Введение к работе
В отруктурной теории колец и алгебр одним из важнейших инструментов является понятие радикала. Это объясняется тем, что введение радикала дает возможность в классе всех рассматриваемых колец выделить два протавопололашх по свойствам подкласса - класс полупростых колец и класо радикальных колец. Как правило, кольца из кавдого подкласса имеют более понятное описание, в тоже время произвольное кольцо является расширением полупростого кольца с помощью радикального.
Теория радикалов ассоциативных, альтернативных и йорда-нових колец, колец типа (-1,1) полутала в настоящее время большое развитие. Известен ряд'радикалов, позволяющих доказать глубокие структурные теоремы в этих классах [ 1,3 ] .
Традиционным в теории колец, близких к ассоциативным, является вопрос о строении первичных колец. Дело в том, что для описания полупростых классов важно знать строение полупервичных колец, а всякое полупервичное кольцо является под-прямой суммой первичных колец. В частности,для ниль-радака-лов все полупроетые кольца полупервичны.
Известно, что первігчное альтернативное невырожденное кольцо либо ассоциативно, либо кольцо Кэли-Диксона, (СлеЙтер [з])
Примеры И.М.іЛихеева б,7І показывают, что существуют простые и первичные правоальтернативные неальтернативнне кольца.
Простые правоальтернативные кольца изучались в работах А.Теди [24 j , В.Г.Скосырского С.1б] . Доказано например, что простое правоальтернативное кольцо либо альтернативно, либо лиль-кольцо..
Одним из естественных обобщений альтернативных колец является класс ?? почти альтернативных колец, все кольца которого характеризуются следующим свойством: Если ' & -кольцо из класса р2 , 1-идеал % , то I -идеал кольца "R .
При классификации почти альтернативных колец А.Албертом . [_21] были выделены два основных подкласса: кольца типа (уf S ) и правоальтс чативные почти альтернативные кольца.
Автором [.26 J в 1982 г. бчло -отмечено, что всякое право-альтернатквноо почти альтерантішное Ф -операторное кольцо либо альтернативно, либо кольцо типа (-1,1), либо удовлетворяет тождеству (у, у, я?>= A[[*fyJ(yJ либо удовлетворяет тождеству [[яг^уІ^с.
Первичное кольцо типа (-1,1) характеристики /2,3 либо
ассоциативно, либо удовлетворяет тождеству [[*,у], г] = 0
( И.Генцель [22] ), а примеры С.В.Пчелинцева [l2J
показьшают, что существуют первичные неассоциативше алгебры-типа (-1,1), удовлетворяющие тождеству [[«,y],?3 '.
И.Генцель [23] в 1977 г. доказал, что полупервичноа правоальтернагавное кольцо, удовлетворяющее тождеству,
ГУ»У' *)-*< [L^ylyJ ,'^/ ассоциативно и комму-
тативно. 1
Вопрос ой описании первичных правоальтг-чттивных колец, удовлетворяющих тоздеству t*^3,«3 =
Важное место в теории неассоциативных колец занимают вопросы соотношений между разрешимостью и нильпотентностью, ыеаду различными нильпотентностями в различных классах колец.
Для ассоциативных алгеф справедлива теорема Нагаты-Хиг-мана о нильпотентности ассоциативной ниль-алгебрц индекса
п. без элементов порядка < п в аддитивной группе. Примеры Г.В.Дорофеева [23J показывают, что существуют альтернативные и (-1,1) разрешимые, но не ннльпотентные алгебры, т.е. теорема Нагаты-Хиплана не переносится на случаи альтернативных и (-1,1) алгебр.
В 1962 г. К.А.Жевлаков [ 3 J доказал, что альтернативная ноль алгебра индекса л без элементов порядка < л . в аддитивной, группе разрешима.
В работах [l5,I3] аналогичный результат доказан для колец типа (-1,1).
Связи между разрешимостью и нильпотентностью альтернативных и (-1,1) колец изучал С.В.Пчелинцев [ із] .В I9S4 г. им были получены следующие результаты:
квадрат разрешимой альтернативной алгебры ншштотентен,
если 4 -алгебра типа (-1,1), всякий ассоциативный фактор, который нилытотентен, то алгебра А нилытотентна.
Связи между нильпотентностью правонильпотентностья и ле-вонильпотентностю в альтернативных и (-1,1) кольцах изучались в работах [3,10,14,18 j _,
Примеры С «В.їїчслшщева [її] и А.М.Слинько [ 18J показывают, что существуют правоальтернативные правонильпотентше и правоальтернативные левонильпотентные, но нешиьпотентныв колыда. Вместе с тем, из правошільпотєнтности и левонилыго-тентности правоальтернативного кольца следует его нильпотентность [ 18 ~] ,
В классе альтернативных и'(-1,1) колец понятия нильпотентности, правонильпотентност.. и левонильпотентности эквивалентны [3,10,14] ,
Естественными вопросами в теории радикалов неассоциатив-них колец являются вопрос о наследственности радикалов и вопрос о нильпотентности ниль-радикала в кольцах с условием миншлальности для идеалов,
В работах Т.. Андерсона, Н,Дивинского, А.Сулинского [з] , А.С.Марковичева [4 J , А.А.Ншгатина [9] доказано, что в классах альтернативных, (-1,1) и йордановых колец для произвольного радикала X всякий идеал t -полупростого кольца "t- -полупрост. Следовательно, в этих классах колец вопрос о наследственности радикала эквивалентен вопросу, о дикальности всякого идеала ъ -радикального кольца, Для наднильпотентного радикала в классе ^йордановых колец этот результат доказан А.М.Слинько [19 J
Правоальтернативные алгебры с условием минимальности для правых идеалов изучал В.Г.Скосырский [І7І . Он доказал, что кваэирегуляркый радикал $f(4) правоальтернативной алгебры А с условием минимальности- для правых идеалов право-нильпотентен, а фактор-алгебра ^ /зса) является конечной прямой суммой матричных колец над телами и алгебр Кэли-Дик-сона. Причем невозможно заменить правую нильпотентность на нильпотентность и невежа аналогичная теорема для алгебр о условием минимальности для левых идеалов.
5'
Альтернативные и (-1,1) кольца с условием минимальности для двусторонних и правых (левых) идеалов изучали,соответственно, К.А.Еевлаков [ 3,гл. 12^ и Р.Э.Роомельди [14 J ими доказано, что ииль-идеал альтернативного ((-1,1)).кольца с условием минимальности для правых (левых) идеачов нилыютен-тен.
диссертация посвящена изучению вопросов о строении первичных колец соотношении между разрешимостью и нильпотентностью, между различными нильпотентностями, вопросов о наследственности радикалов и строении колец с условиями минимальности для идеалов в классах правоальтернативншс колец, удовлетворяющих одному из тождеств и#,у],у]г? либо
Основные работы диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, а результаты ыог„ т. быть использованы в теории неассоциативных колец и при чтении спецкурсов.
Результаты диссертации докладывались -на заседаниях семинаров "Алгебра и логика", "Теория колец", "Кольца, близкие к.ассоциативным" в Новосибирском государственном университете и Института математики СО АН СССР.
Основные результаты опубликованы в работах [25-29J -
Работа состоит из введения, трех.глав, списка литературы и изложена на 100 страницах. Библиография содержит 49 названий. - *