности слов решена в 1966 году⁴. Р. Линдоном⁵ были введены классы групп с малой мерой налегания С(6), С(4) и Т(4), С(3) и Т(6), в которых им решена проблема равенства слов, а П. Шуппом, используя кольцевые диаграммы, решена проблема сопряженности слов⁶. Отметим также группы кос, для которых проблему сопряженности решил Ф. Гарсайд⁷ в 1969 году, и их обобщение - группы Артина конечного типа, веденные Э. Брискорном и К. Сайто⁸, на которые удалось перенести метод Гарсайда и доказать в 1972 году проблему сопряженности слов.

В 1966 году С. Липшуц⁹ установил разрешимость проблемы сопряженности слов в свободном произведении двух свободных групп конечного ранга с объединением по циклической подгруппе. Фридманом А. А.¹⁰ была решена проблема сопряженности слов в HNN-расширении свободной группы с ассоциированными циклическими подгруппами. Безверхним В. Н. решена проблема сопряженности и степенной сопряженности слов в группах с одним определяющим соотношением с кручением и в их свободном произведении с циклическим объединением¹¹¹²¹³. Значимым результатом в конце XX века является результат Громова М.Л.¹⁴ Им были определены словарно гиперболические группы и решена для них проблема сопряженности слов.

Гриндлингер, М. Д. О проблеме сопряженности и совпадения с антицентром в теории групп / М. Д Гриндлингер // Сибирский математический журнал. - 1966. - Т.7. - С. 785-803.

⁵ Lyndon, К On Dehn’s algorithm / R. Lyndon // Math. Annal. - 1966. - V. 166. - P. 208-228.

⁶ Schupp, P. On Dehn’s algorithm and the conjugacy problem / P. Schupp // Math. Annal. - 1968. - V. 178. - P. 119-
130.

⁷ Гарсайд, Ф. Группа кос и другие группы / Ф. Гарсайд // Математика: Сб. переводов. 1970. - №4. - С. 113-132.

⁸ Брискорн, Э. Группы Артина и группы Кокстера / Э. Брискорн, К. Сайто // Математика: Сб. переводов. 1974.
- №6. - С. 56-79.

⁹ Lipschutz, S. The generalization of Dehn's result on the conjugacy problem / S.Lipschutz // Prog.. Amer. Math. Soc. -
1966. - V. 150. - P. 759-762.

¹⁰ Фридман, А. А. Решение проблемы сопряженности в одном классе групп / А. А. Фридман // Труды МИАН. -
М: 1973. - Т.133. - С. 233-242.

Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в группах с одним определяющим соотношением с кручением / В. Н. Безверхний // тез. VII Всеросссийсикая конференция по математической логике, Новосибирск, 1984. С.7.

¹² Безверхний, В. Н. О проблеме сопряженности слов в некоторых классах групп / В. Н. Безверхний // тез.
Международная конференция по алгебре, Новосибирск, 1989. С. 19.

¹³ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности слов в некоторых классах групп / В. Н. Безверхний //
Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов. - 1990. - С.
103-152.

¹⁴ Громов, М. Л. Гиперболические группы / М. Л. Громов. - Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2002. - 160 с.

Обобщением проблемы сопряженности слов служит проблема сопряженности подгрупп.

Будем говорить, что в группе G разрешима проблема сопряженности подгрупп, если существует алгоритм, позволяющий для любых двух конечно порожденных подгрупп H_lt Н₂ из G установить, существует ли элемент z Є G такой, что z~^xH_xz = Н₂.

Впервые проблема сопряженности подгрупп была рассмотрена в 1967 году В. Н. Ремесленниковым¹⁵ в классе конечно порожденных нильпотентных групп. Далее в исследовании проблемы сопряженности подгрупп были получены следующие результаты: Гриндлингером М.Д.¹⁶ указано в каких случаях любые две подгруппы ранга 2 свободной группы сопряжены. Данный результат был обобщен Молдаванским Д.И.¹⁷ на конечно порожденные подгруппы. В 1971 году Безверхним В.Н.¹⁸ и Молдаванским Д.И.¹⁹ независимо друг от друга была решена проблема сопряженности подгрупп для свободного произведения групп при условии, что в сомножителях разрешимы проблемы вхождения и сопряженности подгрупп; в 1977 году Безверхним В.Н.²⁰ решена проблема сопряженности подгрупп в свободном произведении двух свободных групп конечного ранга с объединением по циклической подгруппе, в 1983 - в HNN-расширении по изоморфным конечным ассоциированным подгруппам при условии, что в базовой группе разрешимы проблемы вхождения и сопряженности подгрупп²¹. Также в 1975 году Безверхний В.Н.²² показал, что в

¹⁵ Ремесленников, В. Н. Сопряженность подгрупп в нильпотентных группах / В. Н. Ремесленников // Алгебра и
логика. - 1967. - Т.6. №2. - С. 61-76.

¹⁶ Гриндлингер, М. Д. Сопряженность подгрупп свободной группы / М. Д Гриндлингер // Сибирский
математический журнал. - 1970. - Т.11. - С. 1178-1180.

¹⁷ Молдаванский, Д. И. Сопряженность подгрупп свободной группы / Д. И. Молдаванский // Алгебра и логика. -
1969. - Т.8. №6. - С. 691-694.

¹⁸ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения групп / В. Н.
Безверхний // XXI Всесоюзный алгебраический коллоквиум. - Кишинев, 1971. - С. 9-10.

¹⁹ Молдаванский, Д. И. Решение проблемы сопряженности подгрупп / Д. И. Молдаванский // XXI Всесоюзный
алгебраический коллоквиум. - Кишинев, 1971. - С. 62-63.

²⁰ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I-II / В. Н.
Безверхний // Современная алгебра. Межвузовский сборник. - 1977. - Вып. 6. - С. 16-32.

²¹ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп / В. Н. Безверхний
II Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных
трудов.- 1983.-С. 50-80.

²² Безверхний, В. Н. Неразрешимость проблемы сопряженности подгрупп для свободного произведения
свободных групп с объединением / В. Н. Безверхний // Сборник научных трудов кафедры высшей математики.
Тульский политехнический институт. - 1975. - Вып. 2. - С. 90-95.

свободном произведении двух свободных групп, объединенных по подгруппе ранга 4, проблема сопряженности подгрупп неразрешима.

Степень разработанности темы исследования

В качестве центрального объекта для изучения в данной работе выбраны древесные произведения с объединением и их HNN-расширения. Впервые понятие древесного произведения групп с объединением было рассмотрено в работе Х. Нейман²³ в 1948 г., как обобщение свободного произведения с объединением; в 1949 г. введено HNN-расширение²⁴.

В настоящей работе рассмотрены следующие конструкции групп: древесное произведение свободных групп с циклическим объединением, древесное произведение циклических групп с объединением и его HNN-расширение.

Как отмечалось ранее, проблему сопряженности слов в свободном произведении двух свободных групп, объединенных по циклической подгруппе, решил С. Липшуц в 1966г. В настоящей работе дается новое доказательство этого результата и его обобщение на древесное произведение конечного числа свободных групп с циклическим объединением, а также на HNN-расширение древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами как с одной проходной буквой, так и с конечным их числом.

При рассмотрении проблемы сопряженности подгрупп в вышеуказанных
группах основополагающими являются работы Безверхнего В.Н.^25,26, которые
закладывают основу для дальнейшего исследования. Используя идеи
доказательства проблемы сопряженности подгрупп для свободного

произведения свободных групп с циклическим объединением, доказана разрешимость данной проблемы для древесного произведения циклических

²³ Neumann, H. Generalized free product with amalgamated / H. Neumann // Amer. J. Math. - 1948. - 70. - P. 590-625.

²⁴ Higman, G. Embedding theorems for Groups / G. Higman, B. Neumann, H.Neumann // Journal of the London
Mathematical Society. - 1949. P.247-254.

²⁵ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп в одном классе HNN-групп / В. Н. Безверхний
// Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп и их приложение. Межвузовский сборник научных
трудов.- 1983.-С. 50-80.

²⁶ Безверхний, В. Н. Решение проблемы сопряженности подгрупп для одного класса групп. I-II / В. Н.
Безверхний // Современная алгебра. Межвузовский сборник. - 1977. - Вып. 6. - C. 16-32.

групп с циклическим объединением, для HNN-расширения бесконечной циклической группы по ассоциированным циклическим подгруппам и для HNN-расширения древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами.

Цель работы

Целью диссертационной работы является решение проблемы

сопряженности слов и проблемы сопряженности подгрупп в древесных произведениях групп с циклическим объединением и в их HNN-расширении. Основные положения, выносимые на защиту и научная новизна

Все полученные результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. В древесном произведении свободных групп с объединением по циклическим подгруппам разрешима проблема сопряженности слов.

2. В HNN-расширении древесного произведения циклических групп с циклическим объединением по ассоциированным циклическим подгруппам разрешима проблема сопряженности слов.

3. В HNN-расширении с конечным числом проходных букв c ассоциированными циклическими подгруппами древесного произведения циклических групп с объединением разрешима проблема сопряженности слов при условии, что элементы не принадлежат ассоциированным подгруппам.

4. В древесном произведении бесконечных циклических групп с объединением разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

5. В HNN-расширении бесконечной циклической группы с ассоциированными циклическими подгруппами разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

6. В HNN-расширении по ассоциированным циклическим подгруппам древесного произведения циклических групп с циклическим объединением разрешима проблема сопряженности конечно порожденных подгрупп.

Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер. Результаты данной работы могут быть использованы при решении алгоритмических проблем комбинаторной теории групп в свободных конструкциях групп. Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.

Методология и методы исследования Исследования, проводимые в настоящей работе, базируются на комбинаторных методах теории групп. Особое место занимает метод специального множества слов, который был введен Безверхним В.Н. в 1972 году. Обобщения проводятся с использованием метода математической индукции.

Степень достоверности результатов Степень достоверности результатов данной работы подтверждается полными и подробными математическими доказательствами.

Апробация результатов Основные результаты работы были изложены:

- на семинаре «Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп»
под руководством Безверхнего В.Н. (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2009-2014гг.);

-на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (ТГУ, 2006 г.);

-на IX Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2012 г.);

-на XII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2014 г.);

- на VI Международном симпозиуме «Абелевы группы» (МПГУ, 2014 г.);
-на V региональной научно-практической конференции ППС,

аспирантов, магистрантов, соискателей ТГПУ им. Л.Н. Толстого «Университет XXI века: исследования в рамках научных школ» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015 г.);

-на XIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения» (ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2015 г., пленарный доклад);

- на семинаре по теории групп под руководством А. Л. Шмелькина (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 г.).

Публикации

Все основные результаты, полученные автором в ходе диссертационного исследования, опубликованы в 14 научных работах: 9 статьях, из которых 5 статей опубликованы в журналах, принадлежащих списку ВАК; 5 тезисах докладов на конференциях различного уровня. Некоторые работы написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[14].

Структура диссертации

Построение специального множества слов для HNN-расширения

Рассмотрим подгруппу А = #,v#_1vpri g = г?рг"2 , А Fmn. Как известно подгруппа свободной группы свободна [18]. Учитывая тот факт, что v не является истинной степенью элементов из Fm имеем, что g и v являются степенями одного и того же элемента. Пусть например g = vl, где 1 t р. Тогда равенство (2.3) возможно лишь в случае гг = г2, следовательно h = h, и утверждение справедливо.

Приведем новое доказательство теоремы С. Липшуца о сопряженности слов. Теорема 2.2. Пусть G=Fm cFn - есть свободное произведение двух свободных групп конечного ранга с объединением по циклической подгруппе C = (vp) = (wq), vEFm, wEFn; щ,и2 Є G - два циклически приведенных элемента равной длины и he С. Тогда существует алгоритм, позволяющий установить, сопряжены щ, щ в группе G или нет.

Доказательство. 1) Пусть щ = h Е С = (vp) = (wq), щ Е G - циклически несократимый элемент, щ,и2 сопряжены в G, то есть существует z Е G: z_1hz = и2. Пусть z = дгд2 ...gk - нормальная форма z в G, gtC, i= I/k; дьдь+1 принадлежат разным сомножителям группы G. Рассмотрим д 1 ...g21g hg1g2...gk. При к = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть к 1. Тогда g 1hg1 Е С, то есть g 1hg1 = /ц. Из утверждения 2.1 следует, что h = h±. Далее g21h1g2 Є С, то есть g21h1g2 = h2 и т.д. Тогда имеем h = ht = h2 = = кк-, З -к-ідк = иг 2) Пусть щ, и2 — циклически несократимы вби не сопряжены элементам из объединяемой подгруппы С. Пусть щ,и2 принадлежат одному сомножителю группы G, например Fm, тогда если они сопряжены в G, то они сопряжены в Fm. 3) Пусть щ,и2 EG — циклически несократимые слова, представленные в нормальной форме, и пусть: щ = дхд2...дк. Рассмотрим некоторую циклическую перестановку элемента и2: и 2 = д[д2 — д к, такую что дг и д[ принадлежат одному сомножителю в группе G, допустим gltg[ Е Fm. Если все gt являются степенями v и w, то рассматриваем равенство щ =и2. Пусть дх и д[ не являются степенями v и w. Тогда, если щ и и 2 сопряжены, то существует такое h Е С, что hu1h 1=u 2 [18]. Тогда должно выполняться равенство hgig .-gich 1 = д[д 2 - д к- (2.4) Для того чтобы выполнялось равенство (2.4), должно существовать такое К Е С, что hgx = g[h . (2.5) Из соотношения (2.5) получаем: g 1hg1 = g g ih . (2.6) Задача сводится к разрешимой проблеме пересечения смежного класса конечно порожденной подгруппы с циклической подгруппой, принадлежащей одному из сомножителей группы G: д 1Сд1 п д д С.

Покажем, что если h существует, то оно единственно. Допустим противное, т.е. существуют h и /г , такие что g 1hg1 = g g Ji . (2.7) Из (2.6) и (2.7) имеем: g 1h-1hg1 = (& )"V. Получили соотношение di1h0g1 = h 0, где h0 = hT1 h Є С и о = (Л ) h Є С являются степенями vv. Из доказательства утверждения 1 следует, что дг = Vі. Получили противоречие предположению, что дг не является степенью v или w. Тем самым теорема доказана. Лемма 2.2. [42] Пусть FT есть древесное произведение свободных групп Ft с циклическими объединениями, имеющая представление

Если д2 Є Fn_, где і 2, необходимо чтобы в группе В g2xh2 д2 принадлежал объединяемой подгруппе СП_І, в противном случае, при t і слово (2.8) циклически сократимо, поэтому кг = h2 = = /in-j, /in_j Є Cn-f. Так как /in_i Є Сп_і ид2Є Fn_i получим случай аналогичный случаю, когда t = 1.

Таким образом мы видим, что в результате сопряжения элемент h перемещается по графу, соответствующему подгруппе В, причем может перемещаться как влево, так и вправо. Если, например, h перешел в вершину (п — Pi), в этом случае мы имеем систему равенств в В: h = h± = h2 = = hp, а затем переместился налево в вершину (п — р2), где р2 Рі, то путь из вершины (п — р2) в (п — рг) и обратно в (п — р2) можно удалить и рассматривать сопряжение оставшейся чаcтью слова z элемента hp2. То есть вместо слова z = д д2 — gn-p2gn-p2-i — 9n-pi.9n-pi.-i —gt можно рассматривать слово z = #102 -9n-p29n-Pl-i -gt Поэтому в силу указанных преобразований слово z должно иметь наименьшую длину из всех слов, удовлетворяющих соотношению (2.8).

Пусть через конечное число шагов сопряжения элемент h словом Z переведен в вершину tl, где ґг к. Тогда получаем, h = ht = h2 = = htl и h = h, то есть htl = h. Для данного случая лемма справедлива.

Случай 2. Пусть в группу В не вкладывается изоморфно подгруппа В±. Рассмотрим glxKg\ = h2t кг Є (v ), h2 Є (i/J ) Fn_l, v \ = v _2, vn_2 Є Fn_2. При сопряжении /I-L элементом gx показатель степени элемента кг будет равен показателю элемента h2, так как сопряжение является внутренним автоморфизмом группы Fn_t; h2 = ti2, где h 2 Є (v _2). Сопрягаем теперь h 2 элементом д2 Є Fn_2. Имеем Fn_2 Fn_3 и подгруппа Сп_2 есть (v п12) = (vn2_3),vn_3 Є Fn_3. Для того чтобы было выполнено условие леммы необходимо выполнение условия: 9т} г9г є ( тГ-г), то есть 9т} т.9г = h3 Є С тГ-г)- Так как г,9г h Є Fn_2, то показатели степеней Ы2 и /і3 будут равны. Допустим, что 9г є Рп-, где і 2, то, для выполнения условия (2.8) в подгруппу Рп-2 Рп-3 Рп-А - Fn-i п-2 п-3 п-4 n-i+1 должна вкладываться изоморфно группа, являющаяся древесным произведением циклических групп (vn_p), 2 р і. Поэтому как и в случае 1 имеем h = h1 = - = hi, где ht Є Fn_t. Получаем случай аналогичный случаю, когда к = 1.

Пусть через конечное число шагов перевели сопряжением элемент h в элемент ht Є Fn_t, и так как в подгруппу не вкладывается изоморфно подгруппа, являющаяся древесным произведением циклических групп с объединением, то ht Ф h в группе В. В противном случае в графе Г сущетсвовал бы путь из вершины (п — 1) в вершину (n — t) и в группу GT изоморфно вкладывалось древесное произведение циклических групп, аналогично случаю 1. Однако, это невозможно, так как Г - дерево-граф. Поэтому, чтобы выполнялось соотношение (2.8), необходимо элемент ht перевести в элемент h, проходя путь в обратном направлении. В результате получаем h = h. Лемма доказана.

Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении древесного произведения бесконечных циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами

Для построения слова w = hs± ...s{Tj rj_-i —rix, в качестве fj тг _г ...rlx выберем подслова правых половин элементов, включая 1, из множества {И U W-f1}; в качестве s ...s-f1 - конечные подслова правых половин множества {W2 U W2_1}, включая единицу.

Пб) Рассмотрим случай, когда в подгруппах gp(Mo,S")и gp(Mo",S "), множества МЦ и MQ" пусты и w = hst ...sN.

Допустим, что умножением справа на подслова из подгруппы др{М , ") в слове w выделим конечное подслово максимально возможной длины rn2 rn2-i, —ri , совпадающее с подсловом правой половины трансформ некоторой подгруппы (Ml"), порождающей S ". В результате получаем iv =/i5a ...5[ГП2 гп г, —Т\ . В подслове hs1...si_1 выделим максимально возможное начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (М-"), порождающей (Sm). При этом возможны случаи: 1) выделенное начальное подслово из wL = s- ...Sj_i полностью совпадает с самим wL. Если в подгруппе др \MQ ,S ) содержатся порождающие подгруппы все (М- ) с крыльями равными 1, то есть, если S = {Cj}, Q СГі и подгруппа 5" = [Cj], Cj GT±, то решение проблемы сопряженности подгрупп HltH сводится к сопряжению Q, С;- в группе GTl. В противном случае, если в (М- J

Пусть подгруппа (М ") имеет вид: (М") = г- 1 —т С гп ...гх , а подгруппа (М\1) имеет вид (м ) = г 1 ...г 1 С гП2 ...гг . Из условий (3,18) и (3.19) следует, что все подгруппы из 5 " являются подгруппами (М"), а подгруппы из S" являются подгруппами (М ). Поэтому gpW,S ") = (М з ), gp(M ,S") = (М). Получили вышерассмотренный случай. III) Пусть подгруппы Cj , Cj принадлежат центру, тогда каждая подгруппа (Mj7) ряда (3.12) принадлежит центру: (Mjo) = v C v = Cio, подобному условию удовлетворяют подгруппы (M ij) ряда (3.13): (М;- ) = gj1 gJo = С- . Если хотя бы одна из подгрупп (Міу) ряда (3.12) или (М-;) ряда (3.13) не принадлежит центру, то не выполняется условие w_1z_1(Afio)zw = (М/0).

Таким образом, (М;-) (h), (М-у) (h), где (h) подгруппа из центра. Запишем подгруппы Н- , Н2 в следующем виде: Н± = (h) X М0, Н2 = (h) X MQ. Так как элементы из (h) перестановочны со всеми элементами Gr, то достаточно выяснить будут ли сопряжены М0 и Мо в группе GT, т.е. существует ли z Є GT, такой что г гМ0г = M Q. Пусть также (М0) = (Х1,Х2 ...,Хп) и (М) = (YltY2, ...,Yn). Элемент z будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (M0)z(Mo). Образующие {Xi i=JJl} подгруппы (М0) и образующие {Yi i=T } подгруппы (MQ) являются специальными и удовлетворяют следующим условиям: а) левая половина каждого Xt Є \ХІІІ= І } , имеющего нечетную длину, изолирована в множестве j {A},7-=T }VQ U (Х;г1,у=т }VQ-11 левая и правая половины каждого Xt Є \ХІ І= І], І(ХІ) = 2т, изолированы в множестве {&№ }\ХІ} и {&г VT } W1}; б) большой начальный и большой конечный отрезки каждого Xt изолированы в множестве {Xj,j=j }\Xt j U {Xj 1,j=tji }\Х[г \; в) для каждого Xt Є \ХІІІ= } справедливо соотношение l W XiW 2) 1(Хі), где W 1, W22 Є {Ху,;=т }\ХЛ U {{- / 1і;=ї і}\ Г1}. Образующие подгруппы (MQ) = (YltY2, ...,Yn) упорядочены по длинам: 1 KYJ l(Y2) ... l(Yn).

Всегда можем полагать, что некоторый образующий Хг Є (М0) циклически несократим. Если все образующие (М0) циклически сократимы, то, сопрягая (М0) некоторым элементом г, получим подгруппу г{1(М0)г1 = (MQ ), в которой элемент z -X zx = Х[ циклически несократим и 1(Х[) 1 и в дальнейшем можем рассматривать элемент Х[. Тогда z 1X1z = Y Y?2 — Y k, где j = ±1, і = 1,к, причем l(z 1X1) Z(z), 1(Хгг) Z(z), так как элемент z удовлетворяет условию минимальности, и поскольку Хг - циклически несократим, то, если имеет место сокращение в произведении г_1Х, то Xxz несократимо. Поэтому z XjZ = z X0Xnz = zn Х0 X0XnX0zn=zn XnX0zn, где Хг = X0Xn ЄСги г гХ0Хпг = Y Y?2... Y k, тогда Z(zn) — .

В противном случае, если Z(zn) 1 то слово Y Y 2 ...Y k не является простым и следовательно его можно представить в виде произведения простых слов, между которыми имеет место касание первого рода: Y Yf2 ...Y,Ek = vxv2 ...vp_1vp, где 17 , Ї = l,p, - простые слова. Так как (zn) р и большой конечный отрезок vp не затрагивается сокращением, то длину zn можно уменьшить, умножая справа на vp 1, i?p Є (MQ), что противоречит минимальности z. Поэтому KY Yg ...Y k) 1{Хг)+ l(Yn) + 1.

Далее в подгруппе (MQ) = (Y1,Y2, ...,Yn) построим множество слов V = {угу2 ... vn}, длина которых не превосходит /( i)+ l(Yn) + 1. Для каждого элемента из множества vt Є V проверяем, сопряжено ли vt с Хг. Допустим, что V[ = vlrlvl Vj , то есть г?- - циклически несократимый элемент в GT. Трансформируем подгруппу (MQ) = (Y1,Y2,...,Yn) элементом v 1, получим равенство: viQ vi Y2l —, Yn)vio = (Y ltY 2,..., Y n), где \Y[,i=Yji) - специальное множество образующих подгруппы vl (\Yiti= i })vio.

Из теоремы 2.3. известно, что некоторая циклическая перестановка Xt будет сопряжена с v i с помощью элемента h из объединяемой подгруппы, т.е. h Є (а%Хі), либо Л Є (а 1): h 1X[h = г?-, где Х[ - циклическая перестановка Xt. Поэтому сначала сопрягаем подгруппу (М0) = {XlfX2, ...,Хп) различными XiL,

Разрешимость проблемы сопряженности слов в HNN-расширении с конечным числом проходных букв древесного произведения циклических групп с объединением с ассоциированными циклическими подгруппами

Пусть щ = lluit uln,тогда а Я = ЩІіиі, где hEUE,s = ±1. Причем степень элемента /і ограничена, так как группа GT имеет центр. Покажем это. Если подгруппа Н± содержит элемент из центра группы GT: C(Gr), то степень h ограничена степенью элемента, порождающего центр.

Пусть подгруппы Н± и Н2 не содержат элементов из центра. В виду того, что Gr = (Щ=1 (ак) \а.lj = a.Jl) есть древесное произведение, то любые две J вершины графа Г соединяет единственный путь, и образующие ассоциированных подгрупп (а 11) и (a im) группы Gr связывает соотношение а 1 = а т .

Если М = N, то элемент а 1 , где а„ Є C(Gr), коммутирует с любым элементом из группы GT, где а„ Є C(Gr), и элемент h ограничен степенью а тімс0 Пусть м ф N Обозначим At(Y) - число вхождений проходной буквы t в образующий Y. Рассмотрим элемент h0 = а імХ с, где Я0 = Xt(Y). Нетрудно показать, что элемент ассоциированной подгруппы h0 перестановочен с любым элементом Y при условии, что сумма всех показателей проходной буквы (Tt(Y) = 0. Если все элементы подгрупп Нг и Н2 обладают условием Gt(Y) = 0, то h ограничен степенью h0.

Пусть существует нетрансформа Уг, такая что а ) Ф 0. Рассмотрим сопряжение Y± элементом п0: ат 1 ат ат rl, где А А" Я 0 + Л 0 = 2Л0. Обозначим h 0 = alM N с. Для любого элемента Ы, показатель которого не превосходит показатель /г0 сопрягаем Y± элементом a-o1 = ku h B , (3.57) получаем элемент Y[. Далее решаем проблему пересечения Y(H2 П (h0) (см. лемму 2.6). Если Y[H2 П UE Ф 0, то оно выполняется для единственного К, так как в противном случае подгруппы Нг и Н2 содержали бы элементы из центра.

Мы показали, что множество элементов вида (3.57) конечно и, проверив его, мы можем эффективно установить, существует ли а0 такой, что z-1 = wgj a0vio, и так как w Є Н2, то в качестве z_1 можно взять II) Пусть каждая подгруппа (мЛ ряда (3.53) сопряжена с подгруппой иє, є = ±1. Аналогичному условию удовлетворяет каждая подгруппа ряда (3.54). На основании леммы 3.12. из сопряженности HltH2: z 1H1z = Н2 следует существование подгруппы (Міо) = v xCiuvi ряда (3.53) и подгруппы (М/о) = gj Cjogjo ряда (3.54) и элемент w Є gp(M 0,S }, таких что w-iz-iCpric. \zw = (а- С[ а. } (3.58) V io 1о 1о / \Jo Jo" Jo J. Пусть CiQ = СГ1 (a m) C1# C = С J1 а П C2, где ат Ult аД; П [/_!. Соотношение (3.58) приведем к виду: Обозначим ЙГ1 = C w z-1 1 1 = taB0t B1 ...te Bk cc = 0,±1 Преобразуем образующие подгруппы w-1z-1gp(M0 S)zw в подгруппу gp(M 0,S :

Рассмотрим случай, когда в подгруппах др(М ь,5"),др(М ь ,S ") имеются нетрансформы, т.е. МЦ Ф Ф,М о Ф.

Опишем способ построения слова w_1 сопрягающего подгруппы gp{M ,S" )iAgp{M (;,S"). Выделяем в слове ЙГ1 = ta0tl#i kBk максимально возможное подслово, совпадающее с подсловом правой половины некоторого образующего специального множества. Допустим, что w_1 можно умножить на слово щщ ...Up Є gp(Mo",S "), і(и0щ ...Up) 2j,j к, чтобы длина произведения /(w_1it0iti ...itp) J(w_1) и длину w = w_1it0iti ...щ нельзя больше уменьшить, умножая слева на слова из подгруппы gp(MQ,S").

Пусть w = taB0tE B1 ...t B it rjt -irj ...г Р, где t rjt -irj ...r максимально возможное закрытое конечное подслово правой половины некоторого слова wE. = talxtE l2 ...lntEnKtEnrn ...tEirjtEi xr _x ...r , являющегося либо нетрансформой, либо трансформой, принадлежащей подгруппе ряда (3.60): (М" ) = t_/?ri_1 ...t ei-lrfH ei ...г гг ЕпАьгЕпгп ...tEirjtEJ-irj_x ...r . по Длина начального закрытого отрезка taB0tElB1 ...B t , і к, слова w не больше []. Выберем в подгруппе gyiM .S ") любой образующий wk из специального множества Wlt (w ) 2/ + 1,

Щ2 є 2 элементом w , получим сокращение в произведении w Wj2w слева и справа, затрагивающее слог В[. Допустим, что слог В[ затрагивается сокращением либо слева, либо справа. Тогда wrlw[w = Xt B rfi r ...г и, так как w w[2w Є #p(Mo",S "), то w wE2w = щщ ...un и, поскольку w нельзя укоротить, умножая справа на слова из ду{М ,S "), то конечное подслово XtEiB itE rjtE}-1rj_1 ...r tP можно перевести в конечное подслово правой половины некоторого слова Щ из специального множества W2, что невозможно по определению 1.9.

Предположим, что умножением справа на слова из подгруппы #P(MQ",S ") в слове w-1 выделим закрытое конечное подслово максимальной длины tEn2rn2lytn2 lrn2-i,y —r-LytP, совпадающее с подсловом правой половины какой либо трансформы подгруппы (М" ) ряда (3.60). В результате получаем w = taB0tlB1 —tiB[tEnirn ytEni-xrn _Xy ...rlytP. В подслове wA = taB0tlB1 ...ti выделим максимально возможное закрытое начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (М") ряда (3.59). При этом возможны случаи: - выделенное начальное подслово целиком совпадает с wA. Тогда, если в подгруппе 9Р\Щ iS ) = п2Гп2,у Єп2_1 —riyt gp(.MQ",S" )t Pr{y1 ...t_n2 содержатся порождающие подгруппы f М-\ с крыльями, не равными 1, то выбор В[ осуществляется аналогично предыдущему случаю IIа. Если S = {Q}, Ct GT, и подгруппа S = (С;), Cj Gr, то решение проблемы сопряженности Нг и Н2 сводится к сопряжению Q, Cj в группе GT (см. п.3.1.).

Разрешимость проблемы сопряженности подгрупп в HNN-расширении бесконечной циклической группы

Допустим, что умножением справа на слова из подгруппы др{М ,S ") в слове w-1 = taB0tlB1 ...tkBk выделим закрытое конечное подслово максимально возможной длины tirjtJ 1rj_1 ...ггґ , совпадающее с подсловом правой половины трансформы некоторой подгруппы (М" ) ряда (3.37). В результате получаем w = taB0tlB1 ...tiB[tirjti-1rj_1 ...r . В подслове wA = taB0tlB1 ...ti выделим максимально возможное закрытое начальное подслово, совпадающее с подсловом левой половины трансформ некоторой подгруппы (М") ряда (3.38). При этом возможны случаи:

Выделенное начальное подслово целиком совпадает с wA. Тогда, если в подгруппе др\Мц ,S J = t rjt -1 ...r1t p(Mo",5 ")t_ rf:L ...t i содержатся порождающие подгруппы (М- J с крыльями, не равными 1, то выбор В[ осуществляется аналогично случаю IIа. Если подгруппа др (MQ ,S J состоит из трансформ только единичной длины, т.е. др (M4),S(4)) = С± (а) и подгруппа t i... BQ1 "др(МЦ, S")taB0tl ...tl = др (MQ ,S J = C2 (а), то решение проблемы сопряженности Я-L и Н2 сводится к сопряжению подгрупп Cjи С2 в группе (а). Пусть теперь выделенное начальное подслово в слове wA = taB0tlB1... ti меньше wA. Тогда w A = t-e rt-r ...r t- i +it ...ts причем каждая подгруппа (Af/j ) = д ц C[j g"j , порождающая S ", удовлетворяет соотношению t .tey-iry_1 ...ritp{M"-)t-pr ...rf4 ei UEl, (3.41) а каждая подгруппа (М ), порождающая S", удовлетворяет соотношению t-E -it-E i _r- t-e ni(M[ \t r MitL t « [/ (3.42) так как в противном случае выделенные подслова t Ear{J Elr2x ...r t_ni и tEirjtEi-1rj_1 ...г Р не будут максимально возможными, полученными соответственно при умножении w слева на слова из gp(Mo ,S")и справа на слова из #P(MQ",S" ). Кроме того, подгруппы, порождающие S ", могут быть подгруппами следующего ряда Uio t-PC tP, t- H- C t r ,…, (3.43) t-Ргї1 ...rf1t EiCj"tE3rjtEJ-

Из условий (3.41), (3.42) следует, что все подгруппы ряда (3.38) являются подгруппами (М"), а подгруппы ряда (3.37) - подгруппами подгруппы (М ).

Поэтому gvW.S ") = (Mfc"), dPiM o.S") = (М). Получили выше рассмотренный случай. III) Пусть в подгруппах Н± = gp(M0,S), Н2 = gp(MQ,S ) основы S и S равны единице, т.е. Н± = (М0), Н2 = (MQ), и являются свободными подгруппами в группе В. Выясним, будут ли сопряжены Мо и Мо в группе В, т.е. существует ли z Є В, такой что z rMQz = M Q. Элемент z будем выбирать наименьшим в двойном классе смежности (M0)Z(MQ).

Пусть также (М0) = (Х1 Х2, ...,Хп) и (М) = (Y Y ...,Yn). Образующие \ХІ І=ЇЇІ ) и { ін=їл } являются специальными и удовлетворяют условиям: а) закрытая левая половина каждого Xt Є {JQ} і= , имеющего нечетную длину, изолирована в множестве j{A},y=T }УГj U { /г1 ;=їдг} Х Г1}, закрытая левая и закрытая правая половины каждого Xt Є \ХІІІ= І }, имеющего четную длину, изолированы в множестве {{ /,;=т п }\%i \ U {/Х} \;=т г) Х- Г11 б) закрытый большой начальный и закрытый большой конечный отрезки каждого Xi изолированы в множестве {Я/,у=т }\Xi \ U 1{ /г1 =їдї) Х Г ь в) для каждого Xt Є {Xiti=Y } справедливо соотношение l w XiW 2) l(Xi), где w 1, w22 Є {Ху,;=т }\ХЛ U 1{ /г1 =ї г} \ f

Рассмотрим циклически несократимый образующий Хг Є (М0). Сопрягая его элементом z получим: г гХгг = Y Y?2... Y k, где слово Y Y?2... Y?k Є (Mo) простое и l(Y Y 2... Y?k) 1(Хг)+ l(Yn) + 1 В подгруппе (MQ) построим множество слов V = {vav2 ...vn}, длина которых не превосходит l(X )+ Z(Vn) + 1. Для каждого элемента из множества V[ Є V проверяем, сопряжено ли V[ С Хг. Допустим, что Vj = VlrlPl Vj , то есть v[ = t Bi ... t8kBk - циклически несократимый элемент в группе В. Сопрягаем подгруппу (Ylt Y2,..., Yn) элементом v 1, получим равенство: vi0 \ i,Y2, ...,Yn)vio = (Y1,Y2,...,Yn), где { 7Н=ЇДЇ} специальное множество образующих подгруппы

Из теоремы Коллинза [18] известно, что некоторая циклическая перестановка Xt будет сопряжена с v[ с помощью элемента h из ассоциированной подгруппы, т.е. h Є am , либо h Є (ап): hrxX xh = v[ где Х[ - циклическая перестановка Хг. Поэтому сначала сопрягаем подгруппу (М0) = (XltX2,... ,Хп) различными XiL, т.е. начальным словом XiL некоторого слова Xt. В результате получим конечное множество подгрупп: и выберем из этого множества подгруппу, у которой Х[ сопряжено с v i элементом h из ассоциированной подгруппы. Трансформируем выделенную подгруппу элементом h и проверяем справедливость цепочки соотношений: h- xy h с ((У о) с ЪгЩхУ к (3.45)