Введение к работе
Актуальность темы.
Центральной темой диссертации является теорема Крулля-Шмидта о единственности прямых разложений. Эта теорема в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А.Г.Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы для груші. Нас будут интересовать разложения модулей в прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:
Теорема. Пусть М артинов и нетеров модуль иад произвольным кольцом В и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых:
М = Мі Л72 Є Ф Мк « М = Лт Ф Лт2 Л(.
Тогда к ~ I и существует такая перестановка а, что Мі изоморфен jVff(,( при i = \...k.
Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. В этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулей; она имеет место для артиновых и нетеровых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму .модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Крулдя-Шмидта-Рсмака-Адзумая [1, Глава 7]. Независимо от Г.Адзумая этот факт был использован З.И.Боревичем и Д.К.Фаддеевым при изучении р-адичеекпх представлений.
Большая часть понятий, связанных с. прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке, колец эндоморфизмов. При этом прямому слагаемому модуля соответствует ндемпотеиг кольца эндоморфизмов модуля. Этим объясняется интерес, проявляемый к изучению колец эндоморфизмов и, в рамках нашей проблематики, к изучению разложений единицы кольца в сумму ортогональных идемпотеитов.
Диссертация появящепа вопросу о единственности разложения артшюва модуля в прямую сумму неразложимых подмодулей. Впервые эта проблема была поднята Круллем в 1932 году; он задал следующий вопрос: имеет ли место единственность разложения в прямую сумму для артинова модуля над произвольным кольцом В, [2]? Иначе говоря, является ли условие нетеровости модуля в формулировке теоремы Крулля-Шмидта существенным?
Напомним, что ключевым моментом в доказательстве классического варианта теоремы Крулля-Шмидта является лемма Фпттипга, которая утверждает, что для любого эндоморфизма / модуля конечной длины М существует натуральное п такое, что М = Кег / 1ш /". Из нее непосредственно следует, что кольцо эндоморфизмов неразложимою модуля конечной длины локально н его радикал состоит из нилыютентных эндоморфизмов. Поэтому попытки найти аналог леммы Фигтинга, который был бы справедлив не только для модулей конечной длины, представлялись весьма обоснованными.
Р.Уорфилд установил [10], что такой аналог имеет место для модулей, длина ряда Леви которых равна ш. В частности, кольцо эндоморфизмов неразложимого артинова модуля длины ц> локально. Артиновы модули над коммутативными и над нетеровымя слева кольцами всегда имеют длину, не превосходящую и). Таким образом, Уорфилд решил проблему Крулля для случая, когда кольцо, над которым рассматриваются модули, нетерово слева или коммутативно.
В работе [11] показано, что теорема Крулля-Шмидта справедлива для ар-тшювых модулей над так называемыми лі-кольцами, то есть кольцами, всякий сюръективный гомоморфизм конечно порожденных .модулей над которыми является изоморфизмом. В этой же работе сформулировано некоторое, специальное условие на кольцо, при выполнении которого всякий неразложимый артинов модуль над ним будет иметь локальное кольцо эндоморфизмов. При этом рассматриваемые артиновы модули могут иметь уже сколь угодно большую длину.
Основополагающей работой, проливающей свет на свойства прямых разложений артиновых была работа [4], в которой было показано, что кольцо эндоморфизмов артинова модуля лолулокалыго. Этот факт имеет три важнейших следствия. Во-цсрвых, артинов модуль обладает свойством сокращения. Во-вторых, он обладает свойством извлечения корня п-ой степени, то есть если А артинов модуль и Ап = В", то A Si В. В-третьих, существует лишь конечное число неизоморфных разложений артинова модуля в прямую сумму неразложимых слагаемых. Тем не менее, в полулокалыгом кольце единица раскладывается в сумму попарно ортогональных идемпоте.птов, вообще говоря, не единственным образом. На этом пути и были найдены первые примеры, опровергающие гипотезу Крулля для произвольных артиновых модулей. В этом состоит основное содержание работы А.Факкини, Д.Херберы, П.Вамоша и Л.С.Лсви [5]. Ими была частично решена следующая задача: при каких условиях полулокальное кольцо реализуется как кольцо эндоморфизмов артинова модуля. Оказывается, таким образом реализуются нетеровы коммутативные полулокальные кольца и алгебры конечного типа над ними. Приведенная в этой статье конструкция была неявной и не позволяла сколько-нибудь детально изучить природу возникающих аномалий прямых разложений. Вопрос, для каких
колец могут возникать аномалии прямых разложегшГг артиновых модулей над ними, оставался невыясненным.
С другой стороны параллельно развивалась теория абелепых групп без кручения. Примеры аномалий прямых разложений абелевых групп без кручения конечною ранга хорошо известим около 50 лет [G|. В частности, ранговая природа аномалий была полностью изучена і! цикле работ Яковлева и Благовещенской, который завершается работой [7]. Работа Яковлева 1997 года [8] показывает, как можно строить аномалии прямых разложений артиновых модулей, опираясь на примеры, известные из теории абелевых групп. При этом выяснилось, что распределение рангов прямых слагаемых артиновых модулей такое же, как и для абелепых групп. 'J'aK что в случаи артиновых модулей могут возникать аномалии такого же рангового типа, что и для абелевых групп.
Цель работы.
Найти условия, которым должно удовлетворять кольцо, чтобы для артиновых модулей над ним выполнялась теорема Крулли-Шмидта. Привести примеры, показывающие, что для артиновых модулей над локальным кольцом могут возникать аномалии прямых разложений.
Методы.
В работе используются классические методы теории колец и теории абелевых групп без кручешгя конечного ранга. Для изучения структуры артиновых модулей рассматривается ряд Лёви модуля. При доказательстве, основной теоремы вводится обобщение классической леммы Фиттинга. При помощи функ-ториалыюго соответствия результаты, ранее полученные для абелевых групп, переносятся па более общий случай артиновых модулей над кольцами специального вида. Использовано матричное задание абелевых групп без кручения и аналогичных им модулей над областями главных идеалов.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Среди них особо отметим следующие:
Установлена эквивалентность категории полулокальных абелевых групп без кручения конечного ранга и категории редуцированных артиновых модулей над некоторым матричным кольцом. На основании этой эквивалентности построены элементарные контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей. Контрпримеры перенесены на случай модулей над областями главных идеалов.
Построены контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальным кольцом. Тем самым решена задача 7 из списка нерешенных проблем в книге [9]. Процедура построения примеров функтори-альпа и проводится в достаточно общей ситуации, что позволило попутно
доказать результат о реализуемости некоторых типов колец как колец эндоморфизмов артиновых модулей над локальным кольцом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии паук, Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева, на международной алгебраической конференции памяти А.Г.Куроша (Москва, 1998 год).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликовпы в работах автора [14, 15], а также в совместной работе автора и А. В. Яковлева [13].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 разделов и списка литературы из 14 наименований. Нумерация утверждений (теорем, предложений и лемм), а также замечаний и примеров ведётся совместно, отдельно для каждого раздела. Текст диссертации изложен на 51 странице машинописного текста.