Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Новые решения уравнения Янга-Бакстера с квадратом 29
1.1. Однородные дополнительные подалгебры в алгебре многочленов над матрицами 30
1.2. Фробениусовы подпространства 33
1.3. Серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом 43
1.3.1. Серия 1 43
1.3.2. Серия 2 48
Глава 2. Задача факторизации с пересечением 53
2.1. Основная конструкция 57
2.2. Примеры 60
Глава 3. Задача факторизации, когда одна из подалгебр состоит из кососимметрических матриц 69
3.1. Основная теорема 70
Глава 4. Интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи задачи Римана с малым параметром 73
4.1. Сведение систем ОДУ к волчкам 73
4.2. Волчки Манакова с малым параметром 79
4.3. Основная теорема и ее доказательство 82
4.4. Другой вид волчка Манакова с малым параметром 88
Глава 5. Коммутативные фробениусовы алгебры 90
5.1. Основная теорема и вспомогательные результаты 90
Список литературы
- Фробениусовы подпространства
- Серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом
- Волчки Манакова с малым параметром
- Другой вид волчка Манакова с малым параметром
Фробениусовы подпространства
В втором параграфе главы 2 построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли s/(2) и so(3,1). Согласно общей схеме, эти системы могут быть сведены к линейным системам ОДУ с переменными коэффициентами. Для всех этих систем найдены полиномиальные первые интегралы и инфинитезимальные симметрии. Показано, что системы могут быть проинтегрированы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Приведены два важных примера, вытекающих из следствия 1.
Далее рассмотрен пример отличается от предыдущих тем, что алгебра Q не является Z-градуированной.
В главе 3 рассмотрен случай, когда в задаче факторизации одна из подалгебр состоит из косометрических матриц. В данной главе волчок (3.4) сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и этот результат является новым интегрируемым уравнением.
В четвертой главе показано, что широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к волчкам путем добавления вспомогательных переменных. При помощи волчка Манакова с малым параметром получен многопараметрический волчок, получаемый предельным переходом малого параметра є к нулю. Предельный переход получается при помощи интегральной формулы Коши от решения исходного уравнения, которое решается при помощи задачи Римана. Приведен класс квадратичных систем уравнений типа волчка Манакова, которые решаются при помощи системы Римана, данный класс является новым. Важным примером волчка является уравнение движения п-мерного твердого тела — волчок Манакова [27].
Теорема 4.1. Пусть в записи функций Fi входят в виде суперпозиции лишь полиномы от переменных и функции ехр(ж); \п(х); 1/х; л/х, n 1; sin(a;); cos(a;). Тогда путем добавления большого числа вспомогательных переменных решение системы (4.1) сводится к квадратичной системе ОДУ Qt = г{я)(1-, o\t=Q = (0), (4.6) где q— столбец переменных gi,...,gn, п 1 и r(q)— матрица размера п х п, r(q)p= r(p)q для всех столбцов q и р. В втором параграфе главы 4 описаны волчки Манакова с малым параметром.
Пусть МП(С) — кольцо п х п матриц над полем комплексных чисел С, h — подалгебра Ли в комплексных матрицах, А — спектральный параметр, д_ = h[X l] — алгебра полиномов от А-1 с нулевым свободным членом, д+ = /г[А] — алгебра полиномов от А, д = /г[А, А-1] = д- 0 д+ — алгебра полиномов Лорана.
В данном параграфе рассматривается случай волчка Манакова, когда общий вид элемента задается формулой L = XD + q, D Є МП(С), где q — переменная матрица, зависящая от t, D — постоянная матрица.
В третьем параграфе главы 4 с использованием метода спектрального параметра доказано, что волчок Манакова равносилен некоторой системе ОДУ в кольце матриц МП(С), т.е. что спектральный параметр пропадает в уравнении (4.8) и оно принимает вид (4.11). Смысл введения спектрального параметра в том, что волчок Манакова (4.11) явно решается при помощи задачи Римана.
В окончательном уравнении (4.31) малый параметр пропадает. Из нильпотентности матрицы В следует, что этот главный по параметру є член уравнения (4.12) зависит от двух постоянных некоммутирующих матриц — в отличие от стандартного волчка Манакова. В четвертом параграфе главы 4 рассмотрен другой вид волчка Манакова с малым параметром. В главе 5 рассмотрены коммутативные фробениусовы алгебры. В первом параграфе главы 5 рассматриваются фробениусовы алгебры и подпрямые произведения алгебр.
Коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра А над полем нулевой характеристики Р называется фробениусовой, если существует линейный функционал / : А — Р, ядро которого не содержит ненулевых идеалов алгебры А.
Серии решений уравнений Янга-Бакстера с квадратом
Таким образом, решив уравнение (2.6) на а, мы можем найти функцию /3 из соотношения (2.7). Далее, решив уравнение (2.10), мы можем из (2.9) найти решение А В задачи факторизации (2.3). На последнем шаге, мы можем выписать решение уравнения (2.4), используя формулу (5.7).
В большинстве работ, посвященных задаче факторизации рассматривается случай, когда алгебра Q раскладывается в сумму двух подпространств. В частности, в работе [12] И. З. Голубчик и В. В. Соколов построили схему для такого случая. Цель данной работы — обобщить их конструкцию на случай, когда алгебра Q является прямой суммой трех подпространств. Такое обобщение позволит решать методом задачи факторизации более широкий класс интегрируемых систем ОДУ.
В 2.1 данной построено обобщение метода факторизации с пересечением на случай, когда Q — конечномерная алгебра Ли, Я = GoMN (прямая сумма векторных подпространств), где QQ — подалгебра в ?, а М, N — -модули, QQ + М, QQ + N — подалгебры в Q. В эту конструкцию включается важный частный случай, когда Q является градуированной алгеброй Ли.
В 2.2 построены некоторые динамические системы типа волчков, связанные с алгебрами Ли s/(2) и so(3,1). Согласно общей схеме, эти системы могут быть сведены к линейным системам ОДУ с переменными коэффициентами. Для всех этих систем найдены полиномиальные первые интегралы и инфинитезимальные симметрии. Показано, что системы могут быть проинтегрированы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Однако они не удовлетворяют тесту Пенлеве, поскольку обладают подвижными точками ветвления.
Для завершения доказательства предложения остается взять q = (aiq,a-iq,aoq), где q Є Q. Заметим, что в данном случае q+ = (R(q)i R{q), R{q)), где оператор R задается формулой (2.11). Теперь видно, что уравнение (2.13) для каждой компоненты имеет вид сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Замечание 1. Из формулы (2.12) следует, что следы q, і = 1,2,..., являются полиномиальными первыми интегралами для динамической системы (2.12). Поскольку q не зависит от спектрального параметра, то количество этих интегралов не достаточно для полной интегрируемости (2.12).
Замечание 2. Для произвольного элемента g Є G, такого, что [SS ?о] Go, [g M] С М, [g,N] С N, выполнено [g,R(q)] = R([g,q\). Следовательно, qT = [g, q] является линейной симметрией для уравнения (2.12). 2.2. Примеры
Систему (2.15) можно легко проинтегрировать разными способами. Продемонстрируем алгоритм Ли на этом простом примере. Чтобы применить этот алгоритм для системы ОДУ от п переменных, необходимо иметь в сумме п симметрий (включая исходную систему) и первых интегралов, таких, что: 1) все симметрии коммутируют друг с другом; 2) все первые интегралы являются первыми интегралами для каждой симметрии. В нашем случае мы имеем две симметрии и один интеграл Hi. Легко проверить, что -И- = 0. Используя тождество Ил = С, исключаем w и получаем произвольные постоянные. При этом z2 = С, a к% связано с ki,k2,C довольно громоздкой формулой, которую мы здесь не приводим. Из формул для решения видно, что при общих значениях постоянных с функции u(t) и v(t) имеют в комплексной плоскости подвижные точки ветвления. П
Ниже мы приводим не столь тривиальные примеры, связанный с алгеброй Ли so(3,1). Интегрируемые гамильтоновы динамические системы с квадратичной правой частью, связанные с полупростыми алгебрами Ли, рассматривались в работах [28, 29, 4]. С точки зрения приложений одной из наиболее интересных является алгебра so (А) или комплексно-изоморфная ей so(3,1). Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с этими алгебрами, изучались в [36, 53, 5]. Мы приводим два новых примера, связаных с алгеброй so(3,1). Системы из этих примеров, видимо, не являются гамильтоновыми. Мы нашли для них достаточное количество первых интегралов и инфинитезимальных симметрий, чтобы утверждать, что они локально интегрируемы с помощью алгоритма Ли (см. пример 1). Пример 2.2. Возьмем Q = {А є КЦХ4І А = 4}, где инволюция задается формулой А = TAtT l, Т = ец + Є22 + Є34 + Є43, индекс t означает транспонирование, а е - матричные единицы. Если выбрать Т = ец + Є22 + езз — Є44, то условие кососимметричности относительно инволюции задаст алгебру so(3,1). Изоморфизм между Q и so(3,1) задается формулой q = B l q В, где q Є Q, q Є so(3,1), а матрица равна
Волчки Манакова с малым параметром
Коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра А над полем нулевой характеристики Р называется фробениусовой, если существует линейный функционал / : А — Р, ядро которого не содержит ненулевых идеалов алгебры А.
Алгебра А является подпрямым произведением алгебр АІ, 1 і к, если существуют идеалы Дв А, 1 і к, такие что П«=і = {0} и А/Іі АІ. Теорема 5.1. Произвольная, коммутативная, ассоциативная, конечномерная алгебра с единицей, над полем нулевой характеристики является подпрямым произведением фробениусовых алгебр. Доказательство теоремы 5.1. будет приведено ниже.
Подпрямое произведение является подкольцом к прямой сумме колец А\ 0 ... 0 Ат. Рассмотрим отображение ср : А — А/1\ 0 ... 0 А/1т, которое задается следующим образом: p(a) = (a + /і, a + І2 a + /то), тогда cp— гомоморфизм алгебр. Образ ер — Ітср— подалгебра в прямой сумме. Если а принадлежит ядру, то a принадлежит пересечению всех /j, т.е. Кегср = 0 и ср— вложение.
Доказательство: Рассмотрим множество {Ъ f\b Є А] и зададим отображение 0(b) = Ъ f. Ясно, что G — гомоморфизм модулей:. Проверим, что G — изоморфизм. Пусть Ъ Є KerQ, то bf = 0, т.е. 6 f(r) = 0, а это есть f(b г), следовательно 6 А С Kerf =Ф- 6 = 0. Следовательно, КегО = 0. dimK erQ+dimlmQ = dimA = dimlmQ = dimA. Следовательно, imO = Л , т.е. G — изоморфизм. Наоборот, если G — изоморфизм, то полагая, что в(1) = / получим,что Kerf не содержит ненулевых идеалов А. Алгебра А фробениусова = сопряженный модуль изоморфен модулю АА. Главный идеал I = а А, где а — образующая идеала, а А = {а q\q Є А]. Аннулятор идеала annJ= {г Є А \ г J = {0}}. Лемма 5.1. A фробениусова над Р и а Є А. Тогда факторалгебра А/апп{аА) = А фробениусова. Доказательство: Существует / : А — Р такое, что Kerf не содержит ненулевых идеалов А. Строим аналогичное отображение / : А — Р, оно определяется следующим образом: f(b + I) = f(ab), I = ann(a A). Ясно, что / — корректно определенный линейный функционал. (с + /) — элемент фактор- кольца A/ann(aA). Пусть {с + I) А С Kerf. Это значит, что f{a -г) = 0. Следовательно, с a А С Kerf = с a = 0 = с Є ann(a А) = I. Следовательно, с + / = 0 + / класс нулевой. Показали, что если идеал лежит в ядре, то этот идеал нулевой, т.е. А — фробениусова. Ортогональное дополнение к векторному подпространству в А М = {г Є А \ f(rM) = 0}. Пусть J — ненулевой идеал.
Лемма 5.2. Пусть А фробениусова, / — ненулевой линейный функционал А — Р, тогда J-1 = annJ. Доказательство: J1- — ортогональное дополнение к идеалу. J L={r Є A I f(r J) = {0}} = rJ = {0} = J1- = annJ. Лемма 5.3. dirripJ + dimpJ L = dimpA.
Доказательство: ei,..., em — базис J. Тогда если взять Ъ = d\e\ + ... + dmem 7 0, то ортогональное дополнение b1- А. Если b1- = A, то ЬА ф 0 и 6Л Є Kerf — противоречие с определением /.
Ортогональное дополнение задается системой m л.н.з.уравнений f{e-i х) = 0 на п— мерном пространстве А. Тогда пространство решений Iі- имеет размерность (п — тп), что и требовалось доказать. Лемма 5.4. (J L) L = J. Доказательство: dimJ = m, следовательно по лемме 2.3, dimJ1- = п — m, далее по лемме 3, dim(J L) L = п — (п — тп). Значит, dim(J-L)-L = dim.]. Очевидно, что подпространство J-LJ-1 = J С (J-1)-1. Подпространство J входит во (J-1)-1, а размерности у них одинаковы. Значит по теореме из линейной алгебры: одно подпространство лежит внутри другого и размерности их совпадают, то сами подпространства совпадают, получаем лемму 2.4. Лемма 5.5. Если J = І І=\ , идеал Л, то (2 =i 0 = Действительно, если а Є ( J )-1 = а Є J/- для любого і. И наоборот тоже верно. Доказательство теоремы 5.1. Известно, что каждая алгебра является фактор— алгеброй фробениусовой (см.[7]). В = А/1, А— фробениусова, I— идеал A, ann(annl) = (annI) L по лемме 5.2. Т.к любой идеал есть сумма главных идеалов, то (annI) L = ( diA)1- = (I L) L = I По лемме 5.5 ( diA)1- = (а А)-1. По лемме 5.2 [ (а Л)-1 = f]ann(aiA). I = f]i=1ann(ai,A): то по лемме 5.1 А/апп(а,іІ) = АІ-фробениусова. Рассмотрим идеалы фактор- алгебры Jj = (апп(а,іА))/1: получаем что f]Ji = І/1 = 0. Если сначала профакторизуем (A/I)/Jj o± A/ann(aiA) и A/ann(aiA) является фробениусовой алгеброй по лемме 5.1. B/Ji о± A/ann(aiA)— фробениусова, получаем, что B/Ji— фробениусова, а Р Ji = 0, т.е. получаем, алгебра В подпрямое произведение фробениусовых алгебр.
Другой вид волчка Манакова с малым параметром
Следы степеней g выражаются через данные два интеграла. Легко проверить, что все симметрии коммутируют друг с другом и что І\,І2 являются первыми интегралами для всех симметрий. Таким образом, алгоритм Ли также применим к данной системе.
Следующий пример отличается от предыдущих тем, что алгебра Q не является Z-градуированной.
Замечание 3. Заметим, что некоторые первые интегралы систем из примеров 5.1-5.3 не являются однозначными в комплексной плоскости. Например, является первым интегралом для (2.15). Система из примера 4.2 обладает первым интегралом вида / = /( 1, 2, 1, 2)-Легко проверить, что такой интеграл должен удовлетворять двум уравнениям вида X(f) = 0 и Y(f) = 0, где X, Y задаются следующими формулами:
Отметим, что количество полиномиальных симметрий и первых интегралов в примерах 2.1-2.3 равно количеству независимых переменных, и это дает возможность проинтегрировать данные системы в квадратурах с помощью алгоритма Ли. Мы не знаем, справедливо ли это для всех систем, описанных в теореме 2.1. Глава 3. Задача факторизации, когда одна из подалгебр состоит из кососимметрических матриц
В работе [12] было доказано, что волчок qt = [q-,q] сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В данной работе волчок (3.4) также сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и этот результат является новым интегрируемым уравнением.
В работе [45] доказано, что задача факторизации (3.7) сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с переходными коэффициентами. Тем самым находим G- и q = ((G) 1) qo(G) 1 — решение системы (3.4). Предложение 6.1 доказано. Примеры. д+ — кососимметрическая матрица, — транспонирование, д_ — блочно-диагональная матрица, при і j блок с номером (i,j) состоит только из нулевой матрицы, і j содержит произвольные матрицы, при і = j треугольная Тпi, либо Sni. д = Язхз.
В этой главе показано, что широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к системам квадратичных уравнений. При помощи волчка Манакова с малым параметром получен многопараметрический волчок, получаемый предельным переходом малого параметра к нулю. Предельный переход получается при помощи интегральной формулы Коши от решения исходного уравнения, которое решается при помощи задачи Римана. Приведен класс квадратичных систем уравнений типа волчка Манакова, которые решаются при помощи задачи Римана, данный класс является новым.
Теорема 4.1. Пусть в записи функций Fi входят в виде суперпозиции лишь полиномы от переменных и функции ехр(ж); \п(х); 1/х; л/х, п 1; sin(ir); COS(IE). Тогда путем добавления большого числа вспомогательных переменных решение системы (4.1) сводится к квадратичной системе ОДУ где pi,...,pi — переменные, 1 і l, и функции f\ — есть результаты суперпозиций операций сложения, вычитания, умножения и функций вида ах + (3 (а, (3 — константы), ехр(х), \п(х), 1/х, у/х (к 1), cos(:r); sin(ir) от переменных pi t. Тогда путем добавления новых вспомогательных переменных pi+i, ...,ра система (4.3) сводится к полиномиальной системе Доказательство. Сначала избавимся от t в правой части равенства (4.3), вводя переменную pi+\ с условием Пусть введены уже переменные pi+i,... ,рг и их производные полиномиально выражаются через pi+i:..., pr: (pi) t:...: {pi) t-Операции сложения, вычитания и умножения, а также функции ах + /3 не требуют введения новых переменных.
В рассмотренных случаях новые переменные выражаются через старые, поэтому значения в нуле определены из определения выражаемых функций -,1п(х), неопределенность 1/0 не может возникнуть. где Gjk — полином степени т от переменных р\,..., р&. Задав образы всех базисных векторов из тензорного произведений нескольких экземпляров одного пространства, содержащем вектор р введем линейный оператор отображения на всем тензорном произведении пространств T из n-мерного пространства векторов в пространство числовых матриц размера d х d по правилу