Введение к работе
Актуальность темы исследования. Полигоны над полугруппой, т.е. множества, на которых действует полугруппа, возникают в разных разделах алгебры и ее приложений. Понятие полигона является алгебраическим выражением понятия автомата, (точнее, автомата Мура, т.е. автомата без выхода). Это означает, что все работы по алгебраической теории автоматов можно рассматривать как относящиеся к теории полигонов. Если обычный полигон над полугруппой является алгебраической интерпретацией автомата, то мультиполигоны можно интерпретировать как автоматы с несколькими входными алфавитами. Теория полигонов является довольно молодым разделом общей алгебры, имеющим гораздо менее богатую историю, чем многие другие разделы, а теория мультиполигонов вообще находится на начальной стадии развития. Поэтому разработка этих теорий представляется актуальной математической задачей.
Понятие полигона над полугруппой аналогично понятию модуля над кольцом, ввиду чего теория полигонов развивалась под большим влиянием теории колец и модулей. Гомологическая классификация колец, т.е. исследование свойств кольца по свойствам категории модулей над этим кольцом, вызвала аналогичные вопросы в теории полигонов. По аналогии с модулями рассматривались артиновы и нетеровы, инъективные и проективные, плоские и свободные полигоны и т.д. Этими вопросами занимались многие математики России и зарубежья: М. Кильп,5, В. Фляйшер, П. Нормак (Эстония), Л. А. Скорняков,
А. В. Михалев, И. Б. Кожухов (Россия), У. Кнауэр, С. Буллман-Флеминг, М. Петрич и др. И. Б. Кожухов исследовал подпрямо неразложимые полигоны, т.е. полигоны, не разложимые в нетривиальное подпрямое произведение. Он доказал, что если порядки всех подпрямо неразложимых полигонов над полугруппой ограничены в совокупности, то полугруппа периодическая. Все подпрямо неразложимые полигоны состоят не более чем из двух элементов тогда и только тогда, когда полугруппа является полурешеткой.
В теории групп широко известной и развитой является теория представлений групп, причем рассматривались как линейные представления (т.е. представления линейными отображениями векторных пространств), так и представления подстановками (взаимно однозначными отображениями множества в себя). Аналогично этому рассматриваются представления полугрупп: как линейные представления, так и представления преобразованиями (не обязательно взаимно однозначными) множества. Теория представлений полугрупп тесно связана с теорией полигонов.
В работе В. И. Кима полугруппа изотонных отображений конечной цепи в конечную цепь рассматривалась как биполигон над полугруппами слева и справа. Было доказано, что биполигон порожден одним элементом.
Если полугруппа или семейство полугрупп имеют простое строение, то полигоны или мультиполигоны над ними могут быть описаны. В работе А. Ю. Авдеева и И. Б. Кожухова было получено в теоретико-множественных терминах полное описание полигонов над прямоугольной связкой. В качестве следствий из этой теоремы получались описания полигонов над полугруппами левых и правых нулей. В другой работе этих же авторов было приведено полное описание полигонов над прямоугольной группой. Позже авторам удалось получить описание полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами, что обобщало предыдущие результаты.
В настоящей работе некоторые из этих результатов переносятся на случай биполигонов и мультиполигонов над полугруппами левых и правых нулей: доказана теорема о строении биполигонов над двумя рисовскими матричными полугруппами с нулями, получено полное описание -биполигонов, где полугруппы левых нулей, полугруппы правых нулей. Получено полное описание мультиполигонов над семействами полугрупп, каждая из которых является полугруппой левых или правых нулей.
Цели и задачи исследования данной работы заключаются в исследовании алгебраического строения полигонов над полурешетками и мультиполигонов над семействами полугруппам специального вида (полугруппами левых и правых нулей и т.д.).
Методы исследования. В работе используются методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств. Для проверки некоторых гипотез и получения информации о строении полигонов был использован компьютер.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. Кожуховым И. Б. Постановки задач выполнены совместно с научным руководителем.
Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы алгебраической теории полугрупп и теории частично упорядоченных множеств.
Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов о строении полигонов над цепями, биполигонов и мультиполигонов над полугруппами специального вида. Полученные результаты являются новыми.
Научные положения, выносимые на защиту
-
Установление свойств частично упорядоченных множеств, являющихся полигонами над полурешетками.
-
Описание полигонов над конечной цепью и связных частично упорядоченных множеств, являющихся полигонами над какой-либо цепью.
-
Выяснение строения мультиполигона над семейством моноидов.
-
Описание мультиполигонов над семействами полугрупп левых и правых нулей.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в структурной теории полугрупп и (мульти)полигонов.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательском семинаре “Кольца и модули” кафедры высшей алгебры МГУ, а также на следующих конференциях: 14-й и 15-й Международных конференциях “Проблемы теоретической кибернетики” (Пенза, 2005, Казань, 2008); 14-х и 15-х математических чтениях РГСУ (Москва, 2005, 2006); Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию И. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005); 12-й и 13-й Всероссийских межвузовских конференциях “Микроэлектроника и информатика” (Москва, МИЭТ, 2005, 2006); Международном семинаре по компьютерной алгебре и информатике (Москва, МГУ, 2005); 6-й и 7-й Международных алгебраических конференциях на Украине (Каменец-Подольский, 2007; Харьков, 2008); Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию А. Г. Куроша (Москва, МГУ, 2008); 1-м международном семинаре “Дискретная математика и ее приложения” (Москва, МГУ, 2010); 7-й Международной конференции “Алгебра и теория чисел” ( Тула, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 2 в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и списка публикации автора по теме диссертации. Общий объем работы составляет 88 страниц. Список литературы включает 49 наименований.