Полугрупповые многообразия и сплетение полугрупп Тищенко, Александр Владимирович

Введение к работе

Актуальность темы. Как известно, конструкция сплетения групп возникла в работе Калужнина Л.А., Краснера М. ¹ в 1951 году. В I960 году конструкция стандартного сплетения полугрупп была применена в теории полугрупп Нейманом Б.Х. для доказательства теорем вложения в полугруппах. В частности, он дал новое доказательство теоремы Эванса о вложении произвольной счетной полугруппы в двухпорожденную полугруппу, доказал теорему о вложении любой конечной полугруппы в конечную двухпорожденную полугруппу, а также некоторые другие теоремы вложения². Проблема исследования операции сплетения полугрупповых многообразий привлекает алгебраистов-исследователей с середины 70-х годов. Этот интерес возник из двух основных источников. Во-первых, благодаря фундаментальным трудам алгебраической школы Роудза, и теории строения конечных полугрупп, имеющей своим истоком знаменитую теорему Крона - Роудза о декомпозиции конечных автоматов и конечных полугрупп, опубликованную в 1965 году³ ( см. также литературу по этому вопросу в переведенной книге⁴) Во-вторых, интерес к исследованию сплетения многообразий мотивируется тем фактом, что операция произведения групповых многообразий может быть определена через сплетение групп и показала свою плодотворность при изучении групповых многообразий (см., например, ⁵).

В дальнейшем развитии первого направления сыграла важную
роль книга С.Эйленберга ⁶. Именно в последней книге была
определена операция полупрямого произведения псевдомногообразий,
которая интенсивно исследовалась в

последующие годы. Кроме того, в этой книге была доказана важная теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие

¹ Kaloujnine L-, Krasner М. Produit complete des groupes de permutations et le probleme
d'extension des groupes,III // Acta Sci. Math. Szeged. - 1951. - V.14. - P.69-82.

² Neumann B.H. Embedding theorems for semigroups // J. London Math. Soc. - 1960. - V.35. -
Р.184-І92.

³ Krolm K. and Rhodes J. Algebraic theory of machines. I.Prime decomposition theorem for finite
semigroups and machines // Trans. Amer. Math. Soc. - 19G5. - V.116. - P.450-464.

⁴ Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Под редакцией М.А.Арбиба. М.,
Статистика, 1Э75. ,

⁵ Нейман X., Многообразия групп, Мир, М., 1969

^s Eilenberg S. Automata, Languages and Machines. V.B. New York: Acad. Press, 1976.

между псевдомногообразиями (конечных) моноидов и потоками рациональных языков . Аналогичная теорема верна и для псевдомногообразий полугрупп и потоков рациональных языков, заданных на свободных полугруппах, а не на свободных моноидах (см. ^г) Таким образом, развиваемая теория имеет непосредственное влияние на теорию формальных языков, возникновение и развитие которой, в частности, в настоящее время мотивируется бурным развитием программирования и вычислительных задач.

В 1987 году Б.Тилсон отмечает, что при переходе от рассмотрения моноидных многообразий и псевдомногообразий к полугрупповым более правильной является операция сплетения полугрупповых многообразий, которая им введена в работе ⁸. Это мнение Б.Тилсон мотивирует лучшими возможностями его определения сплетения полугрупповых многообразий при обобщениях на некоторые категории, содержащие полугруппы. Более точно Б.Тилсон отметил, что полупрямое произведение в смысле Эйленберга, которое является вполне подходящим для псевдомногообразий моноидов, не является подходящим для многообразий полугрупп, так как доказанная им "теорема о задержке" для многообразий моноидов, перестает быть верной для многообразий полугрупп. Впрочем, обе операции близки, хотя и не совпадают.

Отметим также, что параллельно с полупрямым произведением в литературе рассматривались и другие произведения псевдомногообразий моноидов, например, двустороннее полупрямое произведение, произведение Шютценберже (см. ⁹ , ¹⁰).

В частности, рассматривался и другой аналог произведения групповых многообразий, а именно, мальпевское произведение (см., например, ^и). Группоид полугрупповых многообразий относительно мальцевского произведения был изучен на классе

⁷ Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. М.: Мир, 1985.

⁶ Tilson В, Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids// J.Pure and Appl.Algebra. - 1987. - V.48, N 1-2. - P.83-198.

⁹ Blanchet-Sadri F., Gaddis F.D. On a product of finite monoids // Semigroup Foium. - 1998. -V.57, N 1. - P.75-91.

¹⁰Margolis S.W., Pin J.E., Inverse semigroups and varieties of finite semigroups // J.Algebra. -1987. - V.110. -P.306-323.

¹¹ Шеврин Л.Н., Суханов E.B. Структурные аспекты теории многообразий полугрупп// Изв.вуэов. Матеы. - 1989. - N 6. - С.3-39

идемпотентных полугрупп Е.В.Сухановым в ¹². В частности, выяснилось, что мальцевское произведение в этом случае, как правило, неассоциативно. В литературе обсуждались и случаи совпадения полупрямого произведения и мальцевского произведения псевдомногообразий ¹³.

В теории Крона - Роудза уже рассматривались сплетения полугрупп преобразований, что позволило предложить ассоциативную конструкцию сплетения и явилось дальнейшим обобщением сплетения. В 1979 году Скорняков Л.А.' ¹⁴ применил сплетение моноидов с помощью полигона для изучения моноида эндоморфизмов свободного полигона над моноидом. В дальнейшем различные модификации сплетения с успехом применялись Кнауэром У. и Михалевым А.В. для изучения моноидов эндоморфизмов полигонов (см., например, ¹⁵).

Здесь важно отметить, что при переходе от групп к
полугруппам могут возникать различные определения сплетения
полугрупповых многообразий, как это и было исторически.
Однако, здесь существенно отметить, что вариант определения
Тилсона, является, по-видимому, оптимальным. Это мотивируется
на наш взгляд двумя следующимим факторами. Во-первых,
тем, что операция сплетения полугрупповых многообразий
ассоциативна ¹⁶. Это не так для стандартного сплетения
полугрупповых многообразий, которое определил Ю.Г.Кошелев
в 1976 году. Во-вторых, эта операция для периодических
групповых многообразий совпадает с операцией произведения
групповых многообразий. Это не так для произведения

многообразий полугрупп, которое предложил рассматривать Ю.Г.Кошелев в 1989 году ¹⁷. Для непериодических групповых

¹² Sukhanov E.V. The groupoid of varieties of idempotent semigroups // Semigroup Forum. - 1977.
- V.14, - P.143-159

¹³ Henekell K., Margolis S.W., Pin J.-E., Rhodes J. Ash's type II theorem, profmite topology and
Malcev products // International J. Algebra and Computation. - 1991. - V.l, N4. - P.411-436

¹⁴ Skornjakov L.A. Regularity of the wreath product of monoids// Semigroup Forum. - 1979. -
V.18, N 1. - P.83-S6.

⁾⁵ Knauer U., Mikhalev A.V. Endomorphism monoids of free acts and O-wreath product of monoids, HI И Semigroup Forum. - 1980. - V.19, N 1. - P.355-369.

¹⁶ Tilson B. Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids // J.Pure and
Appl.Algebra. - 1987. - V.48, N 1-2. - P.83-198

¹⁷ Кошелев Ю. Г. Ассоциативность умножения многообразий полугрупп // Международная
конф. по алгебре, поев, поиятн А. И. Мальцева. Тезисы докл. по теории моделей и алгебр,
систем. - Новосибирск, 1989. - С.63

многообразий о таком совпадении думать не приходится, так как непериодические групповые многообразия уже не являются полугрупповыми многообразиями. При этом операция сплетения для непериодических (надкоммутативных) полугрупповых многообразий является слишком грубой, так как сплетение двух надкоммутативных многообразий равно многообразию всех полугрупп.

Вопрос об описании структуры моноида полугрупповых
многообразий относительно сплетения возник в связи с известной
теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман,
а также известного описания всех идемпотентов относительно
сплетения полугрупповых многообразий (см. теоремы 23.32 и 23.4
_в is _и 19^ Теорема А.Л.Шмелькина и трех Нейманов утверждает,
что полугруппа всех нетривиальных групповых многообразий
относительно сплетения является свободной

полугруппой.

Вопросы, связанные с изучением сплетения периодических полугрупповых многообразий возникли как вопросы наиболее актуальные при изучении операции сплетения многообразий в связи с полученными результатами о структуре моноида полугрупповых многообразий. Одновременно с этим возник интерес к выяснению, при каких условиях сплетение полугрупповых периодических многообразий обладает тем или иным хорошим свойством. Рассматриваемые классы многообразий вводились при изучении периодических многообразий полугрупп как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из которых они состоят, на языке полурешеточных разложений. Задачи обсуждались с М.В.Сапиром на XIX Всесоюзной алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в третьем выпуске Свердловской тетради .

При изучении сплетения полугрупповых многообразий оказалось полезным решение задач, выясняющих при каких условиях

¹⁸ Нейыан X., Многообразия групп, Мир, М., 19S9

¹⁹ Koselev Yu. G. Varieties preserved under wreath products // Semigroup Forum. - 1976. - V.12.
-P.95-107

²⁰ Свердловская тетрадь, Нерешенные задачи теории полугрупп. Вып. третий, Свердловск,
1989 '-"''' "''-'' - .

сплетение полугрупп обладает тем или иным хорошим свойством.
Такие вопросы начинают изучаться в литературе, начиная с
середины 60-х годов. Хантер в 1966 году нашел необходимые
и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение
полугрупп было бы вполне простой полугруппой (см. ²¹). В 1969
году Мур²² нашел необходимые и достаточные условия для того,
чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы коммутативной
полугруппой. В 1976 году Ю.Г.Кошелев нашел необходимые
и достаточные условия для того, чтобы сплетение полугрупп
принадлежало бы одному из следующих классов полугрупп:
инверсные, регулярные, простые слева (справа), левые (правые)
группы, группы, полурешетки, идемпотентные и т.п. ,

²⁴, Позднее Л.А.Скорняков предложил другие необходимые и достаточные условия регулярности сплетения моноидов ²⁵.

Проблема В.И. Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условий идеальной простоты сплетения полугрупп была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38 ^2S.

В ²⁷ отмечено, что если полугруппа конечна, то
псевдомногообразие ею порожденное, совпадает с

псевдомногообразием, заданным множеством тождеств этой полугруппы. Это означает, что такое псевдомногообразие есть пересечение многообразия, порожденного этой полугруппой с классом всех конечных полугрупп. Как следует из результатов главы 5 настоящей работы, почти все сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий порождаются конечными полугруппами. Следовательно, результаты этой главы могут

²¹ Hunter R.P. Some results on wreath products of semigroups // Bull. Soc. Math. Belg. - 1966. -
V.18. - P.3-16

²² Moors R. Note sur le "vvreath product" de deux demi-groupes // Bull. Soc. roy. sci. Liege. -
1969. - V.38. - P. 116-124

²⁵ Кошелев Ю.Г. Сплетения и уравнения в полугруппах // Semigroup Forum. - 1975. - V.ll. - P. 1-13

²⁴ Кошелев Ю.Г. Регулярность и идемпотентность сплетения полугрупп // Соврем, алгебра.
Вып.4, Л., 1976. - С.97-106

²⁵ Skornjakov L.A. Regularity о! the wreath product of monoids // Semigroup Forum. - 1979. -
V.18, N 1. - P.83-86

²⁶ Свердловская тетрадь. Нерешенные задали теории полугрупп. Свердловск, Уральский
государственный университет, 1979

²⁷ Свердловская тетрадь. Нерешенные задачи теории полугрупп. Свердловск, Уральский
государственный университет, 1979

рассматриваться и как результаты, непосредственно относящиеся к теории псевдомногообразий.

Цель работы. Работа посвящена исследованию операции сплетения полугрупп и, в первую очередь, ее применению при изучении моноидного сплетения полугрупповых многообразий для решения следующих задач.

1. Нахождение описания структуры моноида полугрупповых
многообразий с помощью разложения в полурешетку подполугрупп,
и получение информации об этих подполугруппах.

2. Нахождение необходимых и достаточных условий на
сплетаемые многообразия, при которых их моноидное сплетение
является:

а)многообразием всех полугрупп; б)многообразием конечного индекса; в)полуархимедовым многообразием; г)вполне простым многообразием,

3. Нахождение необходимых и достаточных условий на
пассивную полугруппу сплетения для того, чтобы при
фиксированной пассивной полугруппе сплетение полугрупп было
бы простой полугруппой, если в качестве активной полугруппы
взять произвольную простую полугруппу.

4. Вычисление базисов тождеств и решеток подмногообразий
для сплетения атомов решетки полугрупповых многообразий с
целью сопоставления операции моноидного сплетения полугрупповых
многообразий и их решеточного объединения. В частности,
решаются вопросы а) конечной базируемости сплетения; б)
конечности решетки подмногообразий сплетения; в) порождаемости
конечной полугруппой сплетения многообразий в рассматриваемых
случаях.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие.

1. Решение проблемы Нейманов — Шмелькина для

полугрупповых многообразий, возникшая как задача описания структуры моноида полугрупповых многообразий относительно сплетения. Задача была поставлена в связи с известной теоремой А.Л.Шмелькина и Б.Х.Нейман, Х.Нейман, П.М.Нейман, а также известного описания идемпотентов относительно сплетения полугрупповых многообразий.

2. Решение задачи М.В.Сапира о выяснении необходимых
и достаточных условий, при которых сплетение полугрупповых
многообразий является многообразием конечного индекса или
полуархимедовым многообразием. Эти классы многообразий
возникли при изучении периодических многообразий полугрупп
как допускающие хорошее структурное описание полугрупп, из
которых они состоят, на языке полурешеточных разложений.
Задачи были высказаны М.В.Сапиром: на XIX Всесоюзной
алгебраической конференции во Львове в 1987 году, а позднее
одна из них была сформулирована автором как проблема 3.56 в
Свердловской тетради ²⁸.

1. Решение проблемы Б.И.Плоткина о нахождении необходимых и достаточных условиях идеальной простоты сплетения полугрупп в случае, если активная полугруппа сплетения есть объединение своих максимальных главных правых идеалов, а также в случае если активная полугруппа сплетения содержит минимальные левые идеалы, а само сплетение стандартно. Проблема была сформулирована Ю.Г.Кошелевым во втором издании Свердловской тетради как проблема 2.38. Эти результаты обобщают теорему Хантера, которая давала необходимые и достаточные условия для того, чтобы стандартное сплетение полугрупп было бы вполне простои полугруппой .

2. Решение "ослабленной проблемы Б.И.Плоткина", а именно, нахождение необходимых и достаточных условий для того, чтобы при фиксированной пассивной полугруппе, сплетение двух полугрупп было бы идеально простой полугруппой при любой активной простой полугруппе.

3. Решение вопроса, в каких случаях решетка подмногообразий моноидного сплетения полугрупповых многообразий, каждое из которых является атомом решетки полугрупповых многообразий, является конечной. При этом конечные решетки вычислены в явном виде во всех случаях, кроме случая, когда первое из сплетаемых многообразий есть многообразие полурешеток, а второе — многообразие полугрупп с нулевым умножением.

²⁸ Свердловская тетрадь, Нерешенные задачи теории полугрупп. Вып. третий, Свердловск,
1989

²⁹ Hunter R..P. Some results on wreath products of semigroups // Bull. Soc. Math. Belg. - 196S. -
V.18. - P.3-16

Все результаты диссертации являются новыми.

Основные методы исследования. В работе используются методы алгебраической теории полугрупп, методы как структурной, так эквациональной характеризации многообразий полугрупп, комбинаторные методы вычисления базисов тождеств и решеток подмногообразий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применения в различных разделах теории полугрупп, теории полугрупповьгх многообразий, а также многообразий алгебраических систем. Некоторые результаты уже нашли применение для решения задач теории псевдомногообразий конечных полугрупп. Некоторые из доказанных теорем могут быть использованы при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров для студентов и аспирантов.

Агшробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIX Всесоюзная алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, Барнаул, 1991, Санкт-Петербург, 1997), на международных конференциях по теории полугрупп и ее приложениям в Санкт-Петербурге в 1995 и в 1999 году, на Международном алгебраическом семинаре в МГУ (Москва, 1999). Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре "Кольца и модули" в МГУ, а также на научно-исследовательском семинаре по алгебре в МГУ и на семинаре "Алгебраические системы" в Уральском государственном университете в Екатеринбурге.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах, список которых приведен в конце автореферата. Там же приведен список из 13 публикаций, примыкающих по теме к основным. Среди них одна является совместной.

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав и занимает 201 страницу компьютерного текста. Список литературы содержит 90 наименований и занимает 8 страниц. Имеется 12 рисунков и 2 таблицы.