Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория линейных групп — один из центральных разделов современной алгебры. Она имеет многочисленные связи с такими областями, как теория алгебраических групп, теория колец, теория групп и алгебр Ли, геометрическая я линейная алгебра, алгебраическая &"-теория, алгебраическая теория чисел.
Большое количество работ, связанных с теорией линеііньїх групп, определяется широким интересом к этой теории. При этом линейные группы изучаются в самых различных аспектах: как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т.д. Ис- следования посвящены таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида, представление, изоморфизмы. Наша работа относится к изучению расположения подгрупп в линейных группах.
. Конечно, недостижимым идеалом было бы явное описание вообще всех подгрупп в линейных группах. Однако до сих пор такое описание получено лишь в линейных группах небольших степеней над конечным полем. Поэтому обычно ограничиваются изучением подгрупп, выделяемых условиями различного характера: теоретико-группового, матричного и т.д. Перечислим несколько фундаментальных циклов исследований.
Отметим важное направление — изучение подгрупп, порожденных элементами специального вида. Классификация конечных линейных групп, порожденных отражениями над полем характеристики ноль относится к числу классических результатов теории линейных групп (см., например, [9], [35]). Значительным достижением является выполненная Дж. Томпсоном [48] классификация неприводимых линейных групп над конечным полем характеристики р > 3, содержащих матрицу, удовлетворяющую уравнению (х — I)2 = 0. Полная классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных трансвекцнямп над полями положительной характеристики получена в работах Дж. Маклафлина, А. Е: Залесского, В. Н. Сережкпна, А. Вагнера, Поллачек ([41], [42], [44], [21]). В работах А. Е. Залесского и В. Н. Сережкина ([22], [23]) получена полная классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных отражениями пад полем нечетпых характеристик. Отметим также работу А. В. Корлюкова [27], в которой классифицирова-
ны конечные линейные группы, порожденные двумерными преобразованиями порядка г > 5 над полями характеристики р > 7.
Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмндт), посвященных описанню подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [4], [7], [31], [33]).
В серии работ (см. [13], [30], [37], [39]) изучались максимальные подгруппы в линейных группах и группах Шевалле.
Еще одно направление в изучении линейных групп — это описание надгрупп некоторой фиксированной подгруппы. Классическим результатом такого рода является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом [49]. Далее, в 1965 году в классической работе Бореля-Титса [34] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы G = GL(n,k), содержащих группу диагональных матриц Т = D(n,k) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат Бореля-Титса был значительно усилен 3. И. Боревпчем [3] в 1976 году. Как выяснилось, для любого поля к все промежуточные подгруппы //, D(n,k) < Н < GL(n,k), являются алгебраическими, решетка Lot (Т, G) промежуточных подгрупп конечна и не зависит от поля к, если только cardk > 7. Работа 3. И. Боревича [3] дала мощный импульс в изучении подгрупп содержащих группу диагональных матриц (вполне расщепимый максимальный тор). Исследование развивалось в основном в двух направлениях. С одной стороны велась работа по перенесению результатов с полной линейной группы на классические линейные группы, а также группы Шевалле над полем. С другой стороны, многие результаты были перенесены на линейные группы над кольцами.
В серии работ 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц было перенесено на полулокальные кольца (см. [5], [10]).Цикл работ Н. А. Вавилова, Е. В. Дыбковой, С. Л. Крупецкого посвящен описанию подгрупп ортогональной, снмплектической и унитарной групп, содержащих вполне расщепимый максимальный тор (см. [14], [15], [18], [19], [28-29]).
Отметим обобщающий результат Н. А. Вавилова [11], в котором дается описание подгрупп расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный вполне расщепимый тор над полем /г, содержа-
щим не менее семи элементов.
Описанию подгрупп линейных групп, содержащих группу кле-точно-диагональных матриц, посвящены работы 3. И. Боревнча, Н. А. Вавилова, Н. С. Романовского, С. Л. Крупецкого и автора (см. [6], [14-1G], [18], [24], [25], [28], [32]).
Первый шаг в решении проблемы описания подгрупп групп Ше-валле, содержащих максимальный тор, сделал Г. Зейтд [45], [47], который это описание получил для групп Шсвалле над конечным полем из q элементов, q > 11 (при этом в случае максимального вполне расщеппмого тора предполагается, что g нечетно [45], а в случае произвольного тора — характеристика поля р > 5 [47]). В серии работ Н. А. Вавилова [12] I-IV получено описание подгрупп специальной линейной группы SL{n,k), п > 3, содержащих группу диагональных матриц, над произвольным полем к, содержащим не менее семи элементов. Отметим также замечательную работу О. Книга [40], который получил описание подгрупп специальной линейной группы SL{2,K) над произвольным полем К, содержащих группу диагональных матриц. Особо отметим, наконец, большой цикл работ Н. А. Вавилова (см., например, [12], [17]), где задача описания подгрупп, содержащих вполне расщепнмый максимальный тор, решается для групп Шевалле всех типов над полями, содержащими не менее семи элементов.
Перейдем теперь к обзору результатов о подгруппах, содержащих нерасщепимый тор. На данный момент этот участок деятельности представляется нам наименее исследованным. В работе У. Кантора [38] получено описание подгрупп полной линейной группы над конечным полем, содержащих максимальный нерасщепимый тор (цикл Зипгера). Далее, Г. Зейтц [45], [47], перенес этот результат на конечные группы Шевалле. Достаточно простої! случай поля вещественных чисел исследован в работе Дьековича [36]. В работах А. А. Боп-дарешео [1,2] описываются подгруппы полной линейной группы второго порядка GL (2, /;) над локальным числовым полем к, содержащие нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор), соответствующий неразветвленному квадратичному расширению К локального числового поля к. В работах автора [57],[59], атакже (совместно с 3. И. Воревичем и Чан Нгок Хоем) [8] исследуются подгруппы полной линейной группы GL (2, Q) над полем рациопальпых чисел Q, содержащие максимальный нерасщепимый тор. В работе В. П. Платонова [43] анонсируется результат исследований подгрупп группы
Gk ЛГ-точек редуктнвной группы G, содержащих максимальный тор 7д-. Достаточно подробное исследование в ней проведено для поля вещественных чисел К. и для случая, когда А' — локальное поле; рассматривается также случай глобального поля К.
Отметим, что для более подробного ознакомления с проблематикой мы рекомендуем обзоры Н. А .Вавилова [16,17], А. Б. Залесского [20] и А. С. Кондратьева [26].
Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением расположения подгрупп в лииейнных группах, содержащих максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Таким образом,тематика диссертации является вполне актуальной.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является исследование подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих нерасщепи-мый максимальный тор, а также окончательное решение проблемы Зейтца для SX„>3-
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы и результаты теории линейных групп, а также методы теории колец и полей. Методика выполнения исследования структуры промежуточных подгрупп основана на технике извлечения трансиекций, а также некоторых матриц специального вида. Для исследования промежуточных подгрупп построен метод, основанный на определении модуля трансвекций и его кольца множителей.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются повыми. Получены следующие основные результаты:
-
Получено достаточное условие на подкольцо основного поля, при котором это кольцо реализуется с помощью промежуточной подгруппы полной линейной группы над полем, содержащей нерасще-пимый максимальный тор. В частности, строится серия максимальных нетривиальных (не содержащих специальную линейную группу) подгрупп, содержащих ііерасіцепнмьій максимальный тор для поля рациональных чисел.
-
Исследованы подгруппы полной линейной группы порядка 2 над полем, содержащие нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор). В качестве приложения дается описание указанных промежуточных подгрупп в случае поля рациональных чисел.
-
Дается окончательное решение проблемы Зейтца для 5Ь„>з-
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в дальнейшем при описании подгрупп линейных групп, содержащих максимальный тор.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на IX и X Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Москва, 1984; Минск, 198С), XVIII Всесоюзной алгебраической конференции (Кишинев, 1985), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989, 1991; Красноярск, 1993), а также неоднократно докладывались на совместном семинаре лаборатории алгебраических методов Петербургского отделения Математического института РАН и кафедры высшей алгебры п теории чисел Санкт-Петербургского университета.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]-[64], перечисленных в конце автореферата.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав и занимает 205 страниц машинописного текста. Библиография содержит 134 наименования.