Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 3
2. Вспомогательная часть 6
1. Обозначения и определения 6
2. Вспомогательные теоремы 7
3. Неособые поверхности дель Пеццо 8
4. Особенности поверхностей 9
5. Поверхности дель Пеццо с особенностями 17
6. Неравенство Богомолова-Миаоки-Яу 20
3. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо 22
1. Формулировка теоремы и необходимые результаты 22
2. Доказательство основной теоремы: случай \С + D + Кх\ ф 0 26
3. Доказательство основной теоремы: случай \С + D + Кх\ = 0 30
4. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо. Другое доказательство основного результата 36
1. Предварительные результаты 36
2. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет циклические факторособенности 37
3. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет нециклическую факторособенность 39
5. Поверхности дель Пеццо с особенностями допускающие действие простой группы 42
1. Введение 42
2. Предварительные результаты 44
3. Группы Клейна и Валентинера 52
4. Знакопеременная группа 2tg 54
Список литературы 65
- Вспомогательные теоремы
- Неравенство Богомолова-Миаоки-Яу
- Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет циклические факторособенности
- Группы Клейна и Валентинера
Введение к работе
Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор В ей ля — Кх является обильным дивизором Q-Картье.
Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей (см., например, [21]). Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностью по конечной группе (см. [20, теорема 9.6]).
Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей (см., например, [43], [44], [31]). Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя [12] и работы Демюзара [10], Наруки и Урабе [32], Биндшадлера, Брен-тона и Дрюкера [5]. В частности, такие поверхности полностью классифицированы (см., например, [13], [26] для случая поверхностей с числом Пикара 1).
Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (см., например, [26], [13]). В работе Алексеева-Никулина [38] классифи-цированы все поверхности дель Пеццо индекса 2.
Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу (см. [39], [27], [35], [34], [28], [19]) рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена [22] доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар [24] поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерминальные особенности и, количество особых точек
&
которых равно пяти. В работе [18] эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом. Теорема 1.1 решает проблему Коллара в случае, когда — Кх — обилен. Данная проблема тесно связана с алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии (см. [24]).
Основной результат главы 3 состоит в следующем:
Теорема 1.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Эту оценку нельзя улучшить, поскольку существуют многочисленные примеры поверхностей дель Пеццо с четырьмя логтер-минальными особыми точками (см. [26], [37]).
В главе 3 мы дадим доказательство теоремы 1.1, основанное на бира-циональных перестройках и на неравенсте Богомолова-Миаоки-Яу.
В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы 1.1, основанное на применении "орбифолдовой" версии теоремы Римана-Роха (см. [40]) и на бирациональных преобразованиях.
Оба эти докозательства имеют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования поверхностей дель Пеццо.
В главе 5 мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы G на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства Р называется группой Кремоны над полем к и обозначается Сгп(&). Группа Кремоны Сг±(к) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Сг±{к) изоморфна PSL2(&). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать (. Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны (см. теорему 2.29). Следовательно, группа G содержится в Сг2, где Сг2 — двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сг2 классифицированы в работе [11]. Согласно [11], в 0 существуют три конечные простые подгруппы: 215, 21б и Giqq = PSL2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.
Основной результат главы 5 состоит в следующем:
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть G С Aut(X) — конечная простая группа.
(1) Если G с^ 2І5 и p(X)G = 1, то возможны только следующие пять случаев: Х~Р2.
X ~ 55; где S$ — неособая поверхность дель Пеццо степени пять.
X ~ Р(1,1,2тг) — конус над рациональной кривой степени 2п.
X ~ F2n,ak-2n,a, CM- TtpUMep 5.2.
X ~ P|s, см. пример 5.S.
ifc/ш (j — группа Клейна, то X ~ Р2 или X с^ 5І>
Если G — группа Валентинера, то X ~ Р2.
Автор признателен своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Прохорову и член-
корреспонденту РАН, профессору [В. А. ИсковскихІ за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит доктора физико-математических наук И. А. Чельцова и кандидата физико-математических наук К. А. Шрамова за полезные обсуждения.
Вспомогательные теоремы
Нормальная проективная поверхность X называется (особой) поверхностью дель Пеццо, если антиканонический дивизор В ей ля — Кх является обильным дивизором Q-Картье. Мы рассмотрим поверхности дель Пеццо над полем комплексных чисел С с логтерминальными особенностями. Такие поверхности естественным образом возникают в теории логминимальных моделей (см., например, [21]). Отметим, что двумерная особенность логтерминальна тогда, и только тогда, когда она является факторособенностью по конечной группе (см. [20, теорема 9.6]). Классификация неособых поверхностей дель Пеццо хорошо известна, и они являются классическим примером рациональных поверхностей (см., например, [43], [44], [31]). Классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями посвящена классическая работа дю Валя [12] и работы Демюзара [10], Наруки и Урабе [32], Биндшадлера, Брен-тона и Дрюкера [5]. В частности, такие поверхности полностью классифицированы (см., например, [13], [26] для случая поверхностей с числом Пикара 1). Для приложений к программе минимальных моделей наиболее интересен случай поверхностей дель Пеццо с числом Пикара 1. Известна полная классификация поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (см., например, [26], [13]). В работе Алексеева-Никулина [38] классифи-цированы все поверхности дель Пеццо индекса 2. Напомним, что нормальная проективная алгебраическая поверхность называется рациональной гомологической проективной плоскостью, если она имеет те же числа Бетти, что и проективная плоскость Р2. Согласно неравенству Богомолова-Миаоки-Яу (см. [39], [27], [35], [34], [28], [19]) рациональная гомологическая плоскость имеет не более шести особых точек. В работе Кила-Макернена [22] доказано, что поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1 имеет не более пяти особых точек. Я. Коллар [24] поставил задачу описать все рациональные гомологические проективные плоскости, имеющие лишь логтерминальные особенности и, количество особых точек которых равно пяти.
В работе [18] эта проблема решена для поверхностей с численно эффективным каноническим классом. Теорема 1.1 решает проблему Коллара в случае, когда — Кх — обилен. Данная проблема тесно связана с алгебраической проблемой Монгомери-Янга и многими другими задачами из топологии (см. [24]). Основной результат главы 3 состоит в следующем: ТЕОРЕМА 1.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек. ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Эту оценку нельзя улучшить, поскольку существуют многочисленные примеры поверхностей дель Пеццо с четырьмя логтер-минальными особыми точками (см. [26], [37]). В главе 3 мы дадим доказательство теоремы 1.1, основанное на бира-циональных перестройках и на неравенсте Богомолова-Миаоки-Яу. В главе 4 мы дадим другое доказательство теоремы 1.1, основанное на применении "орбифолдовой" версии теоремы Римана-Роха (см. [40]) и на бирациональных преобразованиях. Оба эти докозательства имеют самостоятельный интерес для дальнейшего исследования поверхностей дель Пеццо. В главе 5 мы рассмотрим поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями и действием конечной простой группы G на этой поверхности. Группа бирациональных автоморфизмов проективного пространства Р называется группой Кремоны над полем к и обозначается Сгп(&). Группа Кремоны Сг±(к) изоморфна группе автоморфизмов проективной прямой. Следовательно, группа Сг±{к) изоморфна PSL2(&). Плоскую группу Кремоны над полем С мы будем обозначать (. Известно, что все поверхности дель Пеццо с логтерминальными особенностями рациональны (см. теорему 2.29). Следовательно, группа G содержится в Сг2, где Сг2 — двумерная группа Кремоны. Все конечные подгруппы группы Сг2 классифицированы в работе [11]. Согласно [11], в 0 существуют три конечные простые подгруппы: 215, 21б и GIQQ = PSL2(7). Мы классифицируем все поверхности дель Пеццо с действием этих групп.
Основной результат главы 5 состоит в следующем: ТЕОРЕМА 1.3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть G С Aut(X) — конечная простая группа. (1) Если G с 2І5 и p(X)G = 1, то возможны только следующие пять случаев: Х Р2. X 55; где S$ — неособая поверхность дель Пеццо степени пять. X Р(1,1,2тг) — конус над рациональной кривой степени 2п. X Ps, см. пример 5.S. (2) ifc/ш (J — группа Клейна, то X Р2 или X с 5І (3) Если G — группа Валентинера, то X Р2. Автор признателен своим научным руководителям доктору физико-математических наук, профессору Ю. Г. Прохорову и член- корреспонденту РАН, профессору [В. А. ИсковскихІ за постановку задач и постоянное внимание к работе. Автор благодарит доктора физико-математических наук И. А. Чельцова и кандидата физико-математических наук К. А. Шрамова за полезные обсуждения.
Неравенство Богомолова-Миаоки-Яу
ТЕОРЕМА 2.35 (Неравенство Богомолова-Миаока-Яу, см. [39], [27], [35]). Пусть S — неособая проективная минимальная алгебраическая поверхность общего типа. Тогда К\ Sx(S). Эта теорема может быть распростронена на случай особых поверхностей с обильным анти-каноническим классом. ТЕОРЕМА 2.36 (см. [34], [28], [19]). Пусть S — нормальная проективная поверхность с логтерминальными особенностями. Предположим, что —Ks — обилен. Тогда тр — порядок локальной фундаментальной группы в окрестности точки Р. ТЕОРЕМА 2.37 (см. [22, следствие 9.2]). Пусть (Х,С) — логповерхность с р(Х) = 1 такая, что пара (X, С) логканонична, поверхность X логтерминальна и С = ]Г СІ — приведенный дивизор (возможно С = 0). Тогда где тр — порядок локальной фундаментальной группы 7T\(Up — {Р}) (Up — достаточно маленькая аналитическая окрестность). Если X — рациональная поверхность и ра{С) = 0, то П =±) і если фс = і СЛЕДСТВИЕ 2.38 (см. [33, следствие 5.2.4]). Пусть X поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и пусть р{Х) = 1. Тогда число особых точек не более пяти. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме 2.37 число особых точек на поверхности X не больше шести. Предположим, что X содержит шесть особых точек Рі,...,Рв- Тогда, по теореме 2.37, мы имеем тр1 = = тр6 = 2. Это значит, что Р1?..., PQ — обыкновенные двойные точки. В частности, Кх дивизор Картье. Пусть / : X — X — минимальное разрешение особенностей поверхности X. Согласно формуле Нетера 2.5, мы имеем Пусть L С X — (—1)-кривая и пусть L С X — образ L на поверхности X. Тогда Поскольку р(Х) = 1, мы имеем L = —\Кх- Отсюда, L2 = . С другой стороны, 2L — дивизор Картье. Противоречие. Пусть X — рациональная гомологическая проективная плоскость. Из теорем 2.36 и 2.37 следует, что где тр порядок локальной фундаментальной группы в окрестности точки Р. Отсюда следует, что X имеет не более шести особых точек. Число особых точек на поверхностях дель Пеццо 1. Формулировка теоремы и необходимые результаты Основной результат этой главы состоит в следующем: ТЕОРЕМА 3.1. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара 1. Тогда X имеет не более четырёх особых точек.
Согласно следствию 2.38, поверхность дель Пеццо имеет не более пяти особых точек. Из неравенства (2.6.1) следует, что если рациональная поверхность X с логтерминальными особенностями и р{Х) = 1 имеет пять особых точек, ТО ВОЗМОЖНЫ ЛИШЬ Следующие ПОРЯДКИ ГруПП 7Ti(Up1— Pi), . . . 7Ti(Up5— Р5) ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Порядок TTI(UP — Р) равный 2 означает, что особенность Р — дювалевская типа А\. Порядок iri(Up — P) равный 3 означает, что особенность Р — либо дювалевская типа А% либо циклическая фак-торособенность типа (1,1). Порядок TT\(JJp — Р) равный 4 означает, что особенность Р — либо дювалевская типа А%, либо типа (1,1). Порядок TT\(UP — Р) равный 5 означает, что особенность Р — либо дювалевская типа Л , либо типа (1,1), либо типа (1, 2). Порядок 7Гі (С/р — Р) равный 6 означает, что особенность Р — либо дювалевская типа А?,, либо типа К1-1). 3.3. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и числом Пикара р(Х) = 1. Пусть 7Г: X — X — её минимальное разрешение и пусть D = YlZ=i Di исключительный дивизор морфиз-ма 7г, где D{ — неприводимые компоненты. Существует единственный эффективный Q-дивизор D% = XJ=i a A такой, что іг Кх = -0й + К х- Будем называть взвешенный граф Г логтерминальным, если он является двойственным графом какой-либо логтерминальной особенности (описание всех таких графов см. теорему 2.25). ЛЕММА 3.4. Пусть Y — неособая рациональная поверхность, D — дивизор, состоящий из всех неособых, рациональных кривых с индексом самопересечения не больше —2. Пусть выполнены следующие условия: (1) p(Y) = # + 1; (2) D — дивизор с простыми нормальными пересечениями; (3) двойственный граф дивизора D, является объединением логтер-минальных графов. Тогда имеет D не более пяти компонент связности. Пусть D имеет пять компонент связности и, существует неприводимая компонента DQ дивизора D такая, что DQ —3. Тогда возможны только следующие случаи (1,1,1,2, 2) и (1,1,1,1, п) (п Є N), где числа в скобках обозначают число неприводимых компонент в компонентах связности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно критерию Артина можно стянуть каж дую компоненту связности дивизора D. Тогда мы получим рациональ ную поверхность с р(Х) = 1 и с пятью логтерминальными особенностя ми. Из неравенства (2.6.1) и замечания 3.2 мы получаем утверждение ЛЕММА 3.5 (см. [36, лемма 1.4]). В условиях 3.3 не существует (—1)-кривой Е на поверхности X такой, что после последовательного стягивания (—1)-кривых в E+D, двойственный граф образа E + D станет несвязным объединением допустимых графов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть существует такая (—1)-кривая Е, что после последовательного стягивания р\ X — W (—1)-кривых в Е -\- D получится поверхность W, где двойственный граф р (Е -\- D) является объединением графов из теоремы 2.25, тогда пусть h: W — W стягивание их в особенности.
Тогда где т число компонент D стягиваемых р. Противоречие. Так как существует натуральное п такое, что дивизор — n(D$ + Кх) — является целым дивизором Картье, то существует кривая С такая, что —С (D$ + Кх) = — Кх тг(С) є Q достигает наименьшего положительного значения. Назовём её минимальной кривой. Всюду далее через С мы будем обозначать минимальную кривую. ЛЕММА 3.6 (см., например, [36, леммы 1.5 и 1.6]). В условиях 3.3. Пусть Ф: X — Р1 — расслоение с общим слоем Р1, т — число неприводимых компонент D, не леоюащих в слоях Ф, udf — число (—1)-кривых, леоюащих в слое f. Тогда (2) Если Е — единственная {—1)-кривая в слое, то кратность вхождения её в слой больше 1. (3) Если f состоит из (—1) и (—2)-кривых, то двойственный граф f — один из следующих: где числа в вершинах обозначают кратность вхождения в слой, а числа рядом с вершинами — индекс самопересечения. (4) Пусть существует слой f типа (а) или (Ь). Предполооюим, что С — единственная (—1)-кривая в f. Тогда любой особый слой состоит из (—1) и ( -2)-кривых, причем любая (—ї)-кривая Е, лежащая в особом слое, является минимальной, то ЛЕММА 3.7. В условиях 3.3 любая кривая на поверхности X с отрицательным индексом самопересечения является либо компонентой дивизора D, либо (—1)-кривой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А — гладкая кривая, не являющаяся компонентой дивизора D, и имеющая отрицательный индекс самопересечения. Тогда Отсюда А — (—1)-кривая. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.8. Пусть (У, D) проективная логповерхность. Будем говорить, что {Y,D) — почти логповерхность дель Пеццо, если пара (У, D) — логтерминальна по Кавамате и дивизор — (Ку + D) численно эффективен и объёмен (например, в обозначениях выше (X, D$) — почти логповерхность дель Пеццо). + D) = А обилен и Y имеет лишь логтерми-нальные особенности. Следовательно, —Ку = А + D обилен. Отсюда, Y — поверхность дель Пеццо. ЛЕММА 3.9. Пусть (У, D) — почти логповерхность дель Пеццо, f:Y—+Y — бирациональное стягивание. Тогда (У, D = f D) — также почти логповерхность дель Пеццо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А — кривая на У и где ЕІ — неприводимые компоненты исключительного дивизора морфиз-ма /. Так как дивизор YH=\ - стягиваемый, то матрица (ЕІ Ej) отрицательно определена. Отсюда щ 0. Тогда Следовательно, дивизор —(Ку + f D) численно эффективен и пара (У, D ) логтерминальна по Кавамате.
Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет циклические факторособенности
В этой главе мы дадим другое докозательство теоремы 3.1. Напомним, что согласно следствию 2.38 поверхность дель Пеццо имеет не более пяти особых точек. Таким образом, для доказательства теоремы 1.1 достаточно показать, что не существует поверхностей дель Пеццо с пятью особыми точками и числом Пикара единица. Предположим противное: существуют поверхности дель Пеццо с пятью особыми точками и числом Пикара единица. Пусть Pi,..., Р5 Є X — особые точки и Up. Э Pi — достаточно маленькие аналитические окрестности этих точек..Согласно неравенству (2.6.1) порядки групп 7Ti(Up1 — Pi), . , 7Ti(t/p5 — Р5) (с точностью до перестановки) одни из следующих: ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. Согласно классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями (теорема 2.31) мы можем предполагать, что на поверхности есть недювалевская особая точка. Случай 1.1 дает лишь конечное число возможностей. Они все рассмотрены в [18, замечание 4.2 и параграф 6]. Таким образом, достаточно рассмотреть случай 1.2. 4.2. Обозназначения и предположения. Пусть X — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями и р{Х) = 1. Мы предполагаем, что выполнен случай 1.2, т. е. множество особенностей X состоит из четырех точек Pi, Р2, Р3, РА, имеющих тип А\, и одной недювалевской особой точки Р$ с \iri(Up5 —Рь)\ =пг 3. Пусть 7г: X — X — минимальное разрешение и пусть D = Y =i D% приведенный исключительный дивизор, где Di — неприводимые компоненты дивизора D. Тогда существует единственный эффективный Q-дивизор D = Y i=iai i такой, ЛЕММА 4.3 (см., например, [36, лемма 1.5]). В условиях .2, пусть Ф: X — Р1 — расслоение с общим слоем Р1. Пусть т — число неприводимых компонент дивизора D, не лежащих ни в каком слое расслоения Ф, и пусть d/ — число (—1)-кривых, лежащих в слое /. Тогда (2) Если d/ = 1 и Е — единственная (—1)-кривая в /.
Тогда ее коэффициент в f не меньше двух. Следующая лемма — следствие теоремы о конусе (см., например, [25, теорема 1-3-2]). ЛЕММА 4.4 (см., например, [36, лемма 1.3]). В условиях .2, любая рациональная кривая наХ с отрицательным индексом самопересечения — это либо (—1)-кривая, либо компонента дивизора D. 2. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет циклические факторособенности В этом параграфе мы предполагаем, что X имеет только циклические факторособенности. Следующая лемма очень схожа с аналогичной леммой в [15]. Для удобства читателя мы дадим полное доказательство. ЛЕММА 4.5. В условиях .2, предположим, что Ръ _— циклическая факторособенность. Тогда существует расслоение Ф : X — Р1 с общим слоем Р1 такое, что f D 2, где / — слой расслоения Ф. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть v : X — X — минимальное разрешение недювалевской особенности и пусть Е = ]Г) . — исключительный дивизор. Согласно лемме 2.34, мы имеем — Кх\ ф - Пусть В Є — Кх\. Тогда мы можем записать где В — целый, эффективный дивизор. Отсюда, В Е. Применим программу минимальных моделей к X. Мы получим бира-циональный морфизм ф : X —5- X такой, что X имеет лишь дювалевские особенности и, либо р(Х) = 2 и существует расслоение ф : X — Р1 с общим слоем Р1, либо р(Х) = 1. Более того, ф — композиция где фі — взвешенное раздутие гладкой точки поверхности ХІ+І С весами (1,ПІ) (см. [29]). Предположим, что р{Х) = 1. Тогда любая особая точка на поверхности X имеет тип А\. Согласно классификации поверхностей дель Пеццо с дювалевскими особенностями и числом Пикара единица (теорема 2.31), мы имеем X = Р2 или X = Р(1,1, 2). Предположим, что X = Р(1,1,2). Заметим, что ф стягивает р{Х) — X = фЕ кривые, где #Е — число неприводимых компонент дивизора Е. Поскольку фі,В имеет не более двух компонент и В Е, мы видим, что ф стягивает не более двух кривых К\ И і 2, не являющихся компонентами дивизора Е. Поскольку X содержит четыре особые точки, которые имеют тип Аі, мы видим, что X содержит, как минимум, две особые точки. Противоречие. Предположим, что X = Р2. Поскольку ф В имеет не более трех компонент, как PI выше, мы видим, что ф стягивает не более трех кривых К\, Кч и Кз, не являющихся компонентами дивизора Е. Поскольку X содержит четыре особые точки, которые имеют тип Ai, мы видим, что X содержит, как минимум, одну особую точку. Противоречие. Следовательно, р(Х) = 2 и существует расслоение с общим слоем Р1 ф : X — Р . Пусть д : X — X — минимальное разрешение особен ностей X. Пусть Ф = ф о ф и пусть / — слой расслоения Ф . Тогда f -E f -B = -Кх / = 2. Положим Ф = Ф о д. U Пусть / — слой расслоения Ф. По лемме 4.5 мы имеем следующие случаи: 1). / пересекает ровно одну неприводимую компоненту Do дивизора D и / - Do = 1. Пусть / — особый слой расслоения Ф. По лемме 4.3 (1) слой I содержит ровно одну (—1)-кривую F. По лемме 4.3 (2) F не пересекает DQ. Тогда F пересекает не более двух компонент дивизора D.
Раздуем одну из точек пересечения F и D. Мы получим поверхность Y. Пусть h : Y — У — стягивание всех рациональных кривых с индексом самопересечения не более —2. Заметим, что У имеет лишь логтерминальные особенности, и У не имеет тип 1.2. Противоречие. 2). / пересекает ровно две неприводимые компоненты i, D i дивизора D и А / = D2 / = 1. По лемме 4.3 (1) существует единственный особый слой L такой, что L содержит две (—1)-кривые F\ иі . Заметим, что одна из этих кривых, скажем Fi, пересекает D в одной или двух точках. Раздуем одну из точек пересечения F\ и D. Мы получим поверхность Y. Пусть h : Y — У — стягивание всех рациональных кривых с индексом самопересечения не более —2. Заметим, что У имеет лишь логтерминальные особенности, и Y не имеет тип 1.2. Противоречие. 3). f пересекает ровно одну неприводимую компоненту Do дивизора D и f. Do = 2. Пусть А — компонента связности дивизора D, содержащая А). По лемме 4.3 (1) любой особый слой расслоения Ф содержит ровно одну (—1)-кривую. Заметим, что любой особый слой расслоения Ф либо содержит две связные компоненты дивизора A — Do, либо коэффициент при единственной (—1)-кривой в этом слое равен двум. Если особый слой I содержит ровно одну (—1)-кривую с коэффициентом два, то двойственный граф I: Поскольку X содержит пять особых точек с порядками локальных фундаментальных групп (2,2,2,2,п), мы видим, что Ф имеет два особых слоя /і и І2, которые имеют тип 2.3 и, возможно, еще один особый слой /з- Заметим, что_ /з содержит обе компоненты связности дивизора А — Do. Пусть \i : X — п — стягивание всех (—1)-кривых в слоях расслоения Ф, где Fn — поверхность Хирцебруха степени п и п = 0,1. Обозначим /і А) через Do- Заметим, что Do 2М + kf, где М2 = —п и М / = 1. Поскольку мы стягиваем не более пяти кривых, пересе- кающих Do, и Dg —2, мы видим, что 0 Do 3. Следовательно, О —An + 4к 3. Это невозможно. Противоречие. 3. Доказательство теоремы 3.1: случай когда поверхность имеет нециклическую факторособенность В условиях 4.2, предположим, что X имеет нециклическую особую точку, скажем Р. Тогда существует единственная компонента Do дивизора D такая, что Do {D — Do) — 3 (см. [6]). ЛЕММА 4.6. Существует расслоение, с общим слоем Р1, Ф : X — Р1 такое, что Ф имеет единственное сечение Do в D и Do f 3, где f — слой расслоения Ф. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вспомним, что Р недювалевская особая точка. Пусть h : X — X — стягивание всех кривых в D, кроме Дь Пусть Do = /i A). Тогда X имеет семь особых точек, р{Х) = 2 и существует г/ : Л" —» X такое, что К% + ft-Do = v Kx- Заметим, что (X, aDo) — почти логповерхность дель Пеццо. Пусть R — экстремальная рациональная кривая, отличная от D. Пусть ф : X — X — стягивание R. Возможны два случая: 1). р(Х) = 1. Тогда, по лемме 3.9, X — поверхность дель Пеццо.
Группы Клейна и Валентинера
В этом параграфе мы докажем основную теорему в случае, когда G = 2І6 или PSL2(7) (т.е., G — группа Клейна или Валентинера). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.20. Предположим, что поверхность X особа и G либо группа Клейна, либо группа Валентинера. Тогда Хр содерэюит только циклические факторособенпости, которые имеют тип (1,1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим конструкцию 5.16. Согласно нашему предположению, мы получим случай (3), т.е., стягивание g бирациональ-но и Y — особая поверхность дель Пеццо (с логтерминальными особенностями и p(Y)G = 1). Более того, стягивание фр+і также бирационально и исключительные множества g и фр приводимы (поскольку G не может действовать нетривиально на рациональных кривых). Пусть где, как и выше, Di — -исключительные кривые. Поскольку группа G транзитивно действует на {D{}, мы имеем Более того, согласно классификации логтерминальных особенностей (теорема 2.25), исключительный дивизор над каждой особой точкой — либо пара (-тг)-кривых, либо одна (—?г)-кривая (в противном случае G не может переставлять компоненты Di дивизора D). Заметим, что фр — раздутие точек в Sing(jB). Пусть Е — ф _ исключительная кривая на Хр. Тогда Мы получили а \. С другой стороны, Следовательно, п 3. Более того, если п = 3, тогда «А,- Е А = —1 и, таким образом, Dj E»vy A 1 Это означает, что А П Dj = О для г Ф j. Следовательно, любая особая точка на поверхности Y либо дювалєвская особенность, которая имеет тип Ai, I 2, либо циклическая факторособенность, которая имеет тип (1,1). Согласно предложению 5.14, возможен только случай (1,1). Теперь приступим к доказательству теоремы 5.4 для групп Клейна и Валентинера. Согласно предложению 5.14 мы можем предполагать, что особенности X хуже, чем дювалевские. Применим конструкцию 5.16. Мы получаем случай (3). В часности, Sing(Y) ф 0, У — поверхность дель Пеццо с логтерминальными особенностями, и p(Y)G = 1. Более того, Xp+i Р2 или Xp+i #2? и последнее возможно только, если G = PSLi2(7) (см. [11]). Пусть D = Е А — -исключительный дивизор и пусть ВІ := фр(І)і). Согласно предложению 5.20, любая особая точка на поверхности Y имеет тип (1,1), т.е. D состоит из непересекающихся (—3)-кривых. Сначала мы рассмотрим случай X Р2. Тогда Bi DBj ф 0 и, таким образом, фр — раздутие точек в ВІ П BJ, г ф j. Мы утверждаем, что любая кривая ВІ гладкая и для любой точки Р Є Р2 существует не более двух компонент дивизора В, проходящих через точку Р. Действительно, предположим противное.
Тогда Поскольку кривые ВІ рациональны, то к 2. Если к — 1, то А — прямые и на любой прямой мы раздуваем четыре точки. Следовательно, число этих прямых равно пяти. Противоречие. Теперь рассмотрим случай к = 2. Тогда А — гладкие коники и на каждой конике мы раздуваем семь точек. Мы видим, что число точек пересечения коник делится на четыре. Противоречие. Теперь рассмотрим случай Xp+i Sf- Тогда G группа Клейна. Пусть г := р(Хр/Хр+{). Напомним, что т — число компонент А дивизора D. Тогда, по формуле Нетера, Противоречие. 4. Знакопеременная группа 2І5 Осталось рассмотреть случай G 215. В обозначениях 5.6 мы предпо-логаем, что p(X)G = 1. Согласно предложению 5.14, мы можем считать, что поверхность X имеет особенности хуже, чем дювалевские. Согласно работе [11], возможны три случая: Xd+i Р1, Xd+i с Р2 или Xd+1 5. ЛЕММА 5.21. Пусть V — нормальная поверхность и пусть С С V — гладкая кривая такая, что (Ку + С) - С 0. Тогда V имеет не более трех особых точек на кривой С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ПО формуле присоединения [49] мы имеем где DifFc — дифферента, эффективный Q-дивизор, носитель которого лежит в особых точках поверхности У, лежащих на кривой С. Более то го, коэффициенты дивизора DifFc 1/2. Поскольку, по нашим условиям deg DifFc — deg Кс 2, то носитель дивизора DifFc лежит не более, чем в трех точках. ЛЕММА 5.22. Для любого г, исключительный дивизор морфизма фі имеет не менее пяти связных компонент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Е — -исключительный дивизор. По скольку p(Xi)G = 2 и G = 2І5 — простая группа, Е — либо связный дивизор, либо число компонент связности исключительного дивизора морфизма vpi 5. Предположим, что Е — связно. Поскольку Е — дерево рациональных кривых, дивизор Е неприводим. Таким образом Е Р1. По лемме 5.11 действие группы G на Е нетривиально. Если Х{ гладко вдоль Е, то Е — (—1)-кривая и фі(Е) — G-неподвижная гладкая точка. Это противоречит лемме 5.11. Поэтому, Хі имеет не менее пяти особых точек на Е. Это противоречит лемме 5.21. СЛЕДСТВИЕ 5.23. Если существует G-неподвижная точка на поверхности Х{ для некоторого О г р + 1, то существует неподвижная точка группы G на поверхности Xj для всех j г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ХІ содержит неподвижную точку группы G, обозначим ее через Р. По лемме 5.22 фі-\ — изомор физм над Р. Таким образом, _і( _і(Р)) — неподвижная точка группы G на поверхности Х{-\. ЛЕММА 5.24. Предположим, что p{X)G = 1 и группа G не имеет неподвижных точек на поверхности X. Тогда Xd+i — поверхность. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предположим, что Xd+i = Р1. Согласно следствию 5.23, группа G не имеет неподвижных точек на поверхности JCd. Выберем фі согласно конструкции 5.19 (а). По лемме 5.10 Xd — особая поверхность. Поскольку 2І5 — простая группа и G не имеет неподвижных точек на поверхности Xd, то исключительный дивизор морфизма фа состоит из, не менее, чем пяти кривых Z?i,..., Dk, где к 5. Пусть f — общий слой морфизма фа- Тогда где а — кодискрепантиости компонент .Д. По лемме 5.12 и предложению 5.14 мы видим, что а — и к — 5. Согласно [1, теорема 1-5] существует неприводимая неособая кривая С — 3Kxd\ ф- 0. Пусть С = фаС — ]СггА, где г І 0. Поскольку С — не рациональная кривая, мы видим, что С — не сечение расслония фа. Тогда Следовательно, Противоречие. Q УТВЕРЖДЕНИЕ 5.25. Гладкая поверхность делъ Пеццо S& содероюит ровно пять линейных систем коник. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждая линейная система коник \С\ содержит ровно три вырожденных элемента, каждый из которых состоит из пары пересекающихся прямых. Поскольку поверхность дель Пеццо степени 5 содержит 15 таких пар, то утверждение доказано. ЛЕММА 5.26. Предположим, что р(Х) = 1 и группа G не имеет неподвижных точек на поверхности X. Тогда X = Р2 или X = S$. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 5.24 и [11] мы имеем Xd+i Р или Xd+i с Ss- Выберем ф{ согласно конструкции 5.19 (а). Согласно предложению 5.14 мы видим, что Xd недювалевскую особенность. Следовательно, исключительный дивизор морфизма фа состоит из одной орбиты Di,..., Dk, где к 5. Пусть D = J2 А- Поскольку дивизор —фйКхл = -- !С аА — численно эффективен и объемен, мы имеем По лемме 5.12 а \. Рассмотрим два случая: 1). Xd+i = Р2- Пусть Н — прямая. Как было доказано выше, ЗН — X} o d(A) — численно эффективен и объемен. Предположим, что deg d(A) 2. Тогда 3 2ка. Поскольку к 5 и а , мы видим, что 2ка у. Противоречие. Следовательно, d(A) прямые. Тогда А; = 5 или 6. Предположим, что & = 5. Тогда существует орбита из пяти прямых на Р2. Заметим, что существует инвариантная коника С С Р2. Дивизор X) d(A) пересекает С в, не более чем десяти точках. Следовательно, существует орбита на конике С, состоящая из десяти точек. С другой стороны, порядок минимальной орбиты на С равен двенадцати. Противоречие. Таким образом, к = 6. Следовательно, прямые находятся в общем положении, т.е. каждая прямая содержит пять точек пересечения с остальными прямыми. Отсюда, т 4 и, таким образом, 3 ка 3. Снова мы получили противоречие. 2). Xd+i = % Предположим, что ( А) — (—1)-кривые. Тогда к — 10 и1 = — Ksb Ei 3a — a = 2а.