Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расширения полуколец
1. Исходные определения и примеры 16
2. Расширения полуколец 21
3. Объединение кольца и полутела 25
Глава 2. Строение полукольцевого дизъюнктного объединения
4. Строение кольца 30
5. Строение полутела 47
6. Единственность полукольцевого дизъюнктного объединения 56
Глава 3. Свойства полукольцевого дизъюнктного объединения
7. Гомоморфные образы RUU 60
8. Конгруэнции на полукольцевом дизъюнктном объединении 64
9. Полукольца с обратимой суммой обратимых элементов 78
Литература 85
Предметный указатель
- Расширения полуколец
- Строение полутела
- Единственность полукольцевого дизъюнктного объединения
- Конгруэнции на полукольцевом дизъюнктном объединении
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению полукольцевых дизъюнктных объединений колец и полутел - класса полуколец с единицей, состоящих из непересекающихся кольца и полутела.
Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и является активно развивающимся разделом современной алгебры. Пример полукольца идеалов кольца с операциями сложения и умножения идеалов можно найти уже в работе Дедекинда [34]. Теория полуколец находит применение в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, дискретной математике, теории оптимального управления и других разделах математики [16, 36, 38]. Ей посвящены монографии Голана [36, 37], Хебиша и Вайнерта [38]. Обширный библиографический список по полукольцам представлен в обзоре Глазека [35]. Отметим работы российских математиков: Е.М. Вечтомова [6, 7], И.И Богданова [3, 4], А.Н. Семенова [20, 19], В.В. Чермных [31, 32], С.Н. Ильина [12, 13], О.В. Старостиной [24, 25]. Систематическим изучением полуколец непрерывных функций занимаются Е.М. Вечтомов и его ученики. Результаты их исследований отражены в кандидатских диссертациях [21, 17, 18, 33].
Впервые строгое определение полукольца дано Вандивером [40].
Полукольцом называется алгебра (5, -+-,-,0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения . При этом (5,+,0) - коммутативный моноид, (S, ) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0 s = s 0 = 0 для любого элемента s из S. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полу телом с нулем. Если из полутела S с 0 исключить 0, то получим структуру
(5, +, }, которую будем называть полутелом.
Класс полуколец содержит такие хорошо известные алгебраические объекты как ассоциативные кольца, ограниченные снизу дистрибутивные решетки, ряд числовых систем, а также полутела с нулем. Для получения новых классов полуколец естественным является исследование полуколец, сводящихся к указанным типам полуколец: кольцам, ограниченным снизу дистрибутивным решеткам и полутелам с нулем. В [36] дается описание полуколец, являющихся подпрямым произведением некоторых кольца и дистрибутивной решетки. Работы [8, 10, 24, 25] посвящены изучению абелево-регулярных положительных полуколец, строение которых однозначно определяется дистрибутивной решеткой идемпотентов L(S), полутелом обратимых элементов U(S) и каноническим антигомоморфизмом L(S) —> ConU(S), где ConU(S) - решетка конгруэнции полутела U(S).
Важным подходом к исследованию структуры полуколец является представление полуколец в виде расширений полуколец из более хорошо изученных классов.
Полукольцо S называется 0-расширением полукольца К с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция р, что К = [0]р и S/p = Т. Полукольцо S с единицей называется 1-расширением полукольца К, возможно без нуля, с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция а, для которой S/o~ = Т и К = [1]а.
Е.М. Вечтомов в [5] доказал, что любое полукольцо S является 0-расширением кольца с помощью положительно упорядоченного полукольца. Любое абелево-регулярное положительное полукольцо S является 1-расширением полутела обратимых элементов U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки [8]. В работе А.Н. Семенова [20]
доказано, что всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела.
Полукольцо S с единицей (1^0) назовем 0-1-расширением полукольца К и полукольца Р, возможно не имеющего нуля, при помощи полукольца Г, если на S существует конгруэнция р такая, что S/p = Т, [0], ~Кя [1]р - Р.
Мы рассматриваем 0-1-расширения кольца и полутела, в которых роль класса нуля конгруэнции играет некоторое кольцо І?, а роль класса единицы - некоторое полутело U. Для выяснения структуры таких 0-1-расширений необходимым является изучение полукольцевых дизъюнктных объединений.
Полукольцо S с мультипликативной единицей 1 назовем полукольцевым дизъюнктным объединением кольца R и полутела U и обозначим R(jU, если оно является объединением своих непересекающихся подмножеств r(S) = {reS:3te5,t + r = 0}H [/(5) = {и Є S : 3v Є S, uv = vu = 1}, причем r(S) = R и U(S) ^ U.
В работе развита структурная теория полукольцевых дизъюнктных объединений, которая позволяет решать конкретные вопросы о свойствах полуколец из этого класса. Основными результатами диссертации можно считать следующие:
Строение полукольцевых объединений сведено к строению полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела (замечания 3.6, 3.7).
Приведены определяющие свойства колец, для которых существуют нетривиальные дополнения до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 4.1).
Дано характеристическое свойство полутел, для которых существует нетривиальное дополнение до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 5.1).
Для колец построены всевозможные полутела, допускающие полукольцевые дизъюнктные объединения с этими кольцами (свойства 4.1, 4.8, предложения 4.2, 4.3, теорема 4.3).
Для полутел построены все кольца, допускающие с ними полукольцевые дизъюнктные объединения (теорема 5.2, предложение 5.2).
Приведен пример кольца R и полутела U, для которых существуют неизоморфные полукольцевые дизъюнктные объединения (предложение 6.2, теорема 6.1).
Доказана модулярность решетки конгруэнции полукольцевого дизъюнктного объединения (предложение 8.2). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов кольца R и дистрибутивность решетки конгруэнции полутела U влекут дистрибутивность решетки конгруэнции R(JU(предложение 8.3).
Диссертация состоит из трех глав, разделенных на девять параграфов, и списка литературы.
Расширения полуколец
Важным способом образования новых полуколец является построение расширений полуколец. Приведем основные факты о расширениях колец и полу те л. Определение 2.1. Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца R с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция /9, что К = [0]р, и S/p = Т. В следующем определении полукольца не обязательно содержат нулевой элемент. Определение 2.2. Полукольцо S называется 1-расширением полукольца К с 1 , с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция сг, для которой 5/(7 = Т и [1]а = 1т Замечание 2.1. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела [19]. Замечание 2.2. Любое полукольцо S является О-расширением кольца, изоморфного г(5), с помощью положительно упорядоченного полукольца [5]. Замечание 2.3. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал r(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S [5]. Замечание 2.4. Для полукольца 5 с 1 факторполукольцо S/a(r(S)) является полутелом с нулем тогда и только тогда, когда r(S) есть максимальный односторонний идеал полукольца S.
Доказательство. Если Т = S/cr(r(S)) - полутело с нулем, то в нем нет несобственных односторонних идеалов, поэтому идеал г(S) является максимальным в S. Обратно. Пусть г (S) максимальный правосторонний идеал в S. Для произвольного элемента а Є Т рассмотрим множество аТ. Очевидно, аТ = Т, поэтому существует такой элемент Ь Є Г, что ab — 1т- Значит, каждый элемент полукольца Т кроме нуля обратим справа, а следовательно обратим. Таким образом, Т - полутело. Случай с левосторонним идеалом аналогичен. Замечание 2.5. Для существования 1-расширения полукольца К с помощью полукольца Т необходимо и достаточно, чтобы Т было идем-потентным полукольцом с 1.
Абелево-регулярным положительным полукольцом, называется положительное, регулярное (в котором для каждого а Є S существует такой элемент х Є S, что аха = а) полукольцо S, каждый идемпотент е (е2 = е) которого коммутирует с любым элементом из S. Замечание 2.6. Любое абелево-регулярное положительное полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/p, где р - конгруэнция на S такая, что арЬ означает aU(S) = bU(S) [8]. Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. Определение 2.3. Полукольцо S назовем 0-1-расширением полукольца К и полукольца Р, возможно не имеющего нуля, при помощи полукольца Т, если на S существует неединичная конгруэнция р такая, что S/p Т, [0]р S К, [1}р Р. Предложение 2.1. Пусть некоторое полукольцо S является объединением полутела U и кольца R и R Г) U = 0. Тогда S есть 0-1-расширение кольца R и полутела U при помощи двухэлементной цепи Доказательство. Докажем, что в полукольце S справедливо г-{-и Є U, ги Є R для любых элементов г R, и Є U. Предположим от противного, что и + г = Г\ Є R. Тогда и = —г + г\ Є R. Противоречие. Предположим, что иг = и\ Є U, тогда по дистрибутивности щ -\- u(—r) = 0. Элемент и(—г) лежит в R, поскольку сложение замкнуто в U. Но тогда u\ = —u(—r) Є R. Противоречие. Осталось рассмотреть отношение р, определяемое правилом Sips2 = Si, S2 Є R или Si,S2 Є U. Очевидно, р - конгруэнция на 5, S/p = L2, lsp = U, 0sp = R. Предложение 2.2. ДАЯ кольца R и полутела U эквивалентны следующие условия. 1) существует 0-1-расширение R uU при помощи некоторой (равносильно, любой) неодноэлементной ограниченной дистрибутивной решетки L; 2) существует 0-1-расширение R и U при помощи L2. Доказательство. 1) =Ф- 2). Пусть S - полукольцо, на котором существует такая конгруэнция р, что S/p = L, [0]р = R, [1]р = U. Тогда в качестве 0-1-расширения R и U при помощи 1/2 можно взять подполу-кольцо в 5, равное [0]р U [1]р. 2) =Ф 1). Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом 7, более того, L\I - дуальный идеал. Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (г, г), г Є /, г Є R и (I, и), І Є L\I, и Є U с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты как аксиомы решетки и правой координаты, что следует из существования 0-1-расширения R и U при помощи 1/2- Если в качестве конгруэнции р Є ConS выбрать отношение равенства первых координат, то 0 /р = R, ls/P — U, S/p = L, что завершает доказательство. Таким образом, для существования 0-1-расширения кольца R и полутела U необходимо и достаточно, чтобы существовало полукольцо S, являющееся объединением кольца К = R и полутела Р = U.
Строение полутела
Приводится описание колец для данных полутел. Полутело U является зероидным тогда и только тогда, когда на нем нет сократимых конгруэнции кроме единичной, то есть таких конгру энций j, для которых (и + W) J(V + w) = uav при любых u,v,w Є U [29]. Кольцом разностей T(U) полутела U называется факторалгебра U х U/ ft, где на множестве U х U рассматриваются покоординатное СЛОЖеНИе И умножение (щ, щ) (w\, UI2) = ( 11 1 + U2W2, U1W2 + 2 1)) а конгруэнция ft определяется соотношением (иі, гі2) К, ги2) 3 Є U,u1-\-w2-\- z = u2 + Wi-\- z[36]. Теорема 5.1. Полутело U входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с некоторым ненулевым кольцом тогда и только тогда, когда оно не является зероидным. Доказательство. Если RUU для некоторого кольца R, то на U существует сократимая неединичная конгруэнция, фактор по которой лежит в D(R). Поэтому U не является зероидным. Обратно. Пусть полутело U не является зероидным, рассмотрим на нем сократимую неединичную конгруэнцию = и фактор U/ =. Поскольку U/ = - сократимое полутело, оно обладает нетривиальным кольцом разностей T(U/ =). Существует инъективный гомоморфизм / : U/ =- T(U/ =). Докажем, что кольцо К = {qx Є (T(U/ = )И)/(2)} входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с U (полагаем, что переменная х коммутирует с элементами кольца К)). Зададим операции на К U U. Сложение и умножение внутри кольца и полутела оставим неизменными. Для элементов и Є /7, tx Є К. Положим, и + tx — и,и tx — f(u) tx,tx и — t f(u)x. Очевидным образом проверяются полукольцевые законы. Теорема доказана.
Вначале дадим описание колец, входящих в полукольцевое дизъюнктное объединение S = RUU с данным полутелом U при дополнительном условии, накладываемом на полукольцо S : a + b = a b = 0. ( ) Полученный класс колец поможет описать и всевозможные кольца, входящие в полукольцевое дизъюнктное объединение (без дополнительных ограничений) с данным полутелом U. Рассмотрим фиксированное незероидное полутело U. И пусть для некоторого ненулевого кольца R существует полукольцо S = RUU. Предположим далее, что в S выполняется импликация а + Ъ = а = а = 0. Пример 5.1. Если RUU для некоторого полутела U и кольца R такого, что AnnR = {0}, то выполняется условие ( ). Действительно, пусть условие ( ) не выполняется, тогда существует такой элемент г Є -R, не равный 0, что 1+г = 1. Домножив это равенство на любой элемент t G R справа, и сократив на , получим tr = 0. Также rt = 0. Поэтому г Є AnnR. Определение 5.1. Ядро К полутела U назовем кольцевым, если выполняются следующие условия: 1) Ми Є UVk Є K3t eKku + l = u + t, 2) Vu Є LA/fci, k2 Є К (hi + u = k2 + u = k± = k2). Из определения следует, что элемент t в первом пункте определяется однозначно, а также выполняется условие: У и Є UM к Є K3t Є К и + к = tu -+-1. Заметим, что из нормальности мультипликативной группы ядра К следует, что \/и Є IPs/к Є КЗН є К uk + l = u + t, Vw Є U\/k Є КЗН є К u + k = ut+l. Кольцом разностей T(U) полутела U называется факторалгебра U х U/ , где на множестве U х U рассматриваются покоординатное СЛОЖеНИе И умножение ( 1,1 ) (u i,U 2) = ( 1 1 + U2W21UiW2 + W2W7i),a конгруэнция определяется соотношением {иъи2) (wi,w2) 3z Є U, щ + w2 + z = и2 + гУі + z. Легко видеть, что T(U) - кольцо с 1, и отображение h : U — T(U), h(u) = (и + 1,1), сохраняет операции сложения и умножения. Лемма 5.1. Любое кольцевое ядро ишективно вкладывается в T(U) при гомоморфизме h. Действительно, если для некоторых &і,&2 Є К выполняется {k-y + 1,1) = (&2 + 1Д), то существует элемент и Є U, для которого к\ + (1 + 1 + и) = к2 + (1 + 1 + и), откуда к\ = к2 по условию 2. Предложение 5.1. Если К - кольцевое ядро полутела U, то h(K) = 1 + / для некоторого идеала I кольца T(U) такого, что имеет место IOU с условием ( ). Доказательство. Сначала докажем, что / = {(&i, 2) ki,k2 Є К} - идеал в T(U). Пусть &і,&2 Є К я и Є U. Тогда (икі,ик2) Є І. Действительно, поскольку К - кольцевое ядро в /, то (uki,uk2) = (uki + 1, uk2 + 1) = {и + 1, w + 2) = ( 1) 2) для некоторых элементов ti,t2 є /с. Далее, пусть /1,/2, 1,777,2 Є К Докажем, что элемент s = (/1,/2) + (7711,777.2) лежит в /. В самом деле, s = (/1 + 7771 + 1,/2 + 777,2 + 1) = (i2 + 1, S22 + 1) для некоторых элементов 5i,52 из К. Поэтому S = (pi + 2,p2 + 2) = (ръРг) Для соответствующих рі,р2 Є К. Значит, I -идеал кольца T(U). Для любого элемента к Є К его образ (1 + к, 1) лежит в 1+І", откуда h(K) С 1+І". Обратное включение. Пусть &І7 &2 - элементы ядра if. Тогда (1 + к\, к2) — (1 + k2k2 lki, к2) = (к2 + rj, fc2) для соответствующего t Є if. В свою очередь, (к2 + , ) = (t + 1,1) = fo(), и значит, /г.(if) Э 1 + і. Докажем, что ійЛ Заметим, что для каждого элемента і Є I существует единственный элемент кі Є К, для которого h(k{) — 1 + i. Между элементами г Є I и и Є U зададим операции сложения и умножения следующим образом: і и = ih(u),u г = h(u)i] і и = tu,tu + 1 = и -\- к{ Такое t Є К единственно в силу определения кольцевого ядра. Проверим полукольцевые законы. Полагаем далее, что s, Si, S2 Є К, и, щ,и2 Є U,r,te I. Ассоциативность умножения очевидна. Ассоциативность сложения: [и г) t = s2siu, где s2Si« + 2 = и + Также и (г ) + 2 = su + 1, где sw + 1 = и + kr+t. Поскольку kr+t + 1 = kr + fct, то Sis2u + 2 = six + 2, по это означает, что sis2u = sit. Также (iti u2) г = s(ui + it2), где s(ui + u2) + 1 = Щ + w2 + &r. Затем ТІЇ 0 (u2 r) = wi + siix2, где iti + siu2 + 1 = щ + w2 + kr. Поскольку s(ui +и2)(щ -hsiu2) 1 Є К и элементы Si(ui +щ) И Щ -hSiU2 уравниваются 1, то они равны. Дистрибутивность. Дистрибутивность вида г g) (ui 0 и2) = г g щ ф г (8) «2, (гі ф r2) = и ф Ті ф и g г2 и У {ui ф гі) = г «і ф г g) wi очевидна (достаточно рассмотреть гомоморфные образы этих элементов при гомоморфизме h). Рассмотрим оставшийся случай: и\ (u2r) = Ui(u2r) = uiSiU2, где Siw2 + 1 = U2 + kr. Прибавим к выражению U\SiU2 элемент ггі + 1. Получим Ui(u2-\-kr) + l — uiU2-\-Uikr + 1. Рассмотрим элемент щи2 Ф 1{щ)т. Он равен S2U1U2, где 82ЩЩ + 1 = W!W2 + /(ui)r ПрибаВИВ К S2Wili2 Элемент 1 + 1, ПОЛуЧИМ S2WiW2 + Wi + l = ІІХІІ2 + fc/(Ul)r + «.
Докажем, что элементы Wifcr + 1 и &/i(ul)r + w уравниваются некоторым элементом из U. Для этого рассмторим гомоморфные образы этих элементов при гомоморфизме h: h(uikr + 1) = h(ui)h(kr) + 1 = h(ui)(l + r) + l = ui + l + h(ui)r; Н(кциі)г + щ) = 1 + h(ui)r + h(ui). Как видим, они совпадают, поэтому сами элементы уравниваются некоторым элементом z Є U : UiSiu2 + и + 1 + z = S2U1U2 + и + 1 + z. Откуда, U1S1U2 — S2U1U2. Правая дистрибутиность проверяется аналогично. В полукольцевом дизъюнктном объединении lull выполняется условие ( ). Действительно, пусть і Є I, тогда гфі = к-1, где к-1 + 1 = 1 + . Из определения кольцевого ядра следует, что к — ki. Если к — ki = 1, то h(ki) = h(k) = h(l) = От(и) — Предложение доказано. Теорема 5.2. Кольцо R входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с данным полутелом U с условием ( ) тогда и только тогда, когда оно изоморфно идеалу 1 — h(K) кольца разностей T{U) для некоторого кольцевого ядра К. Доказательство. В предложении. 5.1 было доказано, что для любого кольцевого ядра К множество 7 = 1 — h(K) является идеалом в T(U) и IUU. Обратно. Пусть S = RUU и в полукольце S выполняется условие ( ). Достаточно доказать, что 1 + Д С U - кольцевое ядро. Нетрудно видеть, что множество l-\-R является классом единицы конгруэнции О", которая определяется следующим образом: щсгщ Ф Эг Є R, щ + г = и2. Докажем, что ядро 1 + R - кольцевое. Действительно, пусть г Є R,u Є U, тогда в силу (1+г)п+1 в и+(1+ги), получим условие 1). Аналогично, равенство (и+г)+1 = (1-\-и 1г)и+1 дает условие 2). Пусть для Гі, г2 Є R и u,w Є U выполняется {l-\-r\)u + w = (l-\ r\)u + w, тогда и + w + rxu = u+w-\-r2U, что равносильно равенству 1+Гігі(гі+ги)-1 = l-\ r2u(u+w) 1, откуда г\и(и + ги)-1 = г2и(и + ги)-1, а значит г і = г2.
Единственность полукольцевого дизъюнктного объединения
Существуют кольцо R и полутело U, имеющие различные полукольцевые дизъюнктные объединения RUU. Таким образом, RU U с новыми операциями является полукольцевым дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм /:u4 и\/и Є U; г н- (1 + ) ггУг Є І2. Причем, /д:г4(1 + i) lr(yr Є R) - автоморфизм R. Действительно, для каждого элемента г имеется свой праобраз (1 + t)r, для любых 7 i, г2 Є R справедливо равенство (1 + )т іг2 = гіг2 и, следовательно, выполняются тождества: /Д(П+Г2) = (1 +І)-\Гі+Г2) = (1 + )-4 + (1+ - 2 = fR(n)+fn{r2), (1 + і)-\Гі r2) -(1 + t) \l + )- r2), Поэтому в виду коммутативности полукольца /я(гі 7 2) = /л(гі) /д(г2). Поскольку при отображении / кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм построенных полуколец вытекает из тождеств: Уив UVr Є R f{u + r) = u + r = и +(1 +t)(l + )-1r = = tt + (1 + t)_1r + t(l + t)-V - /(и) Є /W; Vw e tfVr Є Rf(ur) = (1 + -V = w(l + t)_1r = f(u) /(r). Предложение 6.2. Прямое произведение UxF, где F - произвольное полутело и RUU, входит в полуколъцевое дизъюнктное объединение с R. Доказательство. Очевидно, множество U х F является полутелом. Пусть (г , /) + г = (г + г, /), (и, f)r = иг, г (и, /) = ГТА, г Є R. Для того, чтобы удостовериться, что RU{U х F), достаточно проверить выполнение дистрибутивного закона слева на RU(U х F), выполнение остальных полукольцевых законов очевидно. Здесь может быть 4 случая. 1) (и, /)(гх + г2) = и(гг + г2) = игг + иг2 = (и, /)п + (и, /)г2; 2) К Л (Г + («ь/і)) - («,/)(«! + Г,/і) - (МГ + ««!,//!) = К/V + ( /)( i,/і); 3) r((u, /) + («і, /і)) = г (и + u1} / + /і) = r(u + г і) = ru + rwx = = r(u,f) + r(tti,/i); 4) г((гі, /) + гі) = r(n + ri, f) = ru-\- rri = r(u, f) -f rri. Теорема 6.1. Существуют два неизоморфных полукольцевых дизъюнктных объединения некоторых кольца R и полутела U.
Доказательство. В качестве кольца, входящего в полукольцевое дизъюнктное объединение возьмем /І(0) - монаду нуля нестандартного расширения кольца действительных чисел. В качестве полутела - прямое произведение С = (Q+ -f- (0)) х (R+ + /І(0)), где R+ - полуполе всех положительных действительных чисел. Поскольку И Q+ -f- /i(0) и R+ + и(0) являются полутелами, составляющими с /х(0) полукольцевое дизъюнктное объединение, операции между С и ju(0) можно задать двояко: (а, 6) + г = (а, 6 + г), (а, Ь)г — 6г, определяют fi(Q)(j\C, либо (а, Ь) + г = (а + г, 6), (а, 6)г = аг, определяют (0)U2C. I Покажем, что два полученных полукольца неизоморфны. Предположим, существует изоморфизм / : //(O)UiC - (0)U2C. При этом /(С) = С, /( (0)) = /І(0). Имеем, Да, 2)2 /(г) = /((а, /2)2г) = /(2г) = 2/(г), для а Є Q+ + / (0), г Є /tz(0). Иными словами, в полутеле существует элемент, квадрат которого удваивает элементы /І(0) в /i(0)U2C, но это не так, поскольку квадрат любого элемента здесь действует как сумма квадрата рационального числа и бесконечно малого элемента. Значит, //(O)UiC и //(O)UiC не изоморфны.
Можно обобщить полученный пример, указав кольцо и полутело, для которых существует бесконечно много попарно неизоморфных полукольцевых дизъюнктных объединений. Глава 3. Свойства полу кольцевого дизъюнктного объединения
Эта глава посвящена свойствам полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела. В ней дается описание двух гомоморфных образов полукольца S = RUU. Изучается решетка конгруэнции S. Рассматриваются полукольца, близкие по своему строению к полукольцевым дизъюнктным объединениям.
В кольцах построение нижнего ниль-радикала не зависит от выбора на каждом этапе тривиальных идеалов (идеалов с нулевым умножением) [1]. В любом случае их объединение можно получить как объединение трансфинитной цепочки идеалов (0) = Щ С 77i С 772 ... С 77« С . . . , в которой идеал 77Q+i выбирается так, что сумма всех нильпотентных идеалов кольца R/rja равна r)a+i/r)a, а для предельных ординалов а выполняется равенство г}а — \Jr)p,a (3. Аннулятор любого кольца с этой точки зрения также является тривиальным идеалом.
Пусть дано полукольцевое дизъюнктное объединение S = RUU кольца R и полутела U. И пусть Є ConU - конгруэнция одинакового действия элементов U умножением на элементы кольца R (свойство 4.1). Рассмотрим гомоморфизм F\ : S — D(R), переводящий полутело U в [// , кольцо R в R/AnnR (свойство 4.5). Гомоморфный образ S при гомоморфизме F\ является полукольцевым дизъюнктным объединением Si — (R/AnnR)(j(U/ ). Если рассмотреть множество двусторонних модульных эндоморфизмов кольца R/AnnR — R/ji и гомоморфизм F2 : Si —У D(Rf yi), то получим, F2Fi(U)0R/j2- Восходя по трансфинитной цепочке, получаем полутело F(U) = ... Fa ... F2Fi(U), находящееся в полукольцевом дизъюнктном объединении с кольцом R/f;(R).
Таким образом, для каждого дизъюнктного объединения UUR существует F(U)UR/t;(R), в котором кольцо R/t;(R) имеет нулевой аннулятор. Проведем еще одно такое преобразование h : F(U)GR/(R) — D(R/(R)), переводящее R/(R) в R/(R), F(U) в сократимое полутело hF(U), в котором все элементы по разному действуют умножением на R/(R). Заметим, что какими бы не были исходные U и R} даже если R изначально не имеет аннулятора, при гомоморфизме / = hF полутело f(U) сократимо, в нем нет двух различных элементов, которые одинаково действуют умножением на f(R)- Кольцо f(R) радикаль но по Джекобсону, его аддитивная группа делима и Annf(R) — {0}. При дальнейшем рассмотрении кольца двусторонних модульных эндоморфизмов f(R) эти структуры остаются неизменными, само кольцо модульных эндоморфизмов не меняется. Описание следующего гомоморфного образа RUU связано с другой конгруэнцией на этом полукольце. Предложение 7.1. Пусть R ф AnnR, тогда отношение i; которое задается правилом a i Ь ФФ- riar2 = Ti6r2 Wi, г2 Є R, является конгруэнцией на полукольце RUU, а ее суэюения являются конгруэн-циями на R и на U.
Доказательство. Докажем, что элемент полутела не может находиться в одном классе конгруэнции i с элементом кольца. Пусть для некоторых и Є U,r Є R и для любых Т\, г2 Є R выполняется Т\-т-Тч = г\-и-Г2- Что эквивалентно равенству г\{и—г)r2 = 0. Поскольку R ф AnnR, то найдется пара элементов іІ5 і2 из R таких, что їх-ї ф 0. Тогда подставив вместо г і элемент t\, а вместо г2 элемент (г — г)-12, получим 0 = t\{u — г)(и — r)-12 = t\2- Противоречие. Поэтому отношение i замкнуто в кольце и в полутеле. Если a i Ъ и с i d, то для любых Гі, г2 Є R выполняется Гіаг2 = ri6r2 и Гіг2 = ric/r2 и из дистрибутивного закона следует, что ri(a 4- с)г2 = г\(Ъ + d)r2, отукда (а + с) j (6 + d). Также, ri(a)r2 = Гіа(г2) = ri&(cr2) = (rib)cr2 — (rib)dr2 = ri(bd)r2, откуда ас i &d Очевидно, сужение і на кольце является конгруэнцией. Класс нуля в Д по i - идеал J, состоящий из таких элементов г, что Т\ТТ2 — 0. для любых 7 1, г2 из R.
Конгруэнции на полукольцевом дизъюнктном объединении
Пусть а - конгруэнция полукольца S — RUU. Обозначим через 7# {о и) сужение конгруэнции а на кольце R (на полутеле U). Очевидно, тд - кольцевая конгруэнция, GJJ - конгруэнция полутела U. Лемма 8.1. Если а - конгруэнция на полукольце S = RUU такая, что иаг для некоторых и Є U и г Є R, то а является единичной конгруэнцией. Доказательство. Пусть существуют и Є U,r Є R, для которых выполняется [и]а = [г]а. Тогда для любого элемента и полу тел a U справедливо для некоторого элемента t из кольца R. Следовательно, S/a = R/ац. Заметим, что фактор-кольцо R/crR, как и кольцо R, является радикальным по Джекобсону. Кроме того, поскольку S/a = R/o-ft , то R/CTR содержит единичный элемент. Но единственное радикальное по Джекобсону кольцо, содержащее единичный элемент - это тривиальное кольцо. Следовательно, S/a = R/CTR = 0, что и требовалось доказать. Лемма 8.2. Для произвольных конгруэнции х,у Є ConS полукольца S = RUU справедливо х\/ у = х о у = у о х. Доказательство. Докажем, что конгруэнции х, у на S перестановочны. Если одна из конгруэнции равна Icons, то х о у = у о х. Пусть Ф lconS У Ф Icons и Для некоторых элементов si, S2 из полукольца S. Тогда существует элемент s3 из S такой, что siS3 и S3XS2. Из леммы 8.1 следует, что Si, S2, S3 Є U или si, S2, S3 Є U. Следовательно, SI(XR О yR)s2 или Si(xu о yu)s2: но поскольку на кольце и полутеле любые конгруэнции перестановочны, то Si(yuxu)s2 или S\{JJROXR)S2 значит si(yox)s2, откуда х о у = у о х. Из перестановочности конгруэнции на S следует, что х\/ у = х о у = у о х [14].
Доказательство. Решетки конгруэнции полутела U и кольца R ввиду наличия в них групповой операции, являются модулярными [14]. Для произвольных конгруэнции полукольца точная нижняя грань совпадает с их пересечением. Учитывая лемму 8.2, достаточно доказать, что х С z влечет х о (у U z) D (х V у) Л z для любых x,y,z Є ConS. Заметим, что из х С z следует XR Я Ук и хи Q Уи- По предложению 8.1 для любых конгруэнции х, у из ConS выполняются равенства (хоу)и = (хцоуи) и (xoy)R = (xRoyR). Имеем хцо уиПги) D (хцоу Пги и XR О (у R П ZR) D (XR О yR) П zR. Значит, (жо(/П z))v D ((x о у) П z)v и (ж о (tj П Z))R D ((x о г/) П Z)R. Пусть s\{x о (г/ П z))s2 для некоторых 5i,S2 Є - Если одна из конгрунций х, у или z является единичной, то модулярный закон выполняется. Если конгруэнции х, у, z неединичные, то из леммы 8.1 следует, что si,S2 Є R, либо Si,S2 Є U. В этом случае модулярность решетки ConS сводится к модулярности ConU и модулярности решетки IdR идеалов кольца R. Предложение 8.3. Если решетка конгруэнции полутела U и решетка IdR идеалов кольца R дистрибутивны, то решетка конгруэнции полукольца RUU таксисе дистрибутивна. Доказательство. Пусть решетки ConU и IdR дистрибутивны. Докажем, что для любых х, у, z из ConS выполняется равенство xD(yoz) = [х П у) о (ж П z). Если среди конгруэнции x,y,z нет единичной, то равенство выполняется по тем же соображениям, что и в предложении 8.2. Если х — Icons, У = Icons или z — Icons, то равенство очевидно. Замечание 8.1. Пусть S = ROU. Для того чтобы доказать произвольное неравенство термов в решетке конгруэнции S, достаточно доказать его для решетки конгруэнции кольца R, решетки конгруэнции полутела U и рассмотреть все случаи, когда одна из конгруэнции в неравенстве является единичной. Положим S = RUU. В предложениях 8.4 и 8.6 дадим характеристику идеалов кольца R и ядер полутела U, конгруэнции по которым соответственно на кольце и полутеле продолжаются др конгруэнции на S. Определение 8.1. Пусть S = RUU. Назовем идеал / кольца R допустимым, если SIS = I. Очевидно, произведение, пересечение и сумма допустимых идеалов - вновь допустимый идеал. Поэтому допустимые идеалы образуют подрешетку в IdR. Обозначим ее IdsR. Предложение 8.4. Пусть дано полукольцо S — RUU. Конгруэнция GR кольца R тогда и только тогда продолжается до полукольцевой конгруэнции на S, когда ее класс нуля является допустимым идеалом. Доказательство. Если [0}aR Є IdsR, то [0]aR - полустрогий идеал в S. Рассмотрим на S конгруэнцию Берна а по [0]aR- Ее сужение на R совпадает с GR. Обратно. Если конгруэнция aR на R продолжается до конгруэнции а на S, то [0]стл = [0]а. Поэтому класс нуля выдерживает умножение на элементы полукольца S, а значит, является допустимым идеалом. Предложение 8.5. Пусть S = ROU. Если кольцо R содержит непулевой элемент, коммутирующий со всеми элементами R, то существует идеал I С R, не являющийся допустимым. Доказательство. Предположим, существует ненулевой элемент а Є R, коммутирующий со всеми элементами R. Рассмотрим главный кольцевой идеал (а) = Ra + Ъа. Докажем, что а не содержит элементы вида -а, где п - натуральное число, большее 1. Это будет означать, что (а) не является допустимым, поскольку U содержит Q+. Предположим противное: -а Є {а),п 1. Это значит что существуют целое число т и элемент г из Д такие, что та + га = -а. Умножим равенство на п и перенесем а в левую часть. Тогда тпа — а + пга = 0. Если т Є N, то это равносильно (тп — 1 + пг)а = 0, поскольку тп 2. Поэтому тп — 1 + пг Є U, откуда а = 0: противоречие. Если же тп 0, то тпа — а + пга = 0 равносильно (—тп + 1)(—а) — пг(—а) = 0, то есть (—гап+1 —тгг)(—а) = 0. Здесь —mn-f-l —пг Є 1/,и снова а — 0, получаем противоречие. Это доказывает утверждение предложения.