Введение к работе
Актуальность темы. Каждой алгебре А сопоставляется решетка Sub А всех ее подалгебр (в необходимых случаях, как, например, в случае полугрупп, для того, чтобы в Sub А была определена операция пересечения, нужно подалгеброй считать также пустое множество). Решетки подалгебр являются важными представителями производных решеток, к числу которых относятся также решетки подмножеств, разбиений, конгруэпций, эквациональпых теорий и т.д.
Изучение различных взаимосвязей между алгебрами и их решетками подалгебр составляет давнюю и обширную область исследований. Данная проблематика насчитывает несколько сот статей, а также отражена в ряде монографий и обзоров: книгах Г. Биркгоф [4], Г. Гретцер [6], Л.А. Скорняков [14], М. Судзуки [15], Л.Н. Ше-врин, А.Я. Овсянников [19], [43], Р. Шмидт [41], обзорах М.Н. Ар-шинов, Л.Е. Садовский [3], В.И. Игошин, А.В. Михалев, В.Н. Са-лий, Л.А. Скорняков [7], П.Г. Конторович, А.С. Пекелис, А.И. Старостин [8], А.А. Лашхи [9], У. Лэмп [37], А.В. Михалев, В.Н. Са-лий, Л.А. Скорняков [11], Л.Е. Садовский [12], Т.С. Фофанова [16], Л.Н. Шеврин, А.Я. Овсянников [42]. Отраженные в указанных источниках исследования охватывают широкий спектр алгебр: группы, полугруппы, кольца, решетки и т.д. Здесь естественным образом выделились следующие три основных аспекта (см. [19]): 1) описание строения алгебр, решетки подалгебр которых удовлетворяют тем или иным теоретико-решеточным условиям; 2) характериза-ция тех или иных важных подклассов в классе алгебр заданной сигнатуры на языке решеток подалгебр; 3) изучение отношения решеточной изоморфности между алгебрами; в частности, выяснение того, когда алгебра определяется своей решеткой подалгебр в заданном классе.
Примером естественного аспекта, не получившего пока должного развития в упомянутых исследованиях, служит вопрос о представлении решеток решетками подалгебр. Заметим, что в математической литературе понятие представления одного объекта другим используется в разных смыслах. Так, в известной теореме Биркгофа-Фринка [22] о представлении любой алгебраической решетки решеткой подалгебр некоторой алгебры это понятие означает изоморфизм соответствующих решеток. Мы говорим, что для заданного класса про-
изводных решеток Р решетка L представимо, решеткой из Р , если L вложима в подходяпгую решетку этого класса. В частности, для произвольного класса К алгебр L представила решеткой подалгебр алгебры из К, если она вкладывается в Sub А для некоторой алгебры А Є К.
Среди ключевых результатов, касающихся представления решеток производными решетками, назовем прежде всего теорему Биркго-фа-Стоуна [20],[45], характеризующую дистрибутивные решетки как решетки, представимые решетками подмножеств, теорему Фринка [28] о представлении произвольной модулярной решетки с дополнениями решеткой подпространств подходящего проективного пространства, а также теорему Уитмена [48] о представлении любой решетки решеткой разбиений некоторого множества (или, что то же самое, подходящей решеткой эквивалентностей). Долгое время открытым оставался вопрос о том, не будет ли любая конечная решетка представима решеткой разбиений конечного множества? В работе [39] П. Пудлаком и И. Тумой на него дан положительный ответ.
Теорема Уитмена во многом предопределила ту заметную роль, которую решетки разбиений играют в вопросе представления решеток производными решетками и, в частности, решетками подалгебр. Отметим здесь в первую очередь результат Г. Биркгофа [21], устанавливающий вложимость решетки разбиений произвольного множества А в решетку подгрупп симметрической группы, действующей на А . Отсюда и из теоремы Уитмена следует, что всякая решетка представима решеткой подгрупп некоторой группы. Этот важный результат впервые в явном виде был анонсирован в работе [48], поэтому, как и утверждение о представлении решеток решетками разбиений, он также получил в литературе название теоремы Уитмена. Более простое прямое доказательство этой теоремы (не использующее решетки разбиений, а опирающееся на теоретико-групповую технику) было предложено недавно И. Тумой в [47]. Заметим к тому же, что из упомянутого выше результата П. Пудлака и И. Тумы вытекает существенное уточнение теоремы Уитмена для групп, а именно, утверждение о том, что любая конечная решетка представима решеткой подгрупп подходящей конечной группы. Вопрос о возможности вложения решетки в решетку подгрупп группы в качестве интервала изучался И. Тумой в [46].
В работе [21] Г. Биркгофа отмечается еще один полезный факт,
а именно, что любая конечная решетка разбиений дуально изоморфна решетке подалгебр конечной булевой алгебри. Отсюда аналогичным образом устанавливается представимость конечных решеток решетками подалгебр конечних булевых алгебр и, в частности, решетками подрешеток конечных дистрибутивных решеток. Это обстоятельство было подмечено Д. Хонгом в [30] и оказалось весьма полезным при решении им некоторых проблем из книги Г. Гретцера [6].
Поскольку решетка подгрупп группы является подрешеткой ее решетки подполугрупп, из соответствующей теоремы Уитмена автоматически получаем, что всякая решетка представима решеткой подполугрупп некоторой полугруппы (а именно, группы]. Возникает вопрос о наличии других естественных классов полугрупп с тем же свойством. В связи с этим упомянем статью П. Джонса [33], в которой применение техники, связанной с решетками разбиений, позволило доказать, что каждая решетка представима решеткой подполугрупп подходящей комбинаторной полугруппы Брандта. Напомним, что полугруппа называется комбинаторной, если все ее подгруппы одноэлементны.
В связи с характеризацией класса решеток, представимых решетками подгрупп абелевых групп, Б. Йонссоном в [35] рассматривался специальный тип вложений решеток в решетки разбиений, называемый в литературе представлением типа 1. Свойство решетки иметь представление типа 1 равносильно тому, что она изоморфна некоторой подрешетке решетки разбиений, состоящей из перестановочных отношений. В упомянутой работе Б. Йонссона для произвольной решетки с дополнениями была установлена эквивалентность следующих свойств: иметь представление типа 1, быть арговой, вкладываться в решетку подгрупп абелевой группы.
Классы решеток, представимых решетками подмодулей всех і?-модулей над произвольным ассоциативным кольцом R с единицей, исследовались в работах Г. Хатчинсона [31], [32], С. Геррманна, В. Погунтке [29], Г. Цедли [23]. Так, было доказано, что эти классы образуют квазимиогообразия (см. [29], [32], а также [24]); в частности, квазимногообразием будет и класс всех решеток, представимых решетками подгрупп абелевых групп. Основной проблемой здесь является задача классификации указанных классов в решетке квазимногообразий модулей. Эта проблема решалась в работах [23]
и [31].
Приведенные выше результаты, касающиеся представления решеток решетками подалгебр, убедительно свидетельствуют о содержательности данного аспекта, наличии здесь богатой проблематики и тесных взаимосвязей с рядом других аспектов теории решеток и универсальной алгебры. Это делает актуальным рассмотрение указанного аспекта как самостоятельной области исследований. Ниже мы формулируем ряд проблем, которые определили исследования автора в этой области и подытожены в диссертации.
Основные постановки задач. Для произвольного класса алгебр К обозначим через Lat К класс всех решеток, представимых решетками подалгебр алгебр из К. Класс Lat К является производным объектом для класса К. Поэтому возникает общая проблема изучения взаимосвязей между свойствами классов К и Lat К.
В рамках этой проблемы рассмотрим сначала две, в известном смысле двойственные друг другу, проблемы:
ПРОБЛЕМА 1. Для заданного класса решеток Р охарактеризовать классы, алгебр К такие, для которых Р С Lat К и, как частный случай, Р = Lat К.
ПРОБЛЕМА 2. Для заданного класса алгебр К охарактеризовать соответствующий ему класс решеток Lat К; в частности, вычленить в Lat К интересные (с точки зрения общей теории решеток) подклассы.
В Проблеме 1 мы сразу можем выделить такой важный случай, когда класс Р, а значит и Lat К, совпадает с классом всех решеток. В этом случае класс алгебр К будем называть решеточно универсальным. Ясно, что свойство для класса К быть решеточно универсальным говорит в целом о сложности локального строения решеток подалгебр алгебр из К. Упомянутые выше теоремы Уитмена и Джонса о представлении решеток соответственно решетками подгрупп и решетками подполугрупп утверждают, в нашей терминологии, что класс всех групп и класс всех комбинаторных полугрупп Брандта решеточно универсальны. В связи с этим вызывает интерес вообще следующая
ПРОБЛЕМА 1.1. В заданном классе алгебр вычленить естественные решеточно универсальные подклассы.
Применительно к алгебрам той или иной фиксированной сигнатуры задача вычленения решеточно универсальных классов приобретает, как правило, дополнительную специфику. Так, в случае полугрупп представляется актуальным нахождение решеточно универсальных классов полугрупп, далеких по своим свойствам от групп, и, в первую очередь, комбинаторных. Пример одного из таких классов дает теорема Джонса. Среди других возможных претендентов на эту роль назовем, прежде всего, классы нильполугрупп и связок (т.е. полугрупп идемпотентов). С одной стороны, указанные классы являются в известном смысле полярными в классе комбинаторных полугрупп. С другой стороны, они занимают важное место в общей структурной теории полугрупп. Заметим, что формально определению комбинаторных полугрупп удовлетворяют и полугруппы, не содержащие идемпотентов (в них совсем нет подгрупп). Поэтому задача нахождения хотя бы одного естественного примера решеточно универсального класса полугрупп без идемпотентов (она поставлена Л.Н. Шевриным) представляет, на наш взгляд, не меньший интерес.
Учитывая большой интерес к многообразиям, мы приходим к постановке следующей задачи:
ПРОБЛЕМА 1.2. В заданном классе алгебр описать все решеточно универсальные многообразия.
Требуемое описание может быть достигнуто разными способами: на языке тождеств, задающих многообразия, алгебр, их порождающих, и т. д. Поскольку, легко видеть, свойство для многообразия быть решеточно универсальным наследуется при переходе к над-многообразиям, одним из удобных языков такого описания может служить отыскание минимальных решеточно универсальных многообразий (если они есть) в соответствующей решетке многообразий.
Для многих известных классов алгебр К класс Lot К не совпадает с классом всех решеток. В связи с этим укажем ниже некоторые собственные классы Р решеток, рассмотрение которых в связи с Проблемой 1 представляет интерес (необходимые определения см. ниже в разделе II): 1) класс всех решеток, удовлетворяющих условию Уитмена; 2) класс всех свободных решеток; 3) класс всех конечных подрешеток свободных решеток; 4) класс всех конечных ограниченных снизу решеток. Из перечисленных особо выделим последний класс. Впервые он появился в работе Р.Маккензи [38] и
впоследствии с разных точек зрения изучался А.Дэем, Р.Фризом, Б.Йонссоном, Дж.Нейшнем (см. соотв. [25], [27], [36]) и другими. Этот класс является псевдомногообразием и, в частности, замкнут относительно перехода к подрешеткам. Весьма примечательно, что многие известные представители класса конечных полугрупп имеют, как выяснилось, ограниченную снизу решетку подполугрупп.
Переходя к конкретным постановкам задач, связанных с Проблемой 2, отметим, что здесь в первую очередь следует рассмотреть классы алгебр К, играющие заметную роль в соответствующей структурной теории. Таковыми, например, в случае групп являются классы разрешимых и нильпотентных групп, в случае полугрупп -упоминавшиеся выше классы нилыголугрупп и связок.
При рассмотрении Проблемы 2 для классов алгебр, являющихся многообразиями, естественным образом выделяется
ПРОБЛЕМА 2.1. Исследовать решетки, представимые решетками подалгебр свободных алгебр.
В самом деле, во-первых, для любого многообразия V алгебр, таких как группы, кольца и ряд других, если решетка L вложи-ма в решетку подалгебр какой-то алгебры из V, то L вложима в решетку подалгебр подходящей свободной алгебры из V. В этом смысле свободные алгебры оказываются универсальными объектами в своих многообразиях. Во-вторых, если данная алгебра А порождает многообразие V, то любая свободная алгебра из V может быть вложена в подходящую декартову степень А . Последнее обстоятельство весьма полезно и позволяет сводить некоторые задачи о вложении в решетки подалгебр к задаче о вложении в решетки подалгебр соответствующих свободных алгебр.
Для ряда известных классов алгебр, как например, класса полугрупп, вложимость решетки L в решетку подалгебр некоторой алгебры многообразия V не означает заведомо (и, как мы увидим далее, вообще говоря, не влечет) вложимость L в решетку подалгебр свободной алгебры из V. Это, впрочем, не умаляет наш интерес к обсуждаемому аспекту и для таких классов. Дело в том, что решетки, представимые решетками подалгебр свободных алгебр, играют заметную роль и в ряде других алгебраических исследований. В качестве примера упомянем здесь результат А.А. Булатова [5], устанавливающий представимость некоторыми решетками кло-
нов решеток, вложимых в решетку подполугрупп свободной полугруппы счетного ранга.
Для заданного класса алгебр К обозначим через Latji„ К класс конечных решеток из Lat К. В рамках рассматриваемой проблемы возникает также
ПРОБЛЕМА 2.2. Для заданного класса алгебр К охарактеризовать класс решеток Latfjn К.
В частности, здесь интересно выяснить, будет ли класс решеток, представимых решетками подалгебр конечных алгебр из К совпадать со всем классом Lat/i„ К. Легко привести примеры "хороших" классов К, для которых это так. К ним, как мы уже знаем, относятся классы, состоящие соответственно из всех групп, булевых алгебр, дистрибутивных решеток. Более ценными, однако, являются здесь примеры противоположного толка. Некоторые из них указаны в диссертации.
Классы алгебр Ki и К2 назовем решеточно эквивалентными, если Lat Ki = Lat К2 . Легко понять, что если два класса алгебр решеточно эквивалентны, то соответствующие им классы решеток подалгебр квазиэквационально эквивалентны и даже имеют одинаковую универсальную теорию. Важные примеры пар решеточно эквивалентных классов дают классы алгебр, являющиеся решеточно универсальными. Вместе с тем, нетрудно привести и другие естественные примеры пар классов с указанным свойством. Отношение решеточной эквивалентности на классах всех Д-модулсй, рассматриваемых над произвольным ассоциативным кольцом R с единицей, изучалось в работах Г. Хатчинсона [31] и Г. Цедли [23], упоминавшихся нами ранее. Таким образом, закономерна постановка следующей общей проблемы.
ПРОБЛЕМА 3. Исследовать отношение решеточной эквивалентности на классах алгебр.
В связи с последней проблемой определим на классах алгебр еще одпо отношение - отношение конечной решеточной эквивалентности. Говорим, что классы К\ и Кг алгебр конечно решеточно эквивалентны, если Latfin Ki = Latjin К2 . Ясно, что из решеточной эквивалентности двух классов следует их конечная решеточная эквивалентность. Обратная импликация, вообще говоря, неверна. Возникает следующий вопрос: какие из известных классов алгебр
конечно решетпочно эквивалентны? С одной стороны, ответ на этот вопрос представляет самостоятельный интерес. С другой стороны, в ряде случаев оказывается, что установив для классов алгебр Ki и Кг равенство Latjin Ki = а/,„ Кг, можно сравнительно легко затем перейти к более сильному равенству Lat Ki = Lat Кг, т.е. получить тем самым решеточную эквивалентность этих классов.
Некоторые задачи о вложении в решетки подалгебр приводят к рассмотрению эквационалышх свойств этих решеток. В самом деле, для доказательства того, например, что какой-то класс алгебр К не является решеточно универсальным, достаточно указать хотя бы одно нетривиальное тождество, выполняющееся на решетках подалгебр алгебр из К. Это обстоятельство объясняет наш интерес в диссертации к вопросам, связанным с рассмотрением тождеств на решетках подалгебр.
Цель работы—развитие направления, посвященного вопросам нредставления решеток решетками подалгебр. При этом мы решаем Проблемы 1, 2 и 3 (см. также конкретизации первых двух— Проблемы 1.1, 1.2, 2.1 и 2.2) для целого ряда классов алгебр К и для распространенных в литературе классов Р решеток. В роли К выступают различные важные классы полугрупп, групп, колец, решеток и т.д., в роли Р - класс всех решеток, а также упоминавшиеся выше (после формулировки Проблемы 1.2) классы решеток
1Н).
Общая методика исследований. В работе активно используются методы и факты общей теории решеток, а также структурных теорий и теорий многообразий групп, полугрупп и колец. Наряду с ними автором разработаны новые эффективные средства исследования решеток подалгебр. Так например, в случае полугрупп весьма плодотворным оказался впервые примененный здесь метод интерпретаций решеток подпорядков частичных порядков решетками подполугрупп. Рассматривая решетки подгрупп относительно свободных групп, мы развиваем некоторые идеи Б.Йонссона из работы [34] (см. здесь также [6], глава IV, 4), в которой приводится более простое по сравнению с оригинальным доказательство теоремы Уитмена о представлении решеток решетками разбиений. Новым здесь является использование понятия функции расстояния на множестве свободных порождающих этих групп. Вообще, при исследовании ре-
шеток подалгебр относительно свободных алгебр заметную роль в работе играют полугруппы эндоморфизмов этих алгебр, важной особенностью которых является определенное богатство их строения.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Некоторые из полученных результатов дают ответы на вопросы, отмечавшиеся в литературе, либо обобщают те или иные известные факты. Формирование в диссертации соответствующей проблематики позволяет, кроме решенных задач, вычленить и целый ряд задач для дальнейшего исследования. Результаты работы и ее методы могут быть применены в научных исследованиях, при чтении специальных алгебраических курсов; некоторые из них отражены в монографии [43] (английский перевод монографии [19], с дополнениями).
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987), на VI Всесоюзной школе по теории многообразий алгебраических систем (Магнитогорск, 1990), на второй и третьей суслинских конференциях (Саратов, 1991; 1994), на Летней школе по общей алгебре и упорядоченным множествам (Херланы, 1992), на международных конференциях по алгебре (Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Сегед, 1993, 1996; Нашвилл, 1996), на международных конференциях по теории полугрупп (Луино, 1992; Йорк, 1993; Порту, 1994; Сегед, 1994; С.-Петербург, 1995; Прага, 1996); на конференциях в Луино и С.Петербурге были сделаны пленарные доклады. Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Москве (1986, 1995, алгебраический семинар МГУ), Новосибирске (1995, семинар "Алгебра и логика"), Екатеринбурге (1985 - 1996, семинар "Алгебраические системы"; 1995, семинар отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [49] - [71]. Из указанных две работы являются совместными; основные идеи и методы в них принадлежат автору, а реализовывались в нераздельном сотрудничестве.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 224
страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 94 наименования.