Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи теории групп п смежных разделов математики редуцируются к нахождеііра порождающих элементов, удовлетворяющих некоторым свойстійш. Хороню пздеотпо; что классические группы порождаются caomjii простейшими элементами: так, например, симметрические группы порождаются ;транс-пекпнями, а простые классические линейные группы или,' более обобщенно, простые группы плева типа порождаются корневыми элементами (см. [3, 2, 14, 28]); в обоих случаях мощность прршздающего множества растет вместе с ростом мощности самой группы. Для конечных простых групп и близких к ппм особый интерес вызына-ют порозвдаюодпе множества минимальной мощности относительно некоторых свойств. Первые систематические исследования в этом: направлении, датируются началом нынешнего столетия.
Л.Диксон в своей книга "Linear Groups with ад Exposition ofi'the Galois Field Theory", вышедшей в 190J г., доказал, -что''для любого нечетного q ф 9, являющегося степенью простого числа; группа Sli(q) порождается двумя матрицами ,
(!?) ';'« (?;!)'
если * порождает основное поле [17]. Это утверждение обычно называют теоремой Диксона. В этом же 1901 г- Г.Мпллер [33] показал, что любая простая знакопеременная группа А„ порождается двумя элементами, а еслап отлично от б, 7, 8, то порядки этих порождающих могут быть 2 и 3. В 1952 г. Р.Стейнберг [38] указал пары порождающих элементов для всех конечных простых групп лиева типа. Существование пар порождающих элементов, один из которых — инволюция, для спорадических простых групп вытекает из результатов М.Ашбахера и Р.Гуральннка [13] (1984 г.).
Выше перечисление работы главным образом были посвящены решении» следующих двух проблем.
(А1) Bcjsnns ли конечная простая песбелева группа порождается двумя'элементами ?
(А2) Всякая ли кожчная простая пеабелева группа порождается двумя элементами, один из которых —- икаолюция
Классификационная теорема о конечных простых группах утверждает, что они Есчердыпаются следующими группами: циклические группы простого иорздка, знакопеременные группы, группы лиева типа пал конечными полями п 26 спорадических групп. Таким образом, в указанных выше работах ^ положительно решается нроблема (А1).
Проблема (А2) была решена Г.Мяллером |33] для знакопеременных групп, А.Альберхом п Дж.Тоипсопом {11] для PSL„{q), Т.Румом {35], Т.Румом в Р.Смитом {34] н ІіСтєиаком [37] для Р5^п(<г), М.Ашбахе-ром п Р.Гуральнпком [13] для спорадическихгрупи, и также частично решена для некоторых других линейных классических групп, см. обзор Л. Дп Мартиио п М.Тамбурпдп {18]. В.М.'Дсвчук {4, 5] описал с точностью до равенства все подгруппы-линейных групп степепп < 3 над конечными полями-, содержащие заданнуга диагональную матрицу, в частности, это описание позволяет просто выбирать пары порождающих элементов, один-из которых — шшолюция, для указанных групп.
В силу известного результата У.Фейта п Дж.Томпсояа любая конечная группа нечетного порядка разрешима. Поэтому конечная простая неабелева группа содержит -шнюпюшш н порождается любым классом сопряженных идзоптоопа. Каково минимальное число яшк>-люддй (необязательно сопряженных), поролідакацнх конечную простую шабслеву груцпу? Б 1978 г, А.Вагпср {47] заметил, что для группы PSi/j(9) опо равно 4. Естестишвд возникает следующая проблема.
(B1) Какие конечные простые группы по}ЮШдаютс9 трем*'.инволюциями ?
Порождающие троіщп пнводюдщі ковечныгх простых групп Оыля предметом ксоіедо:іаЕпя imonrx авторов.. Г. Миллер {?3] 'наш ел такие порождаголшз для :шакоперемеппых групп, Ф.Далла Волъхд [15] — для спорадических групп п сорп.т работ была посвящена репіеіпчо проблеми (В1) длл некоторых тагиешгых кпассцческігх груші, or. обзор {IS], где обсуждается состояние этой прірлямн.
В 1980 г. В.Д.Мазуров поставил следующий подрос ("Коур<>з<кпд тетрадь", вопрос 7.30):
(В2) Какие конечные простые группы порождаются гнремд иипо-люциями, две из которых перестановочны !'
Из положительного рещеїшя проблемы (В2) следует положительное решение пробяег.ш (Л2) (и, конечно, проблеми (В1)). Тройки поропсдатощпХ гагволюпий; две из которых перестановочны, представляют интерес, как отмечает В.В.Яісовлст», также п связи с вопросами решеточной определйемостя простых групп.
Отмствк, что в елассачеегдл; р?.оатг>х Б.Фгапера [?0, 21, 22] о р-тршіспозіяшЬс фиш исследовали конечные абстрактные группы; по*-рожденные'сояржкешгым классом штсоліодші с'определенными, свойствами, и па этом пути биті получены новые просткй группы.' Эти последователя былп продолжены М.Ашбахсром |12]п Ф.Тнммесфельдем [39, 40, 41],'которые охэрактнзозалп значительную часть Еявесттхх кечечішх простих групп я ТРріППіаХ УМро:КДй»1ГЕГХ ггпеояюнпй.
В цосяедяпз годи ггруг проблем it задач о порождающих эленеп-тах конечных простых групп яаметчо расспгарплся, в значительной степени, п связи с приложениями. Ярким примером здесь служит par бота Г.В.Белого [1], п которое следующая хорошо известная проблема сведена для хопечппх простых групп а блпзшгх к нем к пахозздешпа пары порождающих элемеятоа с определенными свойстиами.
. (СІ) (Обратная задала теории Галуа)Белкам ли конечном группа может быть реализована как группа Галуа над полем рациональных чисел f
В 1954 г. Н.Р.Шафаревпч [10] решил обратную задачу' теорпп Галуа дня разрешимых групп. Для конечных простых пеабелевых груїш (положительный) ответ получен только для знакопеременных , групп (Д.Гпльберт, 1892 г., (25]), для спорадических групп (исключая _ группу Матьо Мгз), для некоторых классов групп лиева типа еяд простым полем GF(j)) с дояолгаггельншш ограничениями па простое число р и для Р5Хг(р2)» р з ±2(raod5). Достаточна подлый обзор результатов можно пакта в статье {9} (см. также [21], стр. 11-13).
Последние достижения в решении обратной задачи теории Галуа главным образом связаны с методом, дредяохсеппым Г.В.Велым [1] в 1979 г., а затеи развитым М.Фрядом [23J, Б.Матцатом {31, 32] п Дж.Тоішсопоіі [43], который сейчас обычно называется методом жесткости.. В действительности, этот метод позволяет устанавливать более сильное утверждение, чем требует (классическая) обрат-пая задача теории Галуа. А именно, он позволяет решать следующую проблему.
(С2) (Усиленный вариант обратной задачи теории Галуа) Всякая ли кояечкаг группИ «смет быть реализована гсак группа Галуа некоторого регулярного расширена? Галуа коля рациональных функций над полем рщиоіїальпих чисел ?
Метод жесткости детально обсуждаете? в статье Ж.-П.Серра [9], где таклес указал еппсех: групп для которых ЕроОлсиа (С2) решена.
Цель работы. Ссповиые результаты работы связаны, главный образом, с решением проблем (А2), (Ш), (82), (СІ), (С2).
Общая методика исследований. Прсмевяются методы теории rpjnn п теории Галуа.
',!. tb.
і .,-. >',") і'
і і J , '1
:і-"і .()'>, ' -.Г