Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных задач теории Галуа является проблема погружения. Несколько результатов об этой проблеме были получены А.Шольцем, Р.Врауэроы, Х.Райхардтом в 30-е годы нашего века. В 1944 в своей работе В.Н.Дело-пе и Д.К.Фаддеев предложили новый подход к проблеме. В частности, Д.К.Фаддеев сформулировал одно необходимое условие разрешимости задачи погружения - так называемое, условие согласности, которое заключается в существовании некоторого модуля согласности. Д.К.Фаддеев показал, что модуль согласности единствен с точностью до изоморфизма. В 1948 году Х.Хассе переоткрыл условие согласности для случая, когда ядро задачи — абелево, а поле содержит достаточно много корней из І. Он предположил, что это условие является не только необходимым, но и достаточным для разрешимости задачи погружения. Но И.Р.Шафаревич и Д.К.Фаддеев посгроили контрпримеры к этой гипотезе Хассе. В частности, в примере Фаддеева ядром проблемы погружения была циклическая группа восьмого порядка; позднее Д.К.Фаддеев и Р.А.Шмидт нашли дополнитсльое условие разрешимости задачи погружения для этого случая. Задача погружения с абелевым ядром была наконец решена А.В.Яковлевым, который получил необходимое и достаточное условие когомологической природы разрешимости задачи погружения. Однако этот результат не позволяет строить решения в янном виде. В последнее время вновь возрос интерес к построению явного вида решений, о чем свидетельствует большое коли.чество недавних работ на эту тему, например, серия статей Т.Креспо. В настоящей работе показано, что на самом деле уже оригинальный подход Д.К.Фаддеева позволяет явно построить все решения, если они существуют.
Другая проблема затронутая в диссертации — - это описание структуры группы главпых единиц и р-адического пополнения группы Галуа локального поля рассматриваемых как модули Галуа. Этой, задачей занимались такие известные ма-
тематики как Г.Е.Вахлин, М.Краснер, Д.Гильбарг, К.Г.Ивасава. Наиболее важные результаты принадлежат Дж.Тэйту и З.И.Боревичу. В настоящей работе описаны параметры, определяющие с точностью до изоморфизма структуру Галуа этих важнейших модулей.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение явного вида решений проблемы погружения Галуа, а также изучение структуры некоторых важных модулей Галуа и применение полученных результатов к задаче погружения.
Научная новизна и практическая ценность. В работе получены следующие результаты:
Задача погружения сводится к задаче линейной алгебры, которая хотя и достаточно сложна в общем случае, позволяет дать полное описание решений задачи погружения Галуа в случае абелева ядра.
Теоремы Яковлева о когомологически тривиальных в размерности 1 модулях доказаны для случая нециклической группы порядка 4.
Описаны параметры, определяющие с точностью до изоморфизма структуру Галуа группы главных единиц и р-адического пополнения группы Галуа расширения локального поля и предложен новый подход к изучению такой структуры. Работа носит теоретический характер.
Общая методика исследования. В работе использованы методы теории Галуа, гомологической алгебры, теории представлений.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в Университете Бордо-1 в 1996г., а также на Международной алгебраической конференции, посвященной 90-летию Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург,1997г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на 11 параграфов. Объем работы 72 страницы. Библиография содержит 34 наименования.