Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена приложениям гомологической алгебры к задачам вещественной алгебраической геометрии, причем в качестве основного инструмента выбраны эквивариантные когомологии. Обращение автора к данной теме было вызвано следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, в семидесятые годы происходило интенсивное изучение топологии множества вещественных точек вещественного алгебраического многообразия, которое было связано с шестнадцатой проблемой Гильберта (см. обзоры [5], [2]). Одним из инструментов для выполнения такой задачи была теория Смита для инволюции комплексного сопряжения g:X(C)-* Х(С), где X - данное вещественное алгебраическое многообразие (см. , например, [23], [26] ). Автор диссертации заметил, что в этих задачах эквивариантные когомологии H"(X(C);G,F2), где G = G(C/R) - группа Галуа, являются более удобным инструментом, чем теория Смита, так как их применение позволяет использовать аппарат гомологической алгебры в значительно большем объеме. Но предварительно требовалось развить общую теорию эквивариантных когомологии для вещественных алгебраических многообразий. Например, кроме когомологии с коэффициентами в F2 , для приложений требовалось изучить когомологии с коэффициентами в G - модуле Z±, на котором инволюция g действует умножением на +1 , а также когомологии с коэффициентами в G - пучке голоморфных обратимых функций (у'. Построение таких теорий и их применений продолжается до настоящего времени, причем в восьмидесятые годы автор делал это один, а в девяностые годы этим также занимались И.О. Калинин, В.В. Никулин, А. Дегтярев, В. Харламов, F. Mangolte, J. Van Hamel (
см. [9], [21], [8], [16], [27]) .Особенно нужно отметить результат В.В. Hf кулина о совпадении этальных когомологии H"t(X,A) с эквивариантнь
ми когомологиями H"(X(C);G,A), где X - неособое вещественное аг гебраическое многообразие, А - конечный G - модуль. Этот результа позволяет решать с помощью эквивариантных когомологии задачи, пс ставленные с помощью этальных когомологии. Например, этот подхо позволил В.В. Никулину продвинуться в вычислении группы Брауэра ве щественной алгебраической поверхности. Применение эквивариантнь когомологии для вычисления группы Брауэра, сделанное В. В. Никулі ным, явилось другим обстоятельством для продолжения работы по тем диссертации. В связи с этим требовалось продолжить вычисления груї пы Брауэра, а затем приступить к решению других задач, которые не pt шаются с помощью этальных когомологии, например, вычислить групг Витта.
Цель работы. При развитии темы диссертации предполагалос выполнить следующие задачи.
1). Построить эквивариантную теорию когомологии вещественнь алгебраических многообразий. В частности, дать критерии Галуа - ма симальности, изучить первую спектральную последовательность для э вивариантных когомологии поверхности, построить точные последов; тельности, помогающие вычислять эквивариантные когомологии, постр-ить и изучить эквивариантные характеристические классы векторної расслоения на вещественном алгебраическом многообразии, построить изучить эквивариантное отображение цикла.
2). Рассмотреть топологические приложения эквивариантной те рии когомологии вещественного алгебраического многообразия. В час ности, найти соотношения между характеристическими классами мног образий X(R), Х(С), а потом с помощью этих соотношений получи
новые и обобщить известные сравнения эйлеровой характеристики множества X(R).
3). Рассмотреть алгебро-геометрические приложения эквивариант-ной теории когомологий вещественного алгебраического многообразия. В частности, изучить отображение Альбанезе, вычислить группу Брауэра поверхности, а также алгебраическую группу когомологий H\(X(R),F1).
Общая методика исследования. Для решения сформулированных выше задач применялись методы гомологической алгебры, в частности, методы эквивариантной теории когомологий Гротендика G- пространства, методы решения аналогичных задач в комплексной алгебраической геометрии, методы алгебраической топологии, а также применялась теория целочисленных квадратичных форм с инволюцией.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В частности, получены новые результаты об отображении Альбанезе вещественного алгебраического многообразия. Построены новые характеристические классы и новое отображение цикла, которые позволили доказать новые и обобщить известные сравнения для эйлеровой характеристики множества X(R). Построена новая теория о группе Брауэра вещественного алгебраического многообразия. Доказаны новые теоремы о Галуа-максимальности вещественного алгебраического многообразия.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для решения задач вещественной алгебраической геометрии, которые раньше считались очень трудными, например, для вычисления группы Витта поверхности. Результаты диссертации могут быть также использованы для изучения топологических пространств с инволюцией.
Аппробация. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Ярославском государствен-
ном педагогическом университете им. К.Д. Ушинского ( руководите] профессор А.С. Тихомиров ), на конференциях по алгебраической ге метрии в Ярославле, в частности, на международной конференции 19! г., на семинаре по алгебраической геометрии в математическом инстит те им. В.А. Стеклова ( руководитель академик И.Р. Шафаревич).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы 15 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Все рабо-по теме диссертации выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, >-тырех глав и списка литературы. Она изложена на 127 страницах, наг чатанных в редакторе Word 6.0 для Windows, список литературы име 40 наименований.