Представления классических групп и многообразия алгебр Ли Журавлев, Валерий Михайлович

Введение к работе

Актуальность темы. В теории представлений групп естественной задачей является нахождение всех подмодулей данного модуля. Согласно теореме Машке, над полями нулевой характеристики любой модуль над данной группой раскладывается в прямую сумму неприводимых модулей, т.е., зная неприводимые компоненты, мы получаем ответ на поставленную задачу. Тем не менее, нахождение компонент разложений и их кратностей во многих случаях сопряжено с трудностями, поскольку исходный модуль представления может быть задан различными способами, затрудняющими эту задачу.

В случае, когда удается представить наш модуль как модуль индуцированный с некоторого модуля подгруппы исходной группы, используя закон взаимности Фробениуса, мы можем свести задачу разложения над данной группой к задаче разложения над ее подгруппой.

В теории алгебр Ли свободная алгебра Ли L(V), порожденная конечномерным пространством V, является подалгеброй Ли в тензорной алгебре T(V) модуля V и естественным образом является левым модулем над полной линейной группой GL(V), причем однородные компоненты L„(V) являются С(У)-подмодулями. Можно также определить правое действие симметрической группы S_n на пространстве L_n(V) как ограничение действия симметрической группы на тензорной компоненте T_n(V).

Хорошо известно, что в этом случае задачи разложения на неприводимые компоненты над полной линейной и симметрической группами эквивалентны. Структура свободных колец Ли над симметрической группой исследовалась,в частности, уже в работах [I]¹ и [2]². Ближе к нашему времени в работе [З]³. удалось представить пространство L_n(V) в виде модуля, индуцированного с одномерного представления циклической группы, и ответить, какие неприводи-

'[1] Burrow М. Invariants of free Lie rings Comm.Pure Appl.Math.,1958.,11, 419-431.

²[2] Thrall R.M. On symmetrised Kronecker powers end the structure of Jree Lie ring Amer. і.Math., 1942.,64, 371-388.

³[3] Клячко А. А. Элементы Ли в тензорной алгебре Сиб. матем. ж., 1974.,15 N 6, 1296-1304.

мые компоненты входят в GL(V)- разложение модуля L_n(V) с ненулевой кратностью. Была также получена формула для кратностей неприводимых модулей. В этой формуле оставались неизвестными значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины. Нахождение этих неизвестных значений характеров позволяет нам использовать формулу для кратностей неприводимых модулей. Используя результаты статьи [4]⁴ удается найти и другой метод для вычисления кратностей.

Исследованию вербальных идеалов относительно свободных алгебр Ли посвящена работа [5]⁵, в ней доказано, что в случае бесконечного поля и бесконечного числа порождающих элементов, инвариантная подалгебра свободной алгебры Ли является вербальным идеалом. Нами рассматривается случай конечного числа порождающих элементов и показывается глубокая связь вербальных идеалов с действием универсальной обертывающей алгебры Ли всех дифференцирований исходной свободной алгебры Ли.

Мы, также, изучаем полшшльпотентные многообразия, используя конструкции индуцированных модулей и сплетения групп перестановок. Заметим, что базис свободной алгебры этого многообразия построен в [б]⁶. Аналогично [3] нами рассматриваются и функториальные свойства модуля следствий тождества полшшль-потентности степени п в модуле L_n(V).

Цель работы. Найти значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины. Вычислить кратности неприводимых модулей над симметрической и полной линейной группами в однородных компонентах свободной алгебры Ли, н модулях следствий тождеств над полями нулевой характеристики. Исследовать модульную структуру полинилыютентного многообразия.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основ-

⁴[4] Blessenohl О., Laue Н. On Witt's dimension formula for free Lie algebras and a theorem of Klyachko Bull. Math. Soc.1989.40. 49-57.

⁵[5] Андреев К.К.,Шабельникова Д.Г. Характеристические подалгебры относительно свободных алгебр Сиб.матем. ж., 1973.,14 N 6,1336-1337.

⁶[б] Бокуть Л. А. База свободных полинилъпотентных алгебр Ли, Алгебра и логика, 1963., 2, N 4, 13-20.

ные результаты:

1. Найдены значения простых характеров симметрической группы на классах сопряженных элементов, соответствующих произведению независимых циклов одинаковой длины.

1. Предложены два метода для вычисления кратностей неприводимых модулей над симметрической и полной линейной группами в однородных компонентах свободной алгебры Ли и произведены их вычисления для многих частных случаев.

2. Доказывается равенство вербального идеала свободной конеч-нопорожденной алгебры Ли, порожденного совокупностью тождеств {v = 0\v Є W}, где W-некоторое множество неассоциативных многочленов от m переменных, и идеала U{DerL)(W), порожденного действием универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли дифференцирований на множестве W.

4. Находятся оценки на кратности неприводимых модулей над полной линейной и симметрическими группами в пространствах однородных компонент вербальных идеалов при переходе от тождества степени п к его следствиям степени п + 1.

5. Обобщаются результаты работы [3] на полинильпотентный случай. При этом над коммутативным кольцом Леї, содержащим элементы 1/п и первообразный корень є степени п из 1, для любого мультииндекса а⁴ = (а і, аг, . , а_ч), а\а,2 ... a_q = п, а,- Є N, и произвольного R - модуля V мы определяем GL(V) - модули L_aq(V) и C_ai{V), и, соответственно, функторы L_ai и Сося и доказываем их изоморфизм.

Все основные результаты являются новыми, их достоверность подтверждается подробными доказательствами.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и на семинаре по алгебре в Ульяновском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 1G названий. Общий объем диссертации 82 страницы.

Во введении показана актуальность работы, сформулированы основные результаты. В главе 1 исследуются кратности неприводимых компонент в однородных компонентах свободной алгебры Ли как модуля над полной линейной и симметрической группами.

В главе 2 изучается структура вербальных идеалов свободной алгебры Ли над полной линейной и симметрической группами.

В главе 3 исследуются структура модуля следствий произвольного тождества полинильпотентности.