Полиномиальные соотношения в полукольцах Богданов Илья Игоревич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Богданов Илья Игоревич. Полиномиальные соотношения в полукольцах : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.06 : Москва, 2004 72 c. РГБ ОД, 61:04-1/547

Содержание к диссертации

Введение

1 Нильпотентность ниль-полуколец и ниль-почтиколец 14

1.1 Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец 14

1.2 Локальная ненильпотентность ниль-почтиколец 22

2 Алгебраические расширения полуполей 33

2.1 Решения алгебраических уравнений в полутелах 33

2.2 Общие сведения об алгебраических расширениях . 37

2.3 Существование расширения 38

2.4 Расширения идемпотентных полуполей 42

2.5 Расширения сократимых полуполей 45

3 Общая теория полутел 51

3.1 Аддитивная структура полутела 51

3.2 Теорема коммутативности для полутел 56

4 Скрытые полукольца матриц 61

4.1 Критерии для матричных полуколец 61

4.2 Существенность дополнительных условий 67

Литература 69

Локальная ненильпотентность ниль-почтиколец
Расширения идемпотентных полуполей
Теорема коммутативности для полутел
Существенность дополнительных условий

Введение к работе

В последние десятилетия одной из активно развивающихся областей общей алгебры стала являться теория полуколец. Отчасти это связано с сильной компьютеризацией и, соответственно, возросшими потребностями теории алгоритмов. Полукольца находят также применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления и других разделах математики. Видимо, впервые понятие полукольца в явном виде появилось в работе Вандивера [23] в связи с аксиоматизацией арифметики. Отдельного упоминания заслуживает такая хорошо развитая область, как идемпотентный анализ (см., например, [4]). Отметим также книги Голана [7] и Хебиша и Вайнерта [8], содержащие большой материал по теории полуколец, бесчисленное множество примеров и обширную библиографию. В России теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики; их исследования в основном посвящены развитию функционального подхода к полукольцам. Стоит отметить выпущенные ими книги [1, 6] и несколько защищенных диссертаций [10, И, 12, 13].

При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории полугрупп или теории колец. Многочисленные примеры можно найти в книге [7]. Данная диссертация также в большой степени посвящена подобным результатам.

Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности (см. [19, 21]), была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка гласит, что кольцо без п!-кручения, удовлетворяющее тождеству х^п = О, нильпотентно индекса 2^П — 1 [2, Следствие 6.1.1]. Из известной теоремы Левицкого [2, Следствие 5.1.2] вытекает локальная

нильпотентность ниль-колец ограниченного индекса.

А. Я. Белов в [14] исследовал нильпотентность конечнопорожденн-ых ниль-полуколец (общего вида). В указанной работе получены следующие оценки, ^-порожденное полукольцо с тождеством х^п=0 нильпо-тентно степени не выше 2^п+1п³ [14, Теорема 5]. ^-порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество х^п = О, нильпотентно степени не выше п^п 2^п+1п³ + п [14, Следствие 9]. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по п) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.

В главе 1 диссертации даны ответы на оба вопроса. В параграфе 1.1 показано, что полукольца общего вида с тождеством х^п = 0 локально нильпотентны, а при условии отсутствия п!-кручения нильпотентны; при этом оценки индекса нильпотентности совпадают с соответствующими оценками для колец. В частности, это дает положительный ответ на первый из процитированных вопросов.

В параграфе 1.2 показано, что почтикольца с подобным тождеством не обязаны быть нильпотентными даже при условии коммутативности сложения. Именно, в этом параграфе построены примеры 2-порожденной ненильпотентной ниль-почтиалгебры индекса 2 над произвольным полем, состоящем больше, чем из двух элементов, а также однопорожд-енного ненильпотентного ниль-почтикольца индекса 2. Таким образом, ответ на второй вопрос отрицателен.

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все ^-группы (если (G, -, V, Л) - ^-группа, то (G, V, ) U {0} и (G, Л, ) U {0} — полуполя [25]). Следующие две главы диссертации посвящены исследованию полутел.

оле. Пользуясь его результатами, Е. М. Вечтомов и А. В. Ряттель построили (мономиальное) алгебраическое замыкание идемпотентного по-луполя и доказали его единственность. В главе 2 исследуются решения алгебраических уравнений в полуполях и полутелах. В частности, исследуется возможность расширить полуполе корнем уравнения Р{х) = Q(x).

В параграфе 2.1 исследуются уравнения над произвольным полутелом. Выделен класс строгих уравнений, множеством решений которых является не более чем один класс сопряженности. В частности, любое мономиальное уравнение (т. е. уравнение вида Р(х) = а, где а ^ О, Р{х) — многочлен без свободного члена) является строгим.

В параграфе 2.2 собраны общие сведения об алгебраических расширениях полуполей. В параграфе 2.3 показано, что всегда существует (универсальное) расширение полуполя корнем мономиального уравнения. В параграфе 2.4 эти результаты уточняются для идемпотентных полуполей. Наконец, в параграфе 2.5 исследуются расширения сократимых полуполей.

Локальная ненильпотентность ниль-почтиколец

Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности (см. [19, 21]), была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка гласит, что кольцо без п!-кручения, удовлетворяющее тождеству хп = О, нильпотентно индекса 2П — 1 [2, Следствие 6.1.1]. Из известной теоремы Левицкого [2, Следствие 5.1.2] вытекает локальная нильпотентность ниль-колец ограниченного индекса.

А. Я. Белов в [14] исследовал нильпотентность конечнопорожденн-ых ниль-полуколец (общего вида). В указанной работе получены следующие оценки, -порожденное полукольцо с тождеством хп=0 нильпо-тентно степени не выше 2п+1п3 [14, Теорема 5]. -порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество хп = О, нильпотентно степени не выше пп 2п+1п3 + п [14, Следствие 9]. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по п) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.

В главе 1 диссертации даны ответы на оба вопроса. В параграфе 1.1 показано, что полукольца общего вида с тождеством хп = 0 локально нильпотентны, а при условии отсутствия п!-кручения нильпотентны; при этом оценки индекса нильпотентности совпадают с соответствующими оценками для колец. В частности, это дает положительный ответ на первый из процитированных вопросов.

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все -группы (если (G, -, V, Л) - -группа, то (G, V, ) U {0} и (G, Л, ) U {0} — полуполя [25]). Следующие две главы диссертации посвящены исследованию полутел.

Исследования алгебраических уравнений в полуполях были начаты X. И. Вайнертом в статье [27] И касались в основном числовых полуполей, т. е. подполуполей в Ж. Толчком к дальнейшим исследованиям в этой области послужил идемпотентный анализ. Г. Б. Шпиз в заметке [16] исследовал решение алгебраических уравнений в идемпотентном полуп оле. Пользуясь его результатами, Е. М. Вечтомов и А. В. Ряттель построили (мономиальное) алгебраическое замыкание идемпотентного по-луполя и доказали его единственность. В главе 2 исследуются решения алгебраических уравнений в полуполях и полутелах. В частности, исследуется возможность расширить полуполе корнем уравнения Р{х) = Q(x).

В параграфе 2.1 исследуются уравнения над произвольным полутелом. Выделен класс строгих уравнений, множеством решений которых является не более чем один класс сопряженности. В частности, любое мономиальное уравнение (т. е. уравнение вида Р(х) = а, где а О, Р{х) — многочлен без свободного члена) является строгим.

Глава 3 посвящена общей теории полутел. Многие исследователи отмечали, что класс полутел не ограничивается сократимыми и идемпотен-тными полутелами; см., например, [20, 24]. В параграфе 3.1 показано, что любое полутело можно представить в виде цепочки расширений, в которых участвуют лишь идемпотентные и сократимые полутела (при этом понятие морфизма приходится немного обобщить). Заметим, что позже А. Н. Семенов [15] показал, что любое полутело представляется в виде расширения сократимого полутела при помощи идемпотентного; при этом все отображения в этом расширении являются морфизмами.

В книге И. Херстейна [5] приводятся несколько теорем, утверждающих коммутативность кольца при некоторых на первый взгляд более слабых условиях. Начиная с теоремы Веддербарна, утверждающей коммутативность конечного тела, автор затем переходит к гораздо более общим результатам. Так, кольцо, не содержащее ненулевых ниль-идеалов, коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х), что хп№ централен (Капланский-Херстейн). Другой результат: кольцо коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х) 1, что хп( = х (Джекобсон). В параграфе 3.2 исследована возможность обобщить эти результаты на полутела и полукольца. с

Расширения идемпотентных полуполей

Для каждого полукольца S существует его кольцо разностей sA и морфизм полуколец гЛ : S — 5Л такие, что любой морфизм S в кольцо R пропускается через SA. При этом Кег гЛ = {(а, 6) 3с : а + с = 6 + с}. См. [7, Chapter 7]. Пусть S — полукольцо с единицей. Подмоноид А Є (5, ) называется левым множеством Оре, если выполнены следующие свойства: (1) Для любых а Є A, s Є S существуют такие а Є A, s Є 5, что a s — s a; (2) Если при некоторых s,s Є S, a G А выполняется соотношение sa = s a, то существует такой элемент a Є А, что a s — a s . Если A — левое множество Ope в полукольце S, то (классическое) левое полукольцо частных A lS полукольца S относительно А строится следующим образом. На множестве А х S вводится отношение эквивалентности (a, s) (а , s ) =Ф- Зи, и Є S : us = u s Aua = и a Є A. Тогда A lS = ((Л x )/ ,+, ), где операции определены следующим образом (через a ls обозначен класс эквивалентности (a, s)). Существует естественный морфизм (р : S — Л-1, , определенный формулой /?(s) = l-1s. При этом (/? является вложением тогда и только тогда, когда на элементы А можно сокращать, т.е. sa = s a =Ф 5 = s . В частвости, ц есть вложение в полукольцо частных [S \ {0})-15 тогда и только тогда, когда S мультипликативно сократимо. Обычно последнее полукольцо записывают S S, имея в виду, что при А Э О, если возможно (т.е., если моноид А не содержит делителей нуля), через A lS обозначают (А \ {О})-1 . Полукольцо частных A S характеризуется следующим универсальным свойством. Пусть 7 : S — Т — морфизм полуколец, при котором все элементы 7( ) обратимы в Т. Тогда этот морфизм продолжается до 5 : A lS — Т единственным образом. Подробности см. в [7, Chapter 10]. Правые полукольца частных определяются абсолютно аналогично. Полукольцо S называется полукольцом без нулевых сумм, или БНС-полукольцом, если для любых х,у Є S из условия х + у = 0 следует х = у = 0. Назовем БНС-полукольцо S полутелом, если S = S\{0} является группой по умножению (в частности, S — полукольцо с единицей). Полутело называется полуполем, если умножение в нем коммутативно. Минимальным полутелом является булево полутело В = ({0,1}, max, min) (любое полутело на него отображается). Еще два наиболее простых примера — это Q+ с обычными операциями и "shedule algebra" (Ш U {—со}, max, +). Более сложный пример можно получить из множества автоморфизмов любой цепи (рассматриваемой как полугруппа с операцией взятия максимума), присоединив к нему ноль. Накладывая требование отсутствия нулевых сумм, мы исключаем из класса полутел только тела, поскольку из обратимости по сложению одного ненулевого элемента такого "обобщенного" полутела следует обратимость всех элементов. Таким образом, если S — полутело, то множество S замкнуто относительно сложения. Некоторые авторы (см., например, [28]) не требуют от полутела отсутствия нулевых сумм, оставляя за БНС-полутелами название собственных полутел. Поскольку S замкнута относительно сложения, можно исключить из определения полутела требование существования нуля, заменяя его требованием обратимости всех элементов; путем "выкидывания" или внешнего добавления нуля легко перейти от одного из этих определений к другому. В категории полутел существуют морфизмы, не являющиеся вложениями. Так, например, существует морфизм из любого полутела в полутело В, переводящий 0 в 0, а все ненулевые элементы в 1. На любом полутеле S можно ввести частичный порядок следующим образом: х + у = За Є S : х + а = у; см. [7, Proposition 18.24]. В категории полутел существуют произведения. Именно, легко видеть, что произведением семейства полутел {S?}, і Є X (мы используем вариант определения без нуля) будет множество (Yliex i) = Yliel i с операциями, определенными покомпонентно. В диссертации А. В. Ряттель [12] эта конструкция названа почти прямым произведением полутел.

Для любого полутела S существует единственный морфизм (fs : Q+ — S; при этом, если для некоторых 21 2 их образы совпадают, то ip(mq) = (f(pn); тогда в конечной аддитивной полугруппе (N) существует идемпотент (p(d), откуда Is + Is = Is и полутело S идем-потентно. Видим, что Q+ вкладывается в любое неидемпотентное полутело S (и отображается в подполутело, изоморфное В, если S идемпо-тентно). В дальнейшем, если не возникает путаницы, будем обозначать образы элементов из Q+ так же, как и сами эти элементы; при необходимости будем добавлять индекс S, подчеркивающий, что берется образ в полутеле S.

Пусть D[x] — полукольцо многочленов над D; D{x) — полуполе частных полукольца D[x], ср : D[x] — D{x) — канонический морфизм. В дальнейшем мы будем называть D(x) полуполем рациональных функций над D. Морфизм ср является вложением тогда и только тогда, когда D[x] мультипликативно сократимо, что, согласно результатам А. В. Ряттель [12], равносильно сократимости D. Следовательно, ср — вложение тогда и только тогда, когда D вложимо в кольцо. Тем не менее, V IXJ всегда вложение.

Теорема коммутативности для полутел

Лемма 2.3. Пусть F — подполе в Ш, D = F+ — F П Ш+ — полуполе. Полуполе D(x) вкладывается в F(x). При этом многочлен Q{x) Є F[x] лежит в D(x) тогда и только тогда, когда Q{x) 0 для всех 0 х Є Доказательство. Первое утверждение следует из свойств полуколец частных и того, что D[x] вкладывается в F[x].

Если многочлен Q(x) Є D(x), то Q(x) = R(x)/S(x), R,S Є D[x], и Q принимает положительные значения, поскольку это верно для R, S. Пусть Q(x) Є F[x] — многочлен, принимающий положительные значения при 0 х Є R. Покажем сначала, что существует многочлен R(x) Є Ш+[х] такой, что у QR все коэффициенты неотрицательны. Поскольку Q(x) раскладывается на линейные и квадратичные множители (над Е), достаточно это проверить лишь для многочленов S степени 2. Если degS(x) = 1, то S(x) = х + Ь, и из знакопостоянства получаем Ь О, S уже имеет требуемый вид. Если же degS (a:) = 2, то S(x) = х2 + ах + Ь, его корни либо отрицательны (тогда коэффициенты положительны), либо комплексны (тогда а2 46). Пусть а 0. Положив х = y/by, можем считать, что b — I, \а\ 2. Положим So(x) = S(x), S[(x) = S0{x)S0{-x). Тогда Si(x) = x4 + (2 - a2)x2 + 1 = Qi(x2), где Si(x) = x2 + (2 — a2)x + l. Повторяя эту процедуру, будем находить такой многочлен Sj+i — х2 + dj+ix + 1, что Sj+i(x2) = Sj(x)Sj(—x). При этом dj+i = 2 — а2. Если —2 aj 0, то aj 2 — а , поэтому последовательность (а,-) возрастает. При этом, если а всегда отрицательны, то она должна иметь предел 2 а 0. Но а должен удовлетворять уравнению а = 2 — а2 Ф=Ф- (а + 2) (а — 1) = 0, что невозможно. Итак, при каком-то j aj 0, и мы получили искомый многочлен.

Итак, для Q(x) мы получили многочлен R(x) Є Ш+[х] (пусть degQR = N) такой, что у QR все коэффициенты неотрицательны. Умножив на 1 + х + + xN l, получим, что у нового многочлена они положительны, и положительны коэффициенты у R\(x) = R(x)(l + Х + \-xN_1); это условие записывается в виде системы строгих неравенств на коэффициенты R\(x) (degi?i 2N — 1), поэтому множество таких многочленов открыто в (l,x,...,xdeeRl)m = ]$}+&&Ri. Теперь из того, что F1+degRl плотно в Е1+с1ееДі, получаем, что существует многочлен Яг Є F+ [х] такой, что все коэффициенты QR2 положительны. D Теорема 2.5. Пусть F — подполе в R, D = F+ = F П Ш+ — полуполе. Тогда расширение полуполя D корнем любого мономиалъного уравнения единственно и имеет вид F + для некоторого алгебраического расширения F С F С R. Доказательство. Пусть Р(х) = 1 — мономиальное уравнение над D. Рассмотрим цепочку (2.5). Поскольку все полукольца, участвующие в ней, аддитивно сократимы, каждое из них вкладывается в свое кольцо разностей, и морфизмы полуколец продолжаются до гомоморфизмов колец. При этом, (D)A — F, (D(x)) = S xF[x] — кольцо частных по мультипликативной системе S — D[x] \ {0}. Ясно, что в ядре индуциров анного гомоморфизма (D(x)) — (D(x)/ )u лежит Р(х) — 1; с другой стороны, D{x)/tt должно по утверждению 2.5 отображаться на образ D(x) при факторизации по идеалу {Р(х) — 1), поэтому (D(x)/ )A = S-1F[x]/(P(x)-l). Пусть существует другое расширение D корнем Р{х) — 1. В силу следствия 2.7 можно считать D сократимым; следовательно, эпиморфизм D(x)/ —» D продолжается до эпиморфизма S lF[x\/{P(x) — і) — (D )A, сохраняющего F. Следовательно, для доказательства требуемого утверждения достаточно показать, что S- F[х]/(Р(х) - 1) является полем, т.е. идеал [Р{х) — l) е F[x] максимален (расширение и сужение берутся относительно вложения F[x] — S lF[x]). Пусть Р(х) — 1 = Pi(x) Pkix), многочлены Р{{х) неприводимы над DA. Нам достаточно показать, что все Pi, кроме одного, обратимы в S lF[x]. Из правила знаков Декарта вытекает, что у многочлена Р{х) — \ не более одного корня (одинарной кратности) в R+; поскольку Р{0) 1, то один корень есть. Пусть это корень многочлена Рк(х); тогда остальные знакопостоянны на М+ \ {0}. По лемме 2.3 они лежат в D(x), что и требовалось. Наконец, для доказательства последнего утверждения заметим, что, согласно правилу знаков, любой многочлен из S не может делиться на Pk\ поэтому существует гомоморфизм ф : S lF[x)/(P{x) — і) — F[x]/(Pk(x)). При этом по доказанному выше ф\п(х)/& изоморфизм, поэтому ф является и изоморфизмом (D(a;)/ )A = S 1F[x\/( P(x) — і), а образом его, очевидно, является все F = F[x]J(Pk{xj), которое мы будем считать вложенным в R, х отображается в положительный корень а многочлена Рк{х). Осталось показать, что ф(П(х)/ ) = F +. Ясно, что ф(Б(х)/ ) С F +. Наоборот, пусть Q(a) Є F +, Q(x) Є F[x). Можно считать, что degQ deg Рк , тогда у многочлена Q(x) + Рк(х) старший коэффициент положительный, и мы заменим Q на Q + Рк- Поскольку Рк(х) ф 0 при х Є №.+ \ {a}, Q(x) 0 в окрестности точки а и limx_,+00 Q{x) = -foo, то можно выбрать такую константу С 0, что при прибавлении к Q{x) многочлена СР%(х) получается многочлен с положительными зн ачениями на М.+, который по лемме 2.3 лежит в D{x)\ поэтому Q(a) = Q(a) + СРІ(а) Є D, QED. Следствие 2.8. Мономиалъное замыкание полу поля вида F+, где F — подполе в R, единственно. Тем не менее, расширение полуполя корнем мономиального уравнения может быть неединственным даже для полуполя, кольцо разностей которого есть поле. Пусть Q+(y/2) — расширение Q+ корнем уравнения х2 = 2; нетрудно проверить, что Q+(\/2) = (Q[\/2])+. Обозначим через Q+[—\/2] образ Q+[\/2] при автоморфизме Q[\/2], переводящем Утверждение 2.14. Пусть D = Q+[\/2]nQ+[—у/2]. Тогда существуют неизоморфные над D расширения полуполя D корнем уравнения х2 = 2. Доказательство. Заметим, что А/2 . D, т.к. иначе и что противоречит отсутствию нулевых сумм. Нетрудно понять, что D = {а Є 0[л/2] CL,ip(a) 0}, где (р — неединичный автоморфизм Q[ /2]. В частности, Рассмотрим в Q[\/2] подполуполя D(\/2) и (-л/2). Они не совпа дают по той же причине. Более того, в D(—y/2) корень нашего уравнения х = — у/2 удовлетворяет соотношению х + (2 — л/2) = 2, а в D(y/2) — нет. Поэтому они неизоморфны над D.

Существенность дополнительных условий

Замечание. Из последнего абзаца видно, что из наличия разложения 1 = Y!k=\ xk,Xk h следует хк = Xkfn hafk l = l-fn-fcafk 1, то есть из (4) следует (2) с теми же а и /. Тогда можно записать разложение любого элемента в сумму элементов идеала так:

Следствие 4.1. Если выполняются условия (4) (или "более сильные" условия (2) или (3)), то мооюно в явном виде выписать матричные единицы в виде eij — /г_1а/п -?. Доказательство. Видим, что на самом деле из выполнения одного из условий (2), (3) или (4) следуют остальные при тех же а и /. Тогда для выписанных выше элементов eij равенства е еы = 5jk&u вытекают из равенств /п = 0 (при j к), а/ка = О,0 к п — 2 (при j к) Теорема 4.4. Для произвольного полукольца R эквивалентны следующие условия: (1) R изоморфно полукольцу матриц Mn(S) над некоторым полукольцом S; (2) существуют элементы х,у Є R такие, что хп = у2 = О, хп 1 ф О, элемент х + у обратим, 1в.{хп 1) П Ry = (0), где IR{XU 1) есть левый аннулятор хп г, и Ry — полустрогий левый идеал; ( ) "t (3) существуют элементы х,у Є R такие, что хп = у2 = 0, хп ф 0, элемент х-\-у обратим, lii{xn l) П Ry = (0) и угх = 0, г=(х + у) 1. ( ) Доказательство. (1) =Ф- (5). Пусть Д = Mn(S). Выберем в полукольце R элементы х = YA=I etf+i» У — еп\- Тогда хп = у2 = 0, ж"-1 Ф 0. ЕСЛИ Г = Є\п + Х)Г=1 ег+1,г т0» как ЛЄГКО ВИДетЬ, Г{Х + у) = {х + /)r = 1. Далее, гсп_1 = еіп, поэтому 1к{хп 1) есть множество матриц с нулевым первым столбцом; с другой стороны, Ry есть, как легко видеть, множество всех матриц, у которых все столбцы, кроме, может быть, первого, нулевые. Поэтому в матрице из /л(гсп_1) П Ry все столбцы нулевые, что и требовалось. Наконец, если а,а + Ъ Є Ry, а у матрицы 6 г -й столбец — ненулевой (г 2), то при сложении с нулевым столбцом матрицы а он тоже даст не ноль, чего не может быть. Прежде, чем доказывать остальные импликации, выведем несколько следствий из условий, общих для условий (2) и (3). Если г = (я + у)-1, то я = яг(я + у) = ягя + ягу, 0 = хп = х хп 1 — хтх xn l + ягу хп-\ _ д. . - откуда ягу Є /д(яп_1) П Ry, т.е. ягу = 0. Теперь имеем х = хг(х + у) = ягя + ягу = ягя и у = (я + у)гу = хгу + угу = угу. (2) = (3). Так как Ry полустрог, то из равенства угя + угу = у следует угя Є Ry. Но, кроме того, угя Є я(яп_1), поэтому угх = 0. (3) =Ф- (і). Пусть я, у Є Л удовлетворяют условиям (3), т = (х + у) 1, то есть тх + ту — 1, (4.4) яг + yr = 1. (4.5) Докажем предварительно две вспомогательные леммы. Обозначим для удобства Т = ls(xn l) CtRy= (0). Лемма 4.2. угку = 0 и угкхк = 0 при 2 & п. Доказательство. Докажем утверждение леммы индукцией по к. При к = 2, умножая я"-1 на (4.4), имеем ryxn l = хп 1. Поэтому уг2у xn-i _ уГХп-і _ Г2.. д.п-2 _ Q откуда уг2у Є Т, т.е. yr2y = 0. Теперь уг2х2 = уг2у я + уг2я2 = уг г(я + у) я = угя = 0. База индукции доказана. Пусть при 2 к m п утверждение верно. Тогда имеем yrmy хп-\ _ уГт-1 . ГуХп-1 _ уГт-1хп-\ _ Q п0 прєдположєнию индукции, откуда угту Є Т. Теперь уттхт — угту-хт 1-\-уттхт — yrm 1-l-xm l = уГт-\хт-\ = 0 по Тому ЖЄ Прєдположєнию. П Лемма 4.3. При 0 і j п—1 выполняются равенства ту-хгг3-ту = Sijry и хггг ту — ту. Доказательство. Индукция по г. Если і = 0, то при ,7=0 первое равенство следует из угу — у, а при 1 j п — 1 — из леммы 4.2; второе же равенство обращается в тождество. Пусть 0 г п — 1, и для всех меньших значений і утверждение леммы верно. Тогда имеем 5{jTy = ту хг 1т3 1 ту = гуяг-1(яг + ут)т3 1ту = = тухіт3ту + ryx3 l утг+1у = тух т3ту, что доказывает первое из требуемых равенств (Мы пользовались (4.5) и леммой 4.2). Аналогично, ту = хг 1гг 1гу = хг 1(хг + уг)гг 1гу = хггггу + хг 1 угг+1у = хгуггу. п Приступим теперь к доказательству собственно импликации. Пол ожим a = rny, b = г, / = х. Тогда /п = хп = О, bf + fn la = rx + xn 1rn lry = rx + ту = 1 по лемме 4.3, и при 0 к п — 2 afka = rn_1 ryxkrn lry = 0 по той же лемме. Таким образом, для по лукольца R выполняется условие (4) теоремы 4.3, а, следовательно, и условие (1) этой теоремы. Следствие 4.2. Ясно, что в этом случае мы также можем выписать матричные единицы в виде Замечание. Если R — кольцо, то условие (2) теоремы 4.4 совпадает с условием (2) теоремы 4.2, так как идеалы кольца как кольца и как полукольца совпадают, причем все они — полустрогие. В теоремах 4.3 и 4.4 появились дополнительные по сравнению с кольцевым случаем условия ( ), ( ) и ( ). В данном разделе обсуждается, действительно ли они необходимы. Пример. Покажем, что условие ( ) в теореме 4.3 является существенным: без выполнения его полукольцо может оказаться неизоморфным полному полукольцу матриц. Так как условие (2) в этой теореме — наиболее сильное из (2)-(4), достаточно проверить существенность условий лишь в этом случае. Пусть п 2, Nn = ({0,1,... ,n},max) — коммутативный моноид с нейтральным элементом 0, Rn = End Nn. Отметим, что отображение / : Nn — Nn тогда и только тогда является элементом Rn, когда оно сохраняет порядок и переводит 0 в себя. Поэтому обратим в Rn лишь тождественный эндоморфизм, поэтому оно не может быть изоморфным полукольцу матриц. Выберем элементы a,f Є Rn следующим образом: а(0) = /(0) = 0, при т/0 а(га) = п, /(га) = т — 1. Тогда fn = 0, fn kafk 1(m) = к при т к, fn kafk 1(m) = 0 иначе; поэтому afn l Л Ь fn la = 1, и первые два условия пункта (2) теоремы 4.3 выполнены. В теореме 4.4, напротив, можно показать, что при малых п условия ( ), ( ) избыточны. Утверждение 4.2. Если в полукольце R существуют элементы х, у такие, что хп = у2 = 0, хп 1 0, элемент х + у обратим, (я""-1) П Ry — (0), и п = 2 или п = 3, то R = Mn(S) для некоторого полукольца S. Доказательство. Согласно теореме 4.4, достаточно показать, что при этих условиях угх = 0, где г = (х + у) 1. Прежде всего заметим, что при любом п гху = гху + ту2 = у, поэтому угху = у2 = 0. При п = 1 отсюда следует угх = yrx(x+y)r = yrxyr = y-rx-yr+y-ry-yr = у2т = 0, что и требовалось. Если же п = 3, то rx = rx(xr + yr) = rx2r + rxyr = rx2r-\-yr, откуда 0 = rx3 = {yr-\-rx2r)x2 = yrx2+rx-xrx-x = yrx2-\-rx3 = угх2, так как хтх = х. Теперь угх = yrx2r + yrxyr = 0 + 0 = 0. D Вопрос о существенности условий ( ), ( ) при п 3 остается на настоящий момент открытым.