Полные, редуцированные и примарные конечные полугруппы Финк Татьяна Юрьевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Полные конечные полугруппы 28

1.1. Полные конечные полугруппы 28

1.2. Минимальные полные конечные полугруппы 41

Глава 2. Редуцированные и примарные конечные полугруппы 51

2.1. Редуцированные конечные полугруппы 51

2.2. Примарные конечные полугруппы 55

Глава 3. Полные радикалы конечных полугрупп 61

3.1. Конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами 61

3.2. Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп 71

3.3. Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом 81

Литература 98

• Минимальные полные конечные полугруппы
• Примарные конечные полугруппы
• Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп
• Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом

Введение к работе

0.1. Постановка задач и основные результаты

В теории абелевых групп важную роль играют понятия полноты (делимости), редуцированности и примарности. Подход к указанным понятиям, использующий теорию многообразий групп, осуществил Л. М. Мартынов. Это позволило ему определить их аналоги для произвольных алгебр [30, 31]. А именно, очевидно, что абелева группа является полной в стандартном смысле тогда и только тогда, когда она не имеет гомоморфизмов на неединичные группы из атомов решетки многообразий абелевых групп (то есть на неединичные абелевы группы простой экспоненты р). Поскольку решетка подмногообразий любого многообразия алгебр является атомной, ясно как определить понятие полной алгебры в этом многообразии, а, следовательно, и понятие редуцированной алгебры, как алгебры, не имеющей неодноэлементных полных подалгебр.

Несколько позже Л.М.Мартыновым в [15] была сформулирована основная проблематика, касающаяся изучения указанных понятий. Там же было отмечено, что обсуждаемые понятия позволяют указать следующий методологический подход к развитию структурной теории алгебр - отправляясь от минимальных многообразий (то есть атомов решетки подмногообразий данного многообразия алгебр), которые зачастую определяются хорошими тождествами и алгебры которых устроены довольно просто, с помощью расширений конструируются редуцированные алгебры с «блоками-факторами» из минимальных многообразий. Поскольку во многих случаях любая алгебра данного многообразия является расширением полной алгебры (в общем случае полной россыпи, то есть дизъюнктного семейства полных подалгебр) с помощью редуцированной алгебры, изучение алгебр в таких случаях можно свести к изучению редуцированных и полных алгебр и их расширений. Другими словами, в этом случае в данном многообразии определен строгий ра- дикал (в смысле Куроша [10]), при этом класс всех полных алгебр является радикальным классом, а класс всех редуцированных алгебр - полупростым. Следуя [19], мы называем этот радикал полным. Яркий пример описанной ситуации доставляют абелевы группы - любая абелева группа является прямой суммой наибольшей полной подгруппы и редуцированной подгруппы, то есть полный радикал в этом случае является расщепляемым. При этом полные абелевы группы имеют исчерпывающее описание - любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел или квазициклическим группам.

В полугруппах же ситуация гораздо сложнее. Это приводит к содержательной задаче классификации полугрупп, которые могут быть «собраны» из полных и редуцированных полугрупп. Кроме того, в классе полугрупп становится далеко нетривиальным вопрос о характеризации полных и редуцированных объектов. Отметим, что в рамки такого подхода естественно вписывается целый ряд задач, традиционно рассматриваемых в теоретико-полугрупповых исследованиях. Прежде всего, понятие полноты полугрупп по некоторым атомам решетки многообразий полугрупп давно привлекало внимание. Достаточно напомнить исследования по разложимости и неразложимости полугрупп в различные связки своих подполугрупп. В частности, неразложимость полугруппы в полурешетку, левую или правую связку своих подполугрупп соответствует полноте этой полугруппы по соответствующим минимальным многообразиям. С другой стороны, понятие полной полугруппы является ослаблением понятия конгруэнц-простой полугруппы, так как любая конгруэнц-простая полугруппа, не принадлежащая атомам решетки многообразий полугрупп, является полной. Конгруэнц-простые полугруппы могут быть довольно сложно устроены (в силу результатов Л. А. Бокутя [1] и Э. Г. Шутова [28] любая полугруппа вкладывается в конгруэнц-простую). Тем не менее, для некоторых классов полугрупп они имеют достаточно хорошее описание по «модулю групп». Например, конгруэнц-простые конечные полугруппы, не являющиеся простыми группами, имеют исчерпываю- щее описание [25, с. 97]. Поэтому естественной является задача о характери-зации полных конечных полугрупп. Интерес к конечным полугруппам обусловлен также развитием теории формальных языков, где особую роль играют псевдомногообразия конечных полугрупп (см., напр., [25, с. 174]). Поскольку и редуцированные полугруппы в общем случае могут быть устроены довольно сложно (соответствующий пример доставляют уже абелевы группы), мы останавливаем свой выбор на изучении взаимосвязанных понятий полноты и редуцированности для конечных полугрупп.

В теории групп важную роль играет понятие примарности. Это понятие, как указал Л. М. Мартынов [15], также допускает естественное обобщение для алгебр любого многообразия в терминах конечной разрешимости (в смысле Л. Н. Шеврина и Л. М. Мартынова [27, 34] (см. также [13])) моногенных подалгебр по минимальным многообразиям.

В русле проблематики работы [15] указанные понятия изучались для произвольных алгебр в [15, 18, 19], для полугрупп в [17, 20], для модулей в [5, 14,21, 22, 35], для моноассоциативных алгебр в [16], для ассоциативных колец в [6, 7, 23].

Основной целью диссертации является изучение полных, редуцированных и примарных конечных полугрупп.

Наши исследования проводились, в основном, по программе изучения аналогов понятий теории абелевых групп для произвольных многообразий алгебр, содержащейся в [15]. В этой работе отмечено, что определения обсуждаемых понятий естественным образом модифицируются для псевдомногообразий конечных алгебр. Для них также естественна и основная проблематика указанной работы.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1) охарактеризованы полные конечные полугруппы, минимальные полные конечные полугруппы и доказана вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу; охарактеризованы редуцированные и примарные конечные полугруппы; охарактеризованы конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами; охарактеризованы расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп и псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом.

В качестве следствий результатов 2) и 3) получены описания псевдомногообразий конечных полугрупп с соответствующими свойствами.

Основные результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение при дальнейших исследованиях в теориях полугрупп и формальных языков.

Результаты диссертации представлены на Международном семинаре, посвященном памяти профессора Л. А. Скорнякова (Волгоград, 1999), на Международной конференция «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2002), на Международной алгебраической конференции, посвященной столетию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005), на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 2005), докладывались на алгебраических семинарах Омского педагогического университета, Омского и Уральского университетов. Основные результаты диссертации отражены в десяти публикациях автора.

Диссертация содержит 101 страницу и состоит из введения и трех глав, разбитых на семь параграфов. В работе принята тройная нумерация утверждений. Например, номер 2.3.5 означает, что данное утверждение находится во второй главе, третьем параграфе и имеет порядковый номер 5. Библиография содержит 45 наименований.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации. Прежде всего, напомним определения некоторых понятий и условимся относительно некоторых обозначений. Псевдомногообразием полугрупп называется класс полугрупп, замкнутый относительно взятия подполугрупп, гомоморфных образов и конечных прямых произведений. В дальнейшем под псевдомногообразием полугрупп будем понимать псевдомногообразие конечных полугрупп. Среди псевдомногообразий особое место занимают эквациональные псевдомногообразия, то есть состоящие из всех конечных полугрупп некоторого многообразия полугрупп. Понятно, что такие псевдомногообразия определяются (в классе всех конечных полугрупп) теми же системами тождеств, что и соответствующие многообразия. Договоримся для системы полугрупповых тождеств а через psvar<т обозначать псевдомногообразие всех конечных полугрупп, удовлетворяющих системе а. Хорошо известно, что любое псевдомногообразие полугрупп содержит минимальное псевдомногообразие; в частности, решетка всех псевдомногообразий полугрупп является атомной. Атомы этой решетки суть эквациональные псевдомногообразия, состоящие из всех конечных полугрупп соответствующих атомов решетки всех многообразий полугрупп. Напомним их список: A_p = psvar{xy = yx,x^py = y} - псевдомногообразие абелевых групп простой экспоненты р; L₀ = psvar{ху = х} - псевдомногообразие полугрупп левых нулей; R₀= psvar {ху = у} - псевдомногообразие полугрупп правых нулей; S = psvar {ху = ух,х = х} - псевдомногообразие полурешеток; Z= psvar{xy = st} - псевдомногообразие полугрупп с нулевым умножением.

В [15] отмечено, что полные и редуцированные алгебры данного многообразия остаются таковыми же и в любом его надмногообразии. Это обстоятельство (в условиях, когда фиксируется некоторое универсальное многообразие алгебр) позволяет просто говорить о полных и редуцированных алгебрах, не уточняя, в каком многообразии. Понятно, что для псевдомногообразий полугрупп имеет место аналогичная ситуация. В нашем случае универсальным псевдомногообразием является класс всех конечных полугрупп.

Полугруппа называется полной, если у нее нет гомоморфизмов на нетривиальные полугруппы из атомов решетки псевдомногообразий полугрупп. Заметим, что это понятие полноты не совпадает с традиционным понятием полноты (см., напр., [25, 28]). Полугруппа называется редуцированной, если в ней нет неодноэлементных полных подполугрупп. Нетрудно понять, что конечная группа является полной тогда и только тогда, когда она совпадает со своим коммутантом, и является редуцированной, если и только если она разрешима.

Будем использовать также следующие обозначения: E(S) - множество идемпотентов полугруппы S; G(S) - структурная подгруппа вполне простой полугруппы S; N(H) - нормальное замыкание подгруппы Н группы G; J_а - множество элементов, порождающих главный идеал J(a)=S aS .

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследования, сформулированы задачи по изучению обсуждаемых понятий, а также перечислены основные результаты. Кроме того, для удобства чтения приведены необходимые определения и обозначения, а также некоторые известные факты.

ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена изучению полных конечных полугрупп.

В 1.1 описываются полные конечные полугруппы («с точностью до групп») и доказывается вложимость любой конечной полугруппы в полную конечную полугруппу. Основными результатами в этом параграфе являются теоремы 1.1.7, 1.1.8 и 1.1.11. Первые две из них дают различные характериза-ции полных конечных полугрупп. Они решают проблему 7 из [15] для конечных полугрупп.

Теорема 1.1.7. Конечная полугруппа S является полной тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: S - группа, совпадающая со своим коммутантом; S = S и полугруппа S обладает главным рядом ^ = 5-,3^=)...=)^3^=0 (*), длины m > 1, в котором фактор S_XIS₂ - О-простая полугруппа с делителями нуля, а любой другой фактор этого ряда либо имеет делители нуля, либо есть простая полугруппа К такая, что факторгруппа G{K)I N(G((E(K)))) совпадает со своим коммутантом; кроме того, в случае если ряд (*) имеет факторы последнего типа, то в полугруппе S нет дополняемых левых и правых идеалов.

Теорема 1.1.8. Конечная полугруппа S является полной тогда и только тогда, когда полугруппа S удовлетворяет условиям: а) если S - группа, то она совпадает со своим коммутантом; b) S не разлолсима в связку; с) S = S ; d) ядро полугруппы S есть простая полугруппа К такая, что факторгруппа G(K)/ JV(G(((/Q))) совпадает со своим коммутантом.

В качестве следствий теорем 1.1.7 и 1.1.8 получаем характеризацию полных полугрупп в различных классах конечных полугрупп.

Следствие 1.1.9. Конечная неодноэлементная регулярная полугруппа с нулем является полной тогда и только тогда, когда каждый главный фактор этой полугруппы является 0-простой полугруппой с делителями нуля.

Следствие 1.1.10. Конечная инверсная полугруппа является полной тогда и только тогда, когда каэ/сдый её главный фактор является либо группой, совпадающей со своим коммутантом, либо полугруппой Брандта, не являющейся группой с нулем.

Хорошо известно, что любая конечная группа вкладывается в конечную простую группу. Но в отличие от групп, не всякая конечная полугруппа вложима в конечную конгруэнц-простую полугруппу [25, с. 98]. В этом параграфе доказана

Теорема 1.1.11. Любая конечная полугруппа изоморфно вкладывается в полную конечную полугруппу с нулем.

В 1.2 характеризуются минимальные полные конечные полугруппы («по модулю групп»). Полугруппа называется минимальной полной, если она содержит более одного элемента и является полной, но любая ее неодноэле- ментная собственная подполугруппа не является полной. Следующая теоре ма является основной в данном параграфе. Она решает проблему 10 из [15] ,ф для класса конечных полугрупп.

Теорема 1.2.1. Конечная неодноэлементная полугруппа S является минимальной полной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям: если S -группа, то она - минимальная неразрешимая группа; S не разложима в связку; c)S = S²; любая собственная подгруппа полугруппы S разрешима; ядро полугруппы S есть простая полугруппа К такая, что группа G{K) является нормальным замыканием структурной группы идемпотент-но порожденной подполугруппы полугруппы К; /) каждая собственная подполугруппа, совпадающая со своим квадратом и обладающая ядром, удовлетворяющим условию е), разложима в связку.

В качестве следствий этой теоремы получаем описание минимальных полных полугрупп в классах конечных полугрупп с нулем и конечных регу лярных полугрупп с нулем. (gj Следствие 1.2.2. Конечная полугруппа с нулем является минимальной полной тогда и только тогда, когда она есть идеальное расширение нильпо-лугруппы с помощью либо полугруппы А₂, либо полугруппы В₂, и для любого элемента а из нильполугруппы множество S\J_a не является подполугруппой.

Следствие 1.2.3. Полугруппы А₂ и В₂, и только они, являются минимальными полными полугруппами в классе конечных регулярных полугрупп с j> нулем.

Из теоремы 1.1.7 следует, что неодноэлементных полных полугрупп порядка п < 4 нет, то есть любая полугруппа порядка п < 4 редуцирована. В диссертации приведены примеры минимальных полных полугрупп минимального порядка в различных классах конечных полугрупп.

Пример 1.2.4. Среди полугрупп 6-го порядка полных полугрупп нет.

Пример 1.2.5. В классе конечных регулярных полугрупп без нуля семи-элементные полугруппы

I *\ 1 Ч О 9 9 9 9 9 9 \

С] = (а,6 а =а , b =b , aba = a, bob = b,ba =a ,ab =b ,a b = b a),

I \ 9 4 9 999999\ C₂={a,b a =a , b =b , aba = a, bab = b,a b = a ,b a = b ,ba =ab ) являются минимальными полными полугруппами минимального порядка.

Пример 1.2.6. В классе конечных нерегулярных полугрупп девятиэле-ментная полугруппа с нулем

С₃ = (a, b а = 0, b - 0, aba = a, bab - b) является минимальной полной полугруппой.

Пример 1.2.7. Знакопеременная группа А₅ есть минимальная полная группа минимального порядка.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена изучению понятий редуцированности и примарности для конечных полугрупп. Заметим, что эти понятия тесно связаны в случае конечных групп. Например, хорошо известно, что любая конечная р -группа является нильпотентной, а потому разрешимой и, следовательно, редуцированной. Как видно будет в дальнейшем, аналогичная связь имеет место для некоторых классов конечных примарных полугрупп.

Условимся для псевдомногообразия X, состоящего из конечных полугрупп с некоторым свойством, выраженным прилагательным, добавлять соответствующее прилагательное в название X. Например, утверждение «X есть редуцированное псевдомногообразие полугрупп» означает, что псевдомногообразие X состоит из полугрупп, каждая из которых редуцирована.

В 2.1 описаны конечные редуцированные полугруппы и псевдомногообразия таких полугрупп.

Теорема 2.1.1. Конечная полугруппа S является редуцированной тогда и только тогда, когда в ней разложима в связку каждая неодноэлементная подполугруппа, совпадающая со своим квадратом и обладающая ядром К таким, что его структурная группа G(K) есть нормальное замыкание структурной группы идемпотентно порожденной подполугруппы полугруппы К, и любая подгруппа полугруппы S разрешима.

Отметим, что теорема 2.1.1 решает задачу 8 из [15] для псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следующее утверждение характеризует конечные редуцированные полугруппы, которые являются связками архимедовых полугрупп.

Предложение 2.1.2. Конечная полугруппа, являющаяся связкой архимедовых полугрупп, редуцирована тогда и только тогда, когда она есть полурешетка нильрасширении вполне простых полугрупп со структурными разрешимыми группами.

В [20] охарактеризованы редуцированные многообразия полугрупп. Аналогичное утверждение имеет место для псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следствие 2.1.3. Псевдомногообразие конечных полугрупп является редуцированным тогда и только тогда, когда оно состоит из конечных полугрупп, являющихся полурешетками нильрасширении вполне простых полугрупп со структурными разрешимыми группами.

Из тривиальности групп в псевдомногообразии комбинаторных полугрупп и следствия 2.1.3 вытекает

Следствие 2.1.4. Псевдомногообразие конечных комбинаторных полугрупп является редуцированным тогда и только тогда, когда оно состоит из конечных полугрупп, являющихся полурешетками нильрасширении прямоугольных полугрупп.

В 2.2 охарактеризованы конечные примарные полугруппы и псевдомногообразия примарных полугрупп.

Теорема 2.2.4. Конечная полугруппа S является примарной тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1)^- конечная комбинаторная полугруппа;

2) S - конечная полугруппа, типы элементов которой суть (г, р ) для некоторых г, к и простого р таких, что г < р .

Как уже отмечалось, любая конечная р -группа является редуцированной. Для комбинаторных и клиффордовых конечных полугрупп справедливы аналогичные результаты. Условимся для атома Р решетки псевдомногообразий полугрупп примарные по Р конечные полугруппы называть также Р -полугруппами.

Следствие 2.2.5. Любая конечная клиффордова А -полугруппа является редуцированной.

Следствие 2.2.6. Любая конечная комбинаторная А „-полугруппа является редуцированной.

В качестве следствия теоремы 2.2.4 получаем описание примарных псевдомногообразий конечных полугрупп. Следствие 2.2.7 решает проблему 1 из [15] для псевдомногообразий конечных полугрупп.

Следствие 2.2.7. Псевдомногообразие конечных полугрупп является примарным тогда и только тогда, когда оно состоит либо из конечных комбинаторных полугрупп, либо из конечных связок р-групп.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена изучению вопросов, связанных с понятием полного радикала полугруппы. В любой алгебре произвольного многообразия (или псевдомногообразия) алгебр существует наибольшая полная россыпь [19], которая в общем случае не является конгруэнц-допустимой. Если же она допускает конгруэнцию и факторалгебра по наименьшей такой конгруэнции редуцирована, то эта алгебра является расширением ее наибольшей полной россыпи при помощи редуцированной алгебры. В этом случае, как уже отмечалось, в данном многообразии (псевдомногообразии) определен полный радикал. Будем говорить также, что в таком случае данное многообразие (псевдомногообразие) обладает полным радикалом. В [19] доказано, что в любом многообразии алгебр с условием трансвербальности по минимальным подмногообразиям существует полный радикал. Этому условию удовлетворяют многообразия всех групп, всех модулей над любым кольцом, всех ассоциативных колец и другие многообразия. Многообразие всех полугрупп этим свойством не обладает. Более того, имеются конечные полугруппы, не обладающие полным радикалом.

В 3.1 рассматриваются конечные полугруппы с наибольшими полными подполугруппами. Интерес к этим полугруппам обусловлен следующим обстоятельством. В любой абелевой группе существует наибольшая полная подгруппа (она и является ее полным радикалом). В общем случае уже для конечных полугрупп это не имеет места. Однако зачастую наибольшая полная подполугруппа полугруппы является ее полным радикалом.

Теорема 3.1.3. Конечная полугруппа S содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только тогда, когда она не разложима в связку своих подполугрупп, и если п - натуральное число такое, что S" =S"⁺ , a

В следующих двух следствиях описаны полугруппы, обладающие наибольшими полными подполугруппами в некоторых классах конечных полугрупп.

Следствие 3.1.4. Конечная комбинаторная полугруппа содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только тогда, когда она не разложима в связку своих подполугрупп.

Следствие 3.1.5. Конечная полугруппа с нулем содержит наибольшую полную подполугруппу тогда и только тогда, когда она не содержит собственных вполне изолированных идеалов.

В качестве следствия теоремы 3.1.3 получаем описание псевдомногообразий полугрупп, в которых есть наибольшая полная подполугруппа.

Следствие 3.1.6. Класс всех конечных нилърасширений конечных групп является наибольшим псевдомногообразием конечных полугрупп, в котором любая полугруппа обладает наибольшей полной подполугруппой.

Хорошо известно, что полная подгруппа абелевой группы выделяется прямым слагаемым. Поэтому естественной является проблема описания алгебр, в которых полная подалгебра выделяется прямым множителем [15, проблема 3]. Мы решаем эту проблему для псевдомногообразий конечных полугрупп («с точностью до групп»). Будем называть полугруппу, разложимую в прямое произведение полной и редуцированной полугрупп, расщепляемой. В 3.2 описаны расщепляемые псевдомногообразия полугрупп. Следующая теорема является основной в этом параграфе.

Теорема 3.2.4. Псевдомногообразие X конечных полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) X - редуцированное псевдомногообразие конечных полугрупп;

2) X — псевдомногообразие конечных полугрупп, в котором любая группа расщепляема, и любая полугруппа является рисовской полугруппой матричного типа с нормализованной сэндвич-матрицей, составленной из элементов разрешимого прямого множителя структурной группы.

Для комбинаторных полугрупп получаем

Следствие 3.2.5. Псевдомногообразие X конечных комбинаторных полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда X -редуцированное псевдомногообразие конечных комбинаторных полугрупп.

Нам неизвестно описание расщепляемых псевдомногообразий конечных групп. Отметим лишь следующие три утверждения, представляющие самостоятельный интерес. Под минимальной простой группой будем понимать неабелеву простую группу, в которой все собственные подгруппы разрешимы.

Предложение 3.2.11. Псевдомногообразия конечных групп, порождённые разрешимыми и минимальными простыми группами, расщепляемы.

Предложение 3.2.12. Псевдомногообразия конечных полугрупп, порожденные редуцированными вполне простыми полугруппами и минимальными простыми группами, расщепляемы.

Пример 3.2.13. Симметрическая группа подстановок S_n порождает расщепляемое псевдомногообразие конечных групп тогда и только тогда, когда п<4. Если п<5, то знакопеременная группа А_п порождает расщепляемое псевдомногообразие конечных групп.

В 3.3 основной является теорема 3.3.4. В этой теореме описаны псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом. Прежде, чем ее сформулировать, введем в рассмотрение одну серию полугрупп.

Пусть G - группа, Н - ее собственная подгруппа и / - символ, не принадлежащий группе G. Обозначим через G_t(H) множество G U {(gH, I) | g є G} и определим на нем умножение о, сохраняя умножение на G и полагая х о (gH, I) = (xgH, I), {gH, l)o_U = {gH, I) для всех g, x є G и и є Gi(H). Очевидно, что множество G,(H) с операцией о становится полугруппой. Назовем ее /-полугруппой над группой G с подгруппой Я. Нетрудно проверить, что полугруппа G\ (Н) является цепью полугруппы левых нулей и группы G. Через G_r(H) обозначим г-полугруппу, антиизоморфную полугруппе Gf(H). Заметим, что различные варианты этой конструкции встречались в роли «запрещенных объектов» ранее в исследованиях по теории многообразий полугрупп (см., например, [32]). Но мы затрудняемся ответить, где именно она появилась впервые.

Теорема 3.3.4. Следующие условия эквивалентны:

1) X - псевдомногообразие конечных полугрупп, обладающее полным радикалом;

2) X - псевдомногообразие конечных полугрупп, являющихся полу решетками архимедовых полугрупп, удовлетворяющих условию: для любых полугруппы S из X, ее полной подгруппы G и элементов а и Ъ из G и с изS таких, что элементы ас, be, са, сЪ принадлежат множеству GrS, имеют место равенства S ca = S сЪ и acS =bcS ;

3) X - псевдомногообразие конечных полугрупп, которому не при надлежат полугруппы А₂, В₂ и полугруппы Gi(H), G_r{H) для любой полной группы G из X и любой ее собственной подгруппы Н.

Так как в редуцированном и комбинаторном псевдомногообразиях полугрупп любая полная группа одноэлементна, из теоремы 3.3.4 вытекает наличие полного радикала в этих псевдомногообразиях.

Самостоятельный интерес представляет следующее

Следствие 3.3.5. Конечная полугруппа, являющаяся связкой унипотентных полугрупп, обладает полным радикалом.

Частным случаем следствия 3.3.5 является

Следствие 3.3.6. Конечная полугруппа, являющаяся связкой групп, обладает полным радикалом.

Из теоремы 3.3.4 и описаний псевдомногообразий полугрупп, в которых любая полугруппа обладает наибольшей полной подполугруппой (следствие 3.1.6), и расщепляемых псевдомногообразий полугрупп (теорема 3.1.6) вытекает наличие полного радикала в этих псевдомногообразиях.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Леониду Матвеевичу Мартынову за постановку задач, полезные обсуждения результатов и помощь в оформлении диссертации.

0.2. Основные определения и предварительные сведения

Пусть X - произвольное псевдомногообразие полугрупп. Наименьшую конгруэнцию р(Х, S) конечной полугруппы S среди всех, факторпо- лугруппы по которым принадлежат псевдомногообразию X, назовём X-псевдовербальной конгруэнцией. Конечная полугруппа S называется X -полной, если ее Х-псевдовербальная конгруэнция есть универсальное отношение на S, то есть р(Х, S)=Sx.S. Понятие X-полной полугруппы можно дать, используя понятие X -псевдовербала.

Напомним, что произвольное дизъюнктное семейство подполугрупп полугруппы S называется россыпью полугруппы S, а полугруппы, которые ее составляют, называются компонентами россыпи. На множестве всех россыпей полугруппы S естественным образом определяется частичный порядок <: для любых россыпей .Я и (В считают, что Л < (В тогда и только тогда, когда каждая компонента россыпи Л является подполугруппой некоторой компоненты россыпи Ф. Ясно, что множество всех россыпей полугруппы S есть полная (в обычном смысле) решетка, наименьшим элементом которой является пустая россыпь. Операции объединения и пересечения в этой решетке будем обозначать соответственно v и л. Россыпь, компонентами которой являются в точности все одноэлементные подполугруппы полугруппы S, либо пустая россыпь, в случае отсутствия идемпотентов в полугруппе S, называется тривиальной россыпью полугруппы S. Условимся тривиальную россыпь полугруппы S обозначать через _s. Блоки конгруэнции р полугруппы S, которые являются ее подполугруппами, образуют россыпь ker(p) полугруппы S, которая называется ядром р. Ядро X-псевдовербальной конгруэнции р{Х, S) конечной полугруппы S будем называть X-псевдовербалом полугруппы S и обозначать через X(S). Конечная полугруппа называется X -полной, если ее X -псевдовербал совпадает со всей полугруппой S, то есть X(S)=S. Понятно, что конечная полугруппа S является полной тогда и только тогда, когда она полна по любому атому решетки псевдомногообразий полугрупп.

Если (D = {Aj\ieI} - россыпь, то ее X-псевдовербалом называется россыпьХ{Ф)= v {Х(А;)\ іе 1} = {JX(A_i). Ясно, чтоХ{Ф)<Ф.

Конечная полугруппа S называется X -разрешимой, если она не имеет нетривиальных X -полных подполугрупп. Понятие X-разрешимой полугруппы можно определить, используя X -псевдовербальный ряд конечной полугруппы S (по аналогии с вербальным рядом (см., напр., [27])), что позволяет определить ступень X -разрешимости данной полугруппы. Для любого неотрицательного целого числа п с помощью индукции определим п-й X-псевдовербал X"(S) конечной полугруппы S: полагаем X(S)=S, и если и>0, то X"(S) = X(X^nA(S)). Таким образом, получаем убывающую цепь россыпей: S=X(S) У X\S) h-hXⁿ(S) У..., которую назовем X-псевдовербальной цепью полугруппы S. Если для некоторого п имеет место Xⁿ(S) ^{= <}E_s, то полугруппа S называется п - X -разрешимой, а наименьше п с этим свойством - ступенью X -разрешимости полугруппы S.

Пусть Р - атом решетки псевдомногообразий всех полугрупп. Конечная полугруппа S называется примарной по Р (Р -полугруппой), если любая ее циклическая подполугруппа Р -разрешима. Конечная полугруппа называется примарной, если она примарна по некоторому Р.

Россыпь конечной полугруппы S называется полной, если все ее компоненты являются полными полугруппами. В частности, тривиальная россыпь полугруппы S является полной. Россыпь Ф конечной полугруппы S называется конгруэнц-допустимой в S, если Ф=кег(р) для некоторой конгруэнции р на S. Для конгруэнц-допустимой россыпи Ф конечной полугруппы S наименьшую конгруэнцию с ядром Ф называют конгруэнцией, порожденной россыпью ф, а фактор-полугруппу Slp₀ -через S/Ф. Говорят, что конечная полугруппа S есть расширение россыпи Ф посредством полугруппы В, если > конгруэнц-допустима в Sh SI

Идеал / полугруппы S называется вполне изолированным, если S\I -подполугруппа или I = S. Левый [правый] идеал L [R] полугруппы S называется дополняемым левым [правым] идеалом из S, если S \ L [S \ R] либо пусто, либо является левым [правым] идеалом полугруппы S".

Полугруппа S называется унипотентной, если она содержит единственный идемпотент. Полугруппу S мы называем комбинаторной, если любая ее подгруппа тривиальна. Полугруппа S называется регулярной, если для любого элемента а из S найдется х є S такой, что аха = а. Два элемента а и Ъ полугруппы S называются инверсными, если aba = а и bob = b. Инверсной полугруппой называются полугруппа, в которой каждый элемент имеет единственный инверсный к нему элемент. Полугруппа S называется клиффордо-вой (или вполне регулярной), если все ее элементы групповые. Полугруппа S называется гомогруппой, если она содержит подгруппу G, являющуюся идеалом в S.

Полугруппа S называется архимедовой, если для любых a, be S существует такое п, что Ь^п принадлежит главному двустороннему идеалу J{a), порожденному элементом а. Хорошо известно описание конечных архимедовых полугрупп: любая конечная архимедова полугруппа является идеальным нильрасширением вполне простой полугруппы [25, с. 104].

Полугруппа S называется прямоугольной, если она удовлетворяет тождеству хух = х. Полугруппа S прямоугольна тогда и только тогда, когда она изоморфна прямому произведению LxR, где L - полугруппа левых нулей, a R - полугруппа правых нулей.

Хорошо известно, что любая связка полугрупп некоторого семейства {Sp} есть полурешетка прямоугольных связок полугрупп из {Sp} [25, с. 49].

В частности, любая полугруппа идемпотентов является полурешеткой прямоугольных полугрупп. Очевидно, что любая полугруппа, разложимая в нетривиальную связку подполугрупп, не является полной, поскольку у нее будут гомоморфизмы на нетривиальные полугруппы, по крайней мере, одного из псевдомногообразий L₀, R₀ или S.

Связка полугрупп называется левой [правой], если все ее компоненты суть правые [левые] идеалы. Полугруппа S есть правая группа [левая], если она является левой [правой] связкой изоморфных групп. Всякая вполне простая полугруппа является правой [левой] связкой изоморфных правых [левых] групп. Понятно, что любая вполне простая полугруппа, не являющаяся группой, также не будет полной полугруппой.

Заметим, что характеризация неразложимых в связку полугрупп также хорошо известна - они не должны иметь собственных вполне изолированных идеалов, собственных дополняемых левых и собственных дополняемых правых идеалов [33].

Важную роль в работе играют вполне простые и вполне 0-простые полугруппы. Напомним, что полугруппа называется вполне [0-]простой, если она идеально [0-]простая и содержит примитивный идемпотент. Хорошо известно, что любая вполне простая [0-простая] полугруппа изоморфна рисов-ской полугруппе матричного типа над группой [над группой с нулем]. Напомним строение таких полугрупп. Пусть I, А - множества индексов,

Р=(Рм) - произвольная фиксированная матрица над группой с нулем G , и G⁰ х / х Л - множество, состоящее из всех троек (g; і, Я), где g - элемент группы с нулем G , a ієі и Я є Л. На множестве G⁰ х/хЛ определяется бинарная операция о следующим образом: (g\i,X) (h;j,ju)=(gp^h;i,/i), где ру - элемент сэндвич-матрицы Р. Тогда множество G х/хЛ относительно бинарной операции является полугруппой и множество Ох/хЛ всех троек (0; /, Я) есть идеал этой полугруппы. Факторполугруппу Риса по этому идеалу обозначают %. (G;I,A;P) и называют рисовской полугруппой матричного типа с сэндвич-матрицей Р над группой с нулем G . Если матрица Р не содержит нулевых элементов, то в полугруппе М (G;I,A;P) нет делителей нуля. В этом случае полугруппа M(G;I,A;P)\0 называют рисовской полугруппой матричного типа с сэндвич-матрицей Р над группой G и обозначают M{G;I,A;P). Элементы этих полугрупп мы будем обозначать (а; і, Я) или а_а.

Особую роль в нашей работе играют полугруппы А₂ и В₂. Эти полугруппы хорошо известны (см., напр., [25, с. 61]), как мультипликативные полугруппы матриц:

Г (е 0\ (0 е\ (е 6) (0 е) [0 0) 1 ^В2=]

Они могут быть заданы копредставлениями в классе всех полугрупп с нулем, которые также хорошо известны (см., напр., [25, с. 70]): /I 9 9 \ A₂=(a,b\ aba = a, bab = b, а =а, b =0), / \ 9 9 \ B₂-{a,b\ aba = a, bab = b, а =0, b =0).

Кроме того, эти полугруппы изоморфны рисовским полугруппам матричного типа (см., напр., [25, с. 101]): (е е\ _у0 е_;

И; 2,2, {е};2,2, и В₂ = М

А₂ = М (е (Л ,0 е,

Напомним определение одной серии полугрупп (см., напр., [26]). Для любого натурального числа п полагают

Щп) = (g, f\ g"^+l = g, gⁿf = fg = f²=f).

Полугруппа LZ(n) состоит из In элементов и является полурешеткой двух полугрупп - циклической группы п -го порядка и п -элементной полугруппы левых нулей. Полугруппу, двойственную к полугруппе LZ(n), обозначают через RZ(n).

Приведем еще некоторые определения и соответствующие обозначения, которые будем использовать в дальнейшем. Пусть а - элемент полугруппы S. Через J(a) обозначается главный идеал S^laS^l полугруппы S, порожденный элементом а, а через J _а - множество всех элементов из J (а), каждый из которых порождает J (а). Множество 1(a) состоит из всех тех элементов J{a), которые не порождают J{a), то есть I(a)=J(a)\J_a. Если 1(a) непусто, то 1(a) - идеал в S (и тем более в J (а)). Факторполугруппа Риса вида J (a) 11(a) для каждого элемента а из полугруппы S называется главным фактором полугруппы S. Главным рядом полугруппы S называется строго убывающая цепь ее идеалов Sj (/ = 1, 2,..., т), начинающаяся с S и заканчивающаяся пустым множеством, и такая, что не существует идеала полугруппы S, лежащего строго между Sj и S_M (/ = 1, 2, ..., т). Факторами главного ряда называются факторполугруппы Риса Si/S_M (/ = 1, 2, ..., т). Хорошо известно, что если полугруппа S обладает главным рядом, то факторы главного ряда, взя- тые в некотором порядке, изоморфны главным факторам полугруппы S (см., напр., [3, с. 106]).

Для удобства чтения приведем формулировки некоторых известных утверждений, на которые будем ссылаться.

Сначала докажем лемму для псевдомногообразий полугрупп, которая будет использоваться при доказательстве последующих двух лемм. Эта лемма сообщена автору Л. М. Мартыновым. Аналогичная лемма для многообразий с использованием тождеств доказана в [27, лемма 8]; без изменения она может быть перенесена только на эквациональные псевдомногообразия.

Лемма 0.2.1. Пусть X - псевдомногообразие полугрупп, S - конечная полугруппа, т - конгруэнция на полугруппе S. Тогда справедливо равенство P(X,S/t) = (_P(X,S)vt)/t (*).

Доказательство. Пусть p=p(X,S). По второй теореме об изоморфизме [4, с. 75] имеем (S/t)/(pvt/t) = S/pvt.

Так как /?vrz>p, имеем S/pvreX. Поэтому ввиду отмеченного изоморфизма pvt/tzdp(X,S/t). Предположим, что существует пара (а^Т,Ь^Т) из рутіт, не принадлежащая p{X,Slt). Понятно, что p(X,S/t)= г и S/aeX .Но тогда сг з р и, значит, а з р v т. Поскольку (a,b)epvr, имеем (а, Ь) є и и (а^т,Ь^т)еа/т, что противоречиво. Таким образом, справедливо равенство (*).

Следующие две леммы доказаны в [15, утверждения 1, 2] для произвольных многообразий алгебр. Их доказательства проходят и для произвольного псевдомногообразия X конечных полугрупп. Для полноты изложения приведем их с доказательством.

Лемма 0.2.2. Гомоморфный образ X-полной конечной полугруппы есть X -полная полугруппа.

Доказательство. В силу леммы 0.2.1 для любой конечной полугруппы S и ее конгруэнции т имеет место равенство P(X,S/t) = (p(X,S)vt)/t. Если S - X-полная конечная полугруппа,то р(Х,S)=SxS. Тогда P(X,S/t) = ((SxS)vt)/t=(SxS)/t=S/txS/t. Это означает, что полугруппа Sir является X-полной.

Из леммы 0.2.2 и определения полной полугруппы вытекает

Следствие 0.2.3. Гомоморфный образ полной конечной полугруппы есть полная полугруппа.

Лемма 0.2.4. Расширение X -полной россыпи конечной полугруппы с помощью X -полной конечной полугруппы есть X -полная полугруппа.

Доказательство. Пусть т - конгруэнция на полугруппе S такая, что т порождается своим ядром кег(т), компоненты которого являются Х-полными полугруппами, и факторполугруппа Sir является ^-полной. Ввиду равенства P(X,S/t) = (p(X,S)vt)/t и X -полноты SI т имеем р(Х, S/t)=(p(X, S)v t)/t=S/tх S/t=(S xS)/r. Отсюда p(X,S)vr = SxS. Для доказательства равенства p(X,S)=SxS достаточно показать, что т с р(Х, S). В самом деле, пусть С є кег(т). Тогда из Х(С) = С nX(C)^X(S) следует С ^X(S). Таким образом, ker{r)-

Следствие 0.2.5. Идеальное расширение конечной X-полной полугруппы с помощью конечной X -полной полугруппы есть X -полная полугруппа.

Так как конечная полугруппа будет полной тогда и только тогда, когда она полна по любому атому решетки псевдомногообразий полугрупп, имеем

Следствие 0.2.6. Расширение полной россыпи конечной полугруппы с помощью полной конечной полугруппы есть полная полугруппа.

Следствие 0.2.7. Идеальное расширение полной конечной полугруппы с помощью полной конечной полугруппы является полной полугруппой.

Следующая лемма доказана в [15, утверждение 6] для произвольных алгебр. Для полноты изложения приведем ее с доказательством, ограничившись случаем конечных полугрупп. Пусть Р - атом решетки псевдомногообразий полугрупп.

Лемма 0.2.8. Прямое произведение конечного числа конечных Р -полугрупп является Р -полугруппой.

Доказательство. Пусть = ^5,-, где S/ есть конечная Р -полугруппа для каждого / = 1, 2, ..., п. Для элемента s є S рассмотрим циклическую подполугруппу M = (s). Пусть M_t есть проекция на ,-. Тогда Mj=(sj), где Si=Ki{s), и поэтому полугруппа M_h как циклическая подполугруппа Р -полугруппы 5/, является т_гР -разрешимой для некоторого неотрицательного целого т_{. Пусть т = max{w_z-1 / = 1,2,..., п). Согласно леммам 2 и 5 работы [27] полугруппа М, как подполугруппа т-Р-разрешимой полугруп- пы fl-M/, является т-Р -разрешимой полугруппой. Таким образом, S есть

Р -полугруппа.

Лемма 0.2.9. Пусть I - идеал полугруппы S. Если р - конгруэнция на

I такая, что Ир -группа, то существует гомоморфизм полугруппы S на 11р, то есть на группу.

Доказательство опирается на известное утверждение [12, с. 393]: если / - двусторонний идеал полугруппы S и (р - некоторый гомоморфизм / такой, что в полугруппе <р(1) каждые два элемента имеют общую левую единицу и общую правую единицу, то ср продолжим до гомоморфизма полугруппы S. Это означает, что для полугруппы S существует некоторый гомоморфизм у/, который индуцирует гомоморфизм ср. Отсюда следует, что полугруппа y/(S) является гомогруппой. Хорошо известно [3, с. 102], что существует гомоморфизм всей гомогруппы на группу, являющуюся идеалом. Таким образом, существует гомоморфизм полугруппы y/(S) на группу (р{1), а значит, и гомоморфизм полугруппы S на группу ср{1). Если предположить, что р - конгруэнция на /, соответствующая гомоморфизму <р, то получим заключение леммы, п

Напомним еще один хорошо известный факт (см., напр.[24]).

Лемма 0.2.10. Пусть 1_Х с/₂ Я$ ^и 1\ - вполне изолированный идеал

1₂, а 1₂ - идеал полугруппы S. Тогда 1_Х является идеалом в полугруппе S.

Аналогичная лемма имеет место для дополняемых левых или правых идеалов.

Лемма 0.2.11. Пусть Ltzl qS и L - дополняемый левый идеал I, а I - идеал полугруппы S. Тогда L является левым идеалом в полугруппе S.

Доказательство. Пусть для некоторого элемента х из множества S \ I и элемента / из L, элемент xl не принадлежит идеалу L. Поскольку / -идеал полугруппы S и LqI, элемент xl принадлежит полугруппе /. Тогда xleI\L. По определению дополняемого левого идеала, полугруппа I\L является левым идеалом полугруппы / [33]. Значит, (I\L)²qI\L. Отсюда для любого элемента у из полугруппы / \ L элемент y(xl) принадлежит полугруппе I\L. С другой стороны, так как / - идеал полугруппы 5, элемент ух принадлежит I. Поскольку L - левый идеал в полугруппы /, элемент (ух)1 принадлежит идеалу L. Из полученного противоречия следует, что для любого элемента х из множества S\I и любого элемента / из идеала L, элемент xl принадлежит идеалу L. Следовательно, полугруппа L является левым идеалом полугруппы S.

Заметим, что справедлива лемма, двойственная лемме 0.2.11.

В остальном мы будем придерживаться стандартной теоретико-полугрупповой терминологии (см. [3] или [25]).

Минимальные полные конечные полугруппы

В случае абелевых групп особую роль играют минимальные полные абелевы группы: аддитивная группа рациональных чисел и квазициклические группы. А именно, любая ненулевая полная абелева группа является прямой суммой минимальных полных групп. В этом параграфе мы характеризуем минимальные полные конечные полугруппы и тем самым решаем проблему 10 из работы [15] для класса конечных полугрупп. Теорема 1.2.1. Конечная неодноэлементная полугруппа S является минимальной полной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям: a) если S - группа, то она - минимальная неразрешимая группа; b) S неразложима в связку; d) любая собственная подгруппа полугруппы S разрешима; e) ядро полугруппы S есть простая полугруппа К такая, что группа G(K) является нормальным замыканием структурной группы идемпотент-но порожденной подполугруппы полугруппы К ; /) каждая собственная подполугруппа, совпадающая со своим квад ратом и обладающая ядром, удовлетворяющим условию е), разложима в $ связку. Доказательство. Пусть S - минимальная полная конечная полугруппа.

Предположим сначала, что S - простая полугруппа без нуля. Тогда, учитывая строение вполне простых полугрупп, легко получить, что полугруппа S должна быть минимальной полной группой, то есть минимальной неразрешимой группой. Предположим, что полугруппа S не является простой без нуля. Так как S - полная полугруппа, в силу теоремы 1.1.8 она должна удовлетворять условиям Ь) и с). Предположим, что полугруппа S содержит ссб-ственную неразрешимую подгруппу G. Тогда цепочка коммутантов подгруппы G обрывается на неодноэлементной группе G " , совпадающей со своим коммутантом. Ввиду леммы 1.1.3 группа G " является полной. То есть полугруппа S содержит неодноэлементную полную подполугруппу, следовательно, она не является минимальной полной полугруппой. Таким образом, любая собственная подгруппа минимальной полной полугруппы должна быть разрешимой. Пусть К - ядро полугруппы S. В силу теоремы 1.1.8 идеал К есть простая полугруппа К такая, что факторгруппа G{K)I N(G((E(K)))) совпадает со своим коммутантом. Так как любая подгруппа полугруппы разрешима и гомоморфный образ разрешимой группы - разрешимая группа, группа G(K)I N{G((E(K)))) должна быть тривиальной. Следовательно, G(K) должна быть нормальным замыканием структурной группы идемпотентно порожденной подполугруппы полугруппы К. Таким образом, в минимальной полной полугруппе должно выполняться условие е). Предположим, что в полугруппе S выполняются все условия теоремы, кроме условия /). То есть в полугруппе S существует собственная подполугруппа Т, совпадающая со своим квадратом и структурной группой ядра, удовлетворяющей условию е), и полугруппа S не разложима в связку. Тогда по теореме 1.1.8 Т - полная полугруппа, следовательно, полугруппа S не является минимальной полной. Таким образом, конечная минимальная полная полугруппа должна удовлетворять условиям а), Ь), с), d) е)и /) теоремы. Обратно, в силу условий а), Ъ), с) и е) по теореме 1.1.8 полугруппа S полная. Ввиду условия d) полугруппа S не содержит полных групп. Из условия /) следует, что полугруппа S не содержит полных полугрупп, не являющихся группами.

Таким образом, если полугруппа S удовлетворяет условию а), Ь), с), d) е) и /) теоремы 1.2.1, то она является минимальной полной полугруппой. В качестве следствий теоремы 1.2.1 получаем описание минимальных полных полугрупп в классах конечных полугрупп с нулем и конечных регулярных полугрупп с нулем. Следствие 1.2.2. Конечная полугруппа с нулем является минимальной полной тогда и только тогда, когда она есть идеальное расширение нильполугруппы с помощью либо полугруппы А2, либо полугруппы В2 и для любого элемента а из нильполугруппы множество S\Ja не является подполугруппой. Доказательство. Пусть S - минимальная полная конечная полугруппа с нулем и - главный ряд этой полугруппы. Так как S - полная полугруппа, то в виду теоремы 1.1.7 фактор S{ IS2 является вполне 0-простой полугруппой с делителями нуля, и остальные факторы этого ряда являются либо вполне 0-простыми полугруппами с делителями нуля, либо полугруппами с нулевым умножением. Пусть в полугруппе S фактор Sj/Si+] (/ 1) главного ряда ( ) является вполне 0-простой полугруппой с делителями нуля, и для любого j, большего /, фактор Sj/Sj+i - полугруппа с нулевым умножением.

Полугруппа (S{ \SM) является полной подполугруппой полугруппы S. Действительно, очевидно, что полугруппа (&, \Si+]) совпадает со своим квадратом и является полугруппой с нулем. Факторполугруппа (Sj \ SM)lI, где / - максимальный идеал этой полугруппы, изоморфна полугруппе St/SM, а идеал / есть нильполугруппа. По теореме 1.1.7 полугруппа (S,- \SM) является полной. Отсюда следует, что если в полугруппе S существует несколько вполне 0-простых факторов главного ряда, то в полугруппе S есть собственная полная подполугруппа. То есть полугруппа S не является минимальной полной полугруппой. Таким образом, любая минимальная полная полугруппа должна быть идеальным расширением нильполугруппы с помощью вполне 0-простой полугруппы с делителями нуля. Любая вполне 0-простая полугруппа с делителями нуля обладает подполугруппой, изоморфной полугруппе А2 или В2. Понятно, что подполугруппа полугруппы S, порожденная ненулевыми элементами полугруппы А2 или В2, является полной. Следова тельно, любая конечная минимальная полная полугруппа S, совпадает со своим квадратом и обладает главным рядом ( ), в котором фактор S /Sj есть либо полугруппа А2, либо полугруппа В2, и любой другой фактор является полугруппой с нулевым умножением. Пусть полугруппа S совпадает со своим квадратом и является идеальным расширением нильполугруппы с помощью полугрупп А2 или В2, и в нильполугруппе существует такой элемент а, что S\Ja - подполугруппа полугруппы S. Тогда полугруппа S \ J а совпадает со своим квадратом и является идеальным расширением нильполугруппы с помощью полугруппы А2 или В2. Следовательно, подполугруппа S \ Jа является собственной полной подполугруппой полугруппы S, то есть полугруппа S не является минимальной полной полугруппой. Если полугруппа S не совпадает со своим квадратом и является идеальным расширением нильполугруппы с помощью полугруппы А2 или В2, то в полугруппе S найдется такой элемент а, что S \ Ja будет собственной подполугруппой. Таким образом, конечная минимальная полная полугруппа должна удовлетворять условию следствия. Обратно, пусть полугруппа S является идеальным расширением конечной нильполугруппы с помощью либо полугруппы А2, либо полугруппы В2, и для любого элемента а из нильполугруппы S\Ja не является подполугруппой. Тогда из последнего условия следует, что полугруппа S совпадает со своим квадратом, и по теореме 1.1.7 полугруппа S является полной полугруппой. А так как в этой полугруппе единственный фактор IS2 является вполне 0-простой полугруппой с делителями нуля, собственных полных подполугрупп в полугруппе S нет. Следовательно, полугруппа S будет минимальной полной полугруппой. D Следствие 1.2.3. Полугруппы А2 и В2, и только они, являются минимальными полными полугруппами в классе конечных регулярных полугрупп с нулем.

Примарные конечные полугруппы

В этом параграфе охарактеризованы конечные примарные полугруппы и примарные псевдомногообразия полугрупп. Лемма 2.2.1. Циклическая полугруппа S=(a) типа (г, т) содержит нильэлементы индекса больше 1 тогда и только тогда, когда г т. Доказательство. Пусть S содержит нильэлемент ak, и предположим, что г т. Тогда для единицы e = amq подгруппы G = {ar,аг+\...,дг+ш_1} полугруппы (а) имеем аке = е, то есть akamq = amq = ak+mq. Отсюда к делится на т, что противоречиво.

Таким образом, г т. Обратно, пусть г т. Единица е подгруппы G полугруппы (а) равна ащ, где г mq r + m. Рассмотрим элемент ат ч ]\ Так как mq-m r, элемент am q { не принадлежит подгруппе G. С другой стороны е является нулем для элемента am{q-]): am{q l) е= am{q-X) ащ = а2щ-т = a2mq = е и нильполугруппой. D Следующая лемма является основной при доказательстве теоремы 2.2.4. Лемма 2.2.2. Если конечная унипотентная полугруппа S не имеет нильэлементов индекса г больше 1, и ее наибольшая подгруппа G является К -разрешимой, то и сама полугруппа К -разрешима. Доказательство. Напомним, что G является наименьшим идеалом в S, то есть ядром полугруппы S. Пусть п - ступень А -разрешимости группы G. Рассмотрим А -псевдовербальный ряд группы G: где G{=Ap (G) (/ = 0, 1, ..., п) есть /-й А„-псевдовербал группы G. С рядом (1) ассоциируется следующий убывающий ряд подполугрупп полу группы S: в котором Sj = {хе Sj_i\xe є G;} при / 0. Понятно, что при любом / п имеем 5,- ПG = Gr В частности, Snf)G = Gn = {e}. Кроме того, (7,- - идеал в 5,-при любом /, в частности, {е} - идеал в Sn. Но по условию в полугруппе S нет нильэлементов индекса г, большего 1, и поэтому Sn = {е}. Введем обозначения: а І :(7,- - G;/G/+1 - естественный гомоморфизм, pt:Si - G,- - го-моморфизм, определенный следующим образом: ср{{х) = хе для любого х є 5,-. Тогда сг,- ),-: 5,- - GtIGM - сюръективный гомоморфизм, и ядро соответствующей конгруэнции р,- на 5,- равно SM. Таким образом, SM - кон-груэнц-допустимая подполугруппа полугруппы 5,- при любом / п. Поскольку S;/Pj = Gj/GM и GtIGME Ар, получаем, что 5,//?,-е А . Итак, (2) - субнормальный А -разрешимый ряд полугруппы 5, и поэтому 5 есть

А -разрешимая полугруппа, D Лемма 2.2.3. Конечная циклическая полугруппа (а) типа (г, т) W является А -полугруппой тогда и только тогда, когда т = р для некото рого простого р и к 0 таких, что г р . Доказательство. Пусть {а) имеет тип (г, т) и (а) является Ар -полугруппой, в частности, (а) А „ -разрешима. Если предположить, что т делится на простое число q Ф р, то полугруппа {а) содержит циклическую подгруппу порядка q, которая Ар -полна, что противоречиво. Таким $ образом, т = р для некоторого к 0. Если предположить, что г т, то по лемме 2.2.1 полугруппа (а) содержит нетривиальную циклическую нильпод полугруппу, которая Ар -полна, что снова противоречиво. Таким образом, г р . Обратно, пусть полугруппа (а) имеет тип (г, р ) для некоторого к 0 и г рк. Тогда ее наибольшая подгруппа Ga = {аг,аг+\...,аґ+т 1} является циклической порядка р , и потому А -разрешима. По лемме 2.2.1 полу группа (а) не содержит нильэлементов индекса больше 1 и по лемме 2.2.2 она А -разрешима. Из леммы 2 работы [27] вытекает, что любая ее подполу группа, в частности циклическая, А „-разрешима, то есть (а) является " Ар -полугруппой. Следующая теорема является основной в данном параграфе. Теорема 2.2.4. Конечная полугруппа S является примарной тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий: 1) S - конечная комбинаторная полугруппа; 2) S - конечная полугруппа, типы элементов которой суть (г, р ) для k некоторых г, к и простого р таких, что г р . Доказательство. Пусть конечная полугруппа S примарна по некото рому полугрупповому атому Р. Рассмотрим возможные случаи. Пусть сначала Р = Ъ и тип (а) равен (г, т). Но тогда множество Ga = {ar,ar+l,...,ar+m 1} является в (а) подгруппой [25, с.54]. Если предпо ложить, что т \, то Z(Ga) = Ga =Gan (а) содержит нетривиальную Z-полную циклическую подполугруппу Ga, что противоречиво. Следова тельно, тип (о) равен (г, 1). Таким образом, в этом случае S - конечная ком бинаторная полугруппа. Пусть теперь Pe{L0,R0,S}. Для любой конечной циклической полу группы (а) из S ее Р-вербальная конгруэнция р{Р,(а)) является универсальным отношением. Но по условию подполугруппа (а) Р -разрешима. Это

Расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп

Хорошо известно, что любая полная абелева группа является прямой суммой полной и редуцированной групп. В связи с этим естественна задача описания алгебр, в которых полная подалгебра выделяется прямым множителем [15, проблема 3]. Данным свойством обладают далеко не все конечные полугруппы. В этом параграфе описаны расщепляемые псевдомногообразия конечных полугрупп. Лемма 3.2.1. Любая полная или редуцированная полугруппа с идемпотентом расщепляема. В самом деле, полугруппа S с идемпотентом е является прямым произведением S х е. Но одноэлементная полугруппа является полной и редуцированной одновременно. Следовательно, любая редуцированная и любая полная полугруппа с идемпотентом является расщепляемой. Лемма 3.2.2. Если конечная вполне простая полугруппа расщепляема, то она разлагается в прямое произведение полной группы и редуцированной вполне простой полугруппы. Действительно, пусть S - расщепляемая конечная вполне простая полугруппа.

Так как гомоморфным образом вполне простой полугруппы является вполне простая полугруппа, а полные вполне простые полугруппы исчерпываются полными группами, у вполне простой полугруппы гомоморфизмы на полные полугруппы исчерпываются гомоморфизмами на полные группы. Следовательно, если S - расщепляемая полугруппа, то она является прямым произведением полной подгруппы и редуцированной вполне простой подполугруппы. Лемма 3.2.3. Конечная вполне простая полугруппа расщепляема тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной рисовской полугруппе матричного типа над расщепляемой группой с нормализованной сэндвич матрицей, составленной из элементов разрешимого прямого множителя структурной группы. Доказательство. Пусть - конечная вполне простая полугруппа, изоморфная рисовской полугруппе матричного типа !M(CxR;I,A;P) над расщепляемой группой С х R с нормализованной сэндвич-матрицей Р, состоящей из элементов (е,р ) группы CxR, где е - единица полной группы С, а ру - элементы разрешимой группы R. Нетрудно показать, что отображение у/ полугруппы M(CxR;I,A ,P) на прямое произведение CxM(R;I,A;P) такое, что (((с,г);/Д))=(с,(г;/,Я)), является изоморфизмом. Обратно, пусть S - расщепляемая конечная вполне простая полугруппа. В силу леммы 3.2.2 полугруппа S разлагается в прямое произведение полной группы и редуцированной вполне простой полугруппы. Из предложения 2.1.2 следует, что вполне простая полугруппа будет редуцирована тогда и только тогда, когда ее структурная группа разрешима. Поскольку по теореме Риса любая вполне простая изоморфна рисовской полугруппе матричного типа [3, с. 131], полугруппа S = Cx%(R;I,A;P), где R - разрешимая группа. Но прямое произведение полной группы С и редуцированной полугруппы M(R;I,A;P) изоморфно рисовской полугруппе матричного типа 9d(CxR;I,A;P) над расщепляемой группой с нормализованной сэндвич-матрицей Р, состоящей из элементов (e,Pjj) группы CxR, где е - единица полной группы С, а рц -элементы разрешимой подгруппы R, и

Теорема 3.2.4. Псевдомногообразие X конечных полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: Y) X - редуцированное псевдомногообразие конечных полугрупп; 2) X - псевдомногообразие конечных полугрупп, в котором любая группа расщепляема, и любая полугруппа является рисовской полугруппой матричного типа с нормализованной сэндвич-матрицей, составленной из элементов разрешимого прямого множителя структурной группы. Доказательство. Пусть X - расщепляемое псевдомногообразие полу групп. Если псевдомногообразию X принадлежат полугруппы В2 или А2, то 4 X принадлежат также прямые произведения этих полугрупп и их подполуг рупп, значит, и 0-прямое объединение двухэлементной полурешетки и полугруппы В2 или А2 соответственно, которые не расщепляемы. Следовательно, псевдомногообразию X не могут принадлежать полугруппы, среди факторов которых есть полугруппы В2 и А2. Поэтому любая полугруппа псевдомногообразия X является полурешеткой архимедовых полугрупп [25, с. 144]. Предположим, что псевдомногообразию X принадлежат нетривиальная нильполугруппа N и полная нетривиальная группа С. Очевидно, что суще- ствует собственная подполугруппа прямого произведения CxN, не изоморфная группе С, но содержащая подгруппу, изоморфную группе С, которая не расщепляема. Таким образом, расщепляемому псевдомногообразию конечных полугрупп не могут одновременно принадлежать нетривиальные полные группы и нильполугруппы. Аналогично, можно показать, что расщепляемому псевдомногообразию не могут одновременно принадлежать нетривиальные полные группы и полурешетки.

Из предложения 2.1.2 следует, что связка архимедовых полугрупп будет редуцированной тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных полных подгрупп. Из отсутствия в X . нетривиальных полных групп, вытекает редуцированность псевдомногообра зия X. Предположим, что псевдомногообразию X, состоящему из архимедовых полугрупп, принадлежит нетривиальная полная группа. Тогда X не принадлежат нильполугруппы. Так как любая конечная архимедова полугруппа является нильрасширением вполне простой полугруппы [25, с. 104], любая полугруппа псевдомногообразия X является расщепляемой вполне простой полугруппой. Ввиду леммы 3.2.3 псевдомногообразие X должно удовлетворять условию 2) теоремы. w Обратно, если X - редуцированное псевдомногообразие, то есть любая полугруппа этого псевдомногообразия является редуцированной, то X расщепляемое псевдомногообразие. По лемме 3.2.3 псевдомногообразие по лугрупп, удовлетворяющее условию 2) теоремы, также является расщепляемым. D А\ Для комбинаторных полугрупп получаем Следствие 3.2.5. Псевдомногообразие X конечных комбинаторных полугрупп является расщепляемым тогда и только тогда, когда X -редуцированное псевдомногообразие конечных комбинаторных полугрупп. Описание расщепляемых псевдомногообразий конечных групп нам неизвестно. Приведем лишь некоторые примеры таких псевдомногообразий. Предварительно докажем утверждение о прямом произведении полных конечных

Псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом

В любой полугруппе существует наибольшая полная россыпь [19], которая в общем случае не является конгруэнц-допустимой. Если же она кон-груэнц-допустима и факторполугруппа по соответствующей конгруэнции редуцирована, то эта полугруппа является расширением полной россыпи с помощью редуцированной полугруппы. Если любая полугруппа из псевдомногообразия обладает указанным свойством, то в этом псевдомногообразии определен строгий радикал (в смысле Куроша [10]), где класс радикальных полугрупп состоит из полных полугрупп, а класс полупростых - из редуцированных полугрупп. Как отмечалось во введении, псевдомногообразие всех конечных полугрупп этим свойством не обладает. В этом параграфе опис ваются псевдомногообразия конечных полугрупп, обладающие полным радикалом. Лемма 3.3.1. Конечная полугруппа, являющаяся полурешеткой групп, обладает полным радикалом.

Доказательство. Пусть S = (J Ga - конечная полугруппа, являющая ся полурешеткой групп, Ca=C(Ga) - полный радикал группы Ga и pa:Ga- Ga/Ca (aeY) - естественный гомоморфизм. На полугруппе определим отношение а, полагая acrb, если найдется такое aeY, что a, beGa и (ра (a) = ра (b). В дальнейшем элементы группы Ga будем обозначать аа, Ъа, и т. д. Очевидно, что а является эквивалентностью. Докажем правую стабильность отношения т. Пусть aacrba, g eGp и afi = y. Рассмотрим два возможных случая. 1. Предположим, что аа, ЬаеСа. Отображение Wa r(aa) = aaer, где еу - единица группы Gy, является гомоморфизмом группы Ga в Gy [3, с. 171]. Поскольку гомоморфный образ полной группы является полной группой, для любого элемента аа полной группы Са и любого идемпотента еу элемент ааеу принадлежит Gy. Следовательно, (ру(ааеу) = (ру{Ъаеу). Так как 2. Пусть аа, Ьа Са.Так как полная подгруппа Са является нормальным делителем всей группы Ga, элементы аа и принадлежат одному смежному классу по нормальной подгруппе Са. Пусть аа, Ьае хаСа. Тогда аа = хаса К =хас а И ЗЛЄМЄНТЬІ Са И с\ Принадлежат ПОЛНОЙ Группе Са. Поскольку aagp = aaeygpey = xacaeygpey = xaeycaeygpey, аналогично, Аналогично доказывается стабильность слева. Следовательно, отношение и является конгруэнцией на полугруппе S, и классами этой конгруэнции, являющимися подполугруппами, являются полные группы. В полугруппе S/сг полных подгрупп нет, следовательно, S/o - редуцированная полугруппа. Таким образом, в конечной полугруппе, являющейся связкой групп, существует полный радикал. Лемма 3.3.2. Пусть S - конечная полугруппа, являющаяся полурешеткой архимедовых полугрупп. Полугруппа S обладает полным радикалом тогда и только тогда, когда для любой полной подгруппы G полугруппы S и любых элементов aubwGucusS таких, что элементы ас, be, са, cb принадлежат множеству GrS, имеют место равенства S ca = S cb и Доказательство. Пусть S - [jSa - конечная полугруппа, являющаяся полурешеткой архимедовых полугрупп. Необходимость. Пусть полугруппа S обладает полным радикалом, то есть наибольшая полная россыпь C(S) конгруэнц-допустима, и для конгруэнции p = Pc(s) фактор-полугруппа Sip редуцирована. Любая подполугруппа полурешетки архимедовых полугрупп сама является полурешеткой архимедовых полугрупп.

Легко понять, что полурешетка архимедовых полугрупп будет полной только, если она является полной группой. Значит, любая максимальная полная группа обязана быть классом конгруэнции р, и других классов конгруэнции р, являющихся подполугруппами, в полугруппе S нет. Заметим сначала, что групповые элементы х и у, находящиеся в отношении р, обязаны попадать в одну и ту же максимальную подгруппу полугруппы S и, следовательно, быть эквивалентными. В самом деле, предположим, что xeGe, yeGf, где Ge, G, - максимальные подгруппы полугруппы S с различными единицами ей/. Обозначим через тип порядки элементов х и у соответственно. Поскольку р - конгруэнция на полугруппе S, из х р у следует, что хт"рутп, то есть epf. Отсюда следует, что существует р -класс, который содержит два различных идемпотента еи/,а это противоречит тому, что ядро конгруэнции р состоит из полных подгрупп полугруппы S. Пусть элементы а и b принадлежат одной и той же полной подгруппе G полугруппы S. Тогда ар Ь. Поскольку р - конгруэнция на полугруппе S, для любого элемента с полугруппы S элементы са и cb, а также элементы ас и be находятся в отношении р.

Отсюда следует, что если элементы са, cb, ас и be принадлежат множеству Gr S, то элементы са и cb, а также элементы ас и be, ввиду сделанного выше замечания, /"-эквивалентны. Сле довательно, caLcb и ас %, be, то есть выполняются равенства S ca-S cb и Достаточность. Пусть для любой полной подгруппы G полугруппы S и любых элементов аиЬ из GHC из S таких, что элементы ас, be, са, сЪ принадлежат множеству Gr S, имеют место равенства Slca = Slcb и acS = bcS . Напомним, что любая полугруппа Sa, будучи архимедовой, является нильрасширением вполне простой полугруппы Ва [25, с. 104]. Пусть Ga - ее структурная группа, Са =C(Ga) - полный радикал группы Ga и (pa:Ga - Ga/Ca - естественный гомоморфизм. По теореме Риса любая вполне простая полугруппа Ва изоморфна рисовской полугруппе матричного типа M(Ga;Ia,ha ,Pa) с сэндвич-матрицей Ра [3, с. 131]. Легко показать, что отображение fa{xa;ia,ja) = {(pa{xa);ia,ja) является гомоморфизмом вполне простой подполугруппы Ва полугруппы Sa на вполне простую полугруппу 9d{GaICa;la,ka;Pa) с разрешимой структурной группой GaICa над сэндвич-матрицей Ра , элементами которой являются гомоморфные образы элементов матрицы Ра при гомоморфизме (ра.

Похожие диссертации на Полные, редуцированные и примарные конечные полугруппы

Полугруппы, являющиеся Z-объединением полугрупп БрандтаАрапина-Арапова Елена Сергеевна

Полугруппы изотонных преобразований частично упорядоченных множествКим Виктор Иргюевич

Полугруппы частичных и многозначных изотонных преобразованийЯрошевич Владимир Александрович