Введение к работе
Актуальность тени. Исследования групп, аданных породдажцими ті определяющими соотношениями, уго дав-:о вндолилпсь з самостоятельную обширную область, традиционно з.:эну8муи юткбкнаториоя теорией групп и шлю бурно развиваю-увся. В 1912 году It Ден сформулировал ряд алгоритмических роблон теории групп, возникших из потребностей топологии. те проблема равенства слов (или, кратко, проблема равенст-з), проблема вхождения, проблема изоморфизма, ныне ставшие хассичесіпмі. Постановка этих проблем не является специфичной для теории групп, а имеет общеалгебраический характер. ольпоо число работ по алгоритмическим вопросам алгебры относится не только к случаю групп, но такта и к кольцам, алгеб-ам, полугруппам, репэткан.
Пзрвая среди названних проблем - проблема равенства. аігболее яркое достилэние здесь - знаменитый результат П. С. Полтава t20] о судаствовании гсэнечно определенной группы с еразрепдаоД проблемой равенства. На основе этого результата кто получено отрицательное решение других адгорїітшічесішх роблеы теории групп (П. С. Ков-ков [211. С.И.АДЯН [П) и дока-она обсзя теорема о нераспознаваешсти почти всех-втересных групповых свойств (в частности, конечности, щяючности, коммутативности, нильпотентности и т.д.).
Страдательное ресенне основных алгоритмических проблем в тесе всех групп определило необходимость изучения 8ТИХ роблем при некоторых ограничениях, накладываемых на группы.
Одним из вапных видов.ограничений является выполнимость
группе нетривиального тождества. Проблема равенства,
невидно, разреснма в конечно поровденных абелевых группах.
И. Пальцевым (301 была установлена разревкыость проблеми
івенства в конечно порожденных нильпотентных и
полициклических группах, (иного позже для конечно порождении; нильпотентных групп была решена и проблема изоморфизма. К решение получилось как следствие очень глубоких результатов < линейных группах [29], [393).
В последние примерно 15 лет одно из центральных U3CT исследованиях по алгоритмический проблемам заняли разрешим группы. Алгоритмическим проблемам в теории разрешимых груї посвящены обзоры Ы. И. Каргаполова [ 413, В. IL Ремзслешшкова 11 С. Романовского [43], рассматриваются эти проблемы так в обзорах С2]. [4], [5], [22], [23].
В дальнейшем нам потребуются следующие обозначения. Чер< QL будем, как обычно, обозначать многообразие всех разр иимых групп ступени ^ П. , через C - многообразие НИЛ потентных групп ступени б С , через "2/] 7-Q - произво, ние многообразий 'ХГ[ и м. Если 7Р - некоторое многообра: групп, то через Z 7-Р будем обозначать многообразие групп, которых фактор-группа по центру принадлежит 7Р. Аналогичні обозначения будем использовать для соответствующих многообразий алгебр Ли. Через (Жр будем обозначать многооб] вне абелевых групп экспоненты р , через &р - многообраз] всех групп экспоненты р . Через КО обозначим класс всех нечно определенных групп (соответственно, алгебр Ли).
При изучении проблем алгоритмического характера д многообразий групп возникает два варианта постановок гада Пусть *2Р - неіюторое многообразие. В первой варнанті рассматриваются группы, конечно определенные внутр; многообразия У?, т.е. заданные конечным числом пороадащя элементов, конечным числом определяющих соотношения I товдествами многообразия О-О (класс таких групп будеї обсзначать КО)?). Во втором варианте рассматривается группі принадлежащие пересечению класса АО и многообразия 7Р{КОгЗІ, т. е. группы, у которых товдества многообразия 7Р следуют : конечного числа определяющих соотношений, а не накладывайте; дополнительно, как в первом варианте. Если проблема равенств, разрешима в первом варианте, то говорят, что проблем
ззкства разрепша в многообразии IP (для многообразия 7Р). эт термин в последнее вреня стал обдапринятым. Разрешимость эОлеин равенства в тгогообразии?/'эквивалентна разресимости' «нереальной теоріш многообразия 7Р С 42]. Если жз проб-,я равенства разрешима во втором варианте, т.о. для эх групп из класса КО^ІР, то будем говорить, что а эгсобразии ОР разрешима ослаОленнап проблема равенства, потребление терміна "ослабленная" оправдано те», что в этом рте рассматриь:і<->тся более узкий класс групп; этот тер-I удобно ввести для более четкого различения двух вариантов зблемы равенства.)
Ясно, что кз разрешмости проблемы равенства для )гообразия 'JP следует разрешимость ослабленной проблемы їенства для 70 . Заметим тачме, что разрешимость в )Гообразки 2/р) ослабленной проблемы равенства наследуется ) подмногообразиями.
Сформулируем основные задачи. стимулирозавпио :лэдования по проблеш равепства для многообразия »решимых групп.
1. Установить, разрешима ли проблема равенства для групп,
іечно определенных в многообразии OLtn*b ( А. И. Мальцев С183).
В навей терминологии здесь требуется установить. разрввит проблема равенства в многообразиях (Х'\
2. Построить конечно определенную группу с то.гдествои,
>блеьа равенства в которой неразрепниа (С. ЛАдян,задача 4.3
Коуровской тетради (Ш). Аналогичная задача, с требованием, чтобы искомая группа іа разрешимой, отмечалась R R Ремесленниковым и Н. С. Рош-іским в [431.
3. Г&яснить, блоки)!» ли произвольная рекурсивно опро-
іенная группа многообразия < 7 в группу из класса КО(ХГ\хрл
втором т (R IL Ремесленников, задача 5.46 из til]).
Репение задачи 1 было получено В. Н. Реыесленниковым в юте [24]. Он показал, что проблема равенства для много->азия (,Y при п S неразрешима Тем самым задача 1 была
решена отрицательно. На основе этого результата было получеі отрицательное решение [73 проблемы изоморфизма групп, конеш определенных в ОС1 при П > ? . Г. IL Кукин и R И. Епанчинцев It (см.также комментарий в [49]) доказали, что проблема равенсті неразрешима для любого многообразия групп IP, содержащего мне гообразие 7Z3 CZ. Тем самым они получили усиление упомянутс теоремы Ремесленникова. Ими также доказана неразрешимой проблемы изоморфизма для групп из класса К02Р .
Задача 3 была решена Г. ИКукиным в [17]. Он показал, чте рекурсивно определенная группа из ыногоообразия IP вложима і группу из класса кожа!
Что касается задачи 2, то до исследований автора она оет валась нерешенной.
В контрасте с приведенными результатами о неразрешимое!
находится теорема Холла [40] о финитной аппроксимируемое:]
конечно порожденных метабелевых (т.е. 2-ступеино разрешимых]
групп и, следовательно, о разрешимости для них проблемі
равенства, результат Р.Бири и Р.Стребеля [38] о финитно*
аппроксимируемости групп из класса КОгл 7tz0L и результаті
;' Е С. Романовского [25-27] о разрешимости проблемы равен
ства для многообразий (без информации <
проблеме равенства для подмногообразий).
Давно известен глубокий параллелизм между группами і алгебрами Ли. Охарактеризуем результаты по алгоритмически) проблемам- для алгебр Ли, родственные перечислении: результатам для групп.
Комбинаторная теория алгебр Ли развивается с конца 30-х годов. Первые крупные результаты в этом направленні принадлежат Биркгофу и Витту (теорема о вложении алгебр Ли і ассоциативные алгебры), Магнусу, изучавшему связи свободны: групп и алгебр Ли. Ярким достижением является результат А. И. Ксстрикина о локальной нильпотентности энгелевых адгеб] Ли, из которого вытекает положительное решение ослабление! проблемы Бернсайда для групп простой экспоненты [8-10]. Глу-
- 7 -окая связь меяду комбинаторной теорией групп и алгебр Ли сследовалась в работах А. Л. Шмелькина [35], 136].
Алгоритмические проблемы для алгебр Ли начал изучать .И.Ширшов [30-341. Им была доказана разрешимость проблемы авенства слов для алгебр Ли с одним определяющим оотногонием, с однородными соотношениями и для конечно орояденных метабелевых алгебр Ли. А. И. Ширшов поставил задачу: оісазать неразрешимость проблемы равенства в многообразии ;ех алгебр Ли и в многообразиях (X, ,п>3. Первая задача была элоиггелыга решена Л.А.Бокутем [3], а вторая - Г. ИКукиным 16].
Для многообразий алгебр Ли, так яг, как и для :югообразий групп существует два варианта постановки агоритмических проблем.
В связи с наличием указанных двух вариантов постановки зоблемы равенства становится актуальной следуюдая задача (мы эодолжаем начатую выпи нушрацию задач).
4. Выяснить, сущэственно ли различие в двух вариантах по-
гановки проблемы равенства, т. е. существуют ли реально много-
5разия групп и алгебр Ли с неразрешимой проблемой равенства,
) разрешимой ослабленной проблемой равенства.
Кроме того, возникает следующая задача.
5. Установить, наследуется ли разрешимое ?ь"' проблемы
івенства в многообразии групп (алгебр Ли) его .
«многообразиями.
Заметим, что, как уяз отмечалось выше, разрешимость. вабленной проблемы равенства наследуется подмногообразиями.
Приведенные результаты, а такяе исследования автора (сы. їж обзор содержания глав 2 и 3 диссертации). поставили на вестку дня задачу более пристального изучения того, как рас--Шопены многообразия с разрешимой и неразрешимой проблемой івенства в решетке многообразий.
6. Исследовать границу мевду разрешимостью и
разрешимостью проблемы равенства в решетке многообразий
зрешимых групп (алгебр Ли).
Эта задача для групп фактически отшчалась в обзоре RIL Реызслешшкова и В. А. Роианькова С 23]. а для алгебр Ли - в обзоре Л. А. Бокутяи.П-п'. Кжинд [зЗ
В связи с задачей 6 особую роль начинает играть понятно іинишльного многообразия с неразрешимой проблешй равенства. Шогообразие 1Р сбудем называть минимальным шюгообразиеи с нераэрепмшй проблемой равенства, если эта проблеш неразрешима d OP, но разрепзша в лхйоу его собственном подмногообразии. Л.Н.Шэврин предлогзш автору следуацун задачу.
7. Байти пригары цишшальных многообразия групп и алгебр Ли с неразрешимой проблешй равенства и, насколько шгага, продвинуться в выявлении всех таких многообразия.
Цель работы. Исследовать проблему равенства дл шюгообразий разреіз-auffi групп и алгебр Ли и, прзвде всего, рзиїть сформулированные виш задачи 2, 4-7.
Научная новизна Швіг&і является как все основні» результаты днссортацші, та:: п некоторш постанови:! вадач. Новой является и значительная часть аппарата исследовании.
Практическая п теоретическая ценность. Работа носит теоретический харастер. Прово-дэшюо исследование дало ответы на некоторой аістуальнш вопросы, стоявше в теории групп, и на аналогичные вопроси дл алгебр Ли. Результаты и иетоды работы уго находят приюнонш научных исследованиях, а такке гагут быть использованы а отчасти укз используются при чтении авгебраичесгапг специальных курсов, подготовке іконографія н учебников.
Апробация. Результаты диссертации отрагаїш о публикациях С443 - [57]. ІІз совместной работы [47] с диссертации включены только результаты автора, результат работы [551 об алгоритмической керазресжоетн систем гинопшп дифференциальных уравнений получен в нераздельной соавторства с 1І&Салироы, остальные результати этой работы, юшочэшшэ в диссертацию, принадлегат автору.
Результаты диссертации докладывались на XYII (Ленинград, 1981), XYII (Минск, 1983), XYIII (Кишинев. 1985) и XIX (Львов, 1987) Всесоюзных алгебраических конференциях, на YII Есссошном симпозиуме по теории групп (Красноярск, 1980), на YIII (Москва. 1986) и IX (Ленинград, 1988) Всесоюзных конференциях по математической логике, на Y Сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (Барнаул, 1988), на YIII Шддународном конгрессе по логике, философии и методологии науки (Иосква, 1987) и на Ііевдународчой конференции по алгоритмическим вопросам теории групп (Беркли, США, 1989). При этом на конференциях в Кишиневе и Беркли были сделаны пленарные доклады. Автор' выступала с докладам! о результатах диссертации такие на заседаниях семинаров . в Шскве (Семинар по математической логике ИГУ, 1980, 1986; Научно-исследовательский семінар по алгебре ИГУ, 1986, 1988), Ленинграде (Алгебраический.семинар ЛОМИ и ЛГУ, 1984), Новосибирске (Семинар "Алгебра и логика", семинар "Теория колец" им. А. II Ширшова, 1985), Омске (Городской алгебраи- ' чоскип семинар, 1981), Свердловске (Городской алгебраичесіаїй семинар и семинар "Алгебраические системы", 1980 - 1989), па заседании Уральсіозго математического обпрства (1984).
Объем и структура работы. Работа изяоиэна на 236 страницах и состоит ,.з введения и четирея глав. В главе 1 приводится техническая база диссертации, глава 2 посвящена ослабленной проблеме равенства, а главы 3 и 4 - проблеме равенства для многообразий -групп и алгебр Ли. Библиография содержит 92 наименования.