Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В предлагаемой диссертации рассматриваются вопросы описания подгрупп расцепимих классических групп над кольцами.
Вопросы описания подгрупп традиционно занимают одно из вая-нейсих мест в теории линейных групп. Одно из крупних направлений связано с описанием промежуточных подгрупп, т.е. надгрупп некоторое фиксированной группы. В последние два десятилетия это направление получило значительное развитие, в первую очередь в Великобритании, США, СССР, Китае. Именно к этому направлению и относится настоящая работа.
Сейчас мы перечислим несколько циклов исследований, с которыми наша диссертация особенно тесно связана. Общий обзор исследований в этой области и дальнейшие ссылки можно найти в [14], [15], [17], [9]. [Ю], [20].
Одним из классических направлений, которое формально относится к изучению линейных групп как абстрактних групп, но на самом деле исключительно тесно связано с описанием-подгрупп в них, является классификация нормальных делителей. Этому направлению посвящено громадное количество публикаций многих авторов, начиная с 19 века.
Итоги классического этапа развития подведены в работах Н.Дьедонно, с работ В.Клингенберга, Х.Бзсса, Дж.Уилсона начался переход к кольцам общего вида, а в последние полтора десятилетия И.3.Голубчиком, Л.Н.Васерштейном и другими авторами получены результаты, близкие к окончательным.
.Другое вагяое направление - описание параболических и близких к ним подгрупп, восходящее к классическим работам Н.Титса 1962 года. Я.'Тите рассматривал группы над телами, а в дальнейшем в работах Н.С.Романовского, З.И.Бсревкча, К.Судзуки, Н.Л.Вавилова, Е.З.Дыбковой, Е.Б.Плоткина, И.3.Голубчика и других авторов, эти результаты были распространены на широкие классы колец. Спда тэ относится описание парпхорических подгрупп, связанное с именами И.Ивахори, Х.Мацумото, ф.Брм, К.Гитса.
Следующим интенсивно развивающимся направлением било описание надгрупп максимальных торов. Отправной точкой здесь была работа Л.Бореля и К.Титса 1965 года, в которой рассматривался слу- * чай алгебраически замкнутого поля. В дальнейшем, в работах З.И.БореЕича, Г.ЗеЯтца, Н.А.Вавилова, В.А.Койбаева, Е.В.Дыбковой, эти результати были обобщены на случай раскепимшс торов в классических группах над полями и некоторыми классами колец. В работах Г.Зейтца и Н.А.Вавилоьа эти результаты были перенесены на все группы Певалле, последний, оставшийся неразобранным случай группы SL.2. изучен О.Кингом в 1969 году. Для нерасцепимых торов ситуация значительно хуке поддается контролю и полностью разобран лишь случай конечного поля. Для остальных полей имеются лиаь частичные результаты З.И.Боревича, С.Л.Крупецкого, Д.Дьоко-вича, В.А.Койбаева, Чан Нгок Хоя. Заметим, что в самое последнее время И.Хавдан и В.Голубовски рассматривали некоторые обобщения этих задач, связанные с рассмотрением части максимального тора и близких к нему групп.
Близко связанным с предыдущим направлением, к которому и относится настоящая диссертация, является описание надгрупп полупростых групп. Для случая регулярных вложений (типа групп клеточ-ио-диагональных матриц) здесь имеются весьма законченные результаты. Случай полной линейной группы изучался в работах Н.С.Романовского, З.И.Боревича, Н.А.Вавилова, В.А.Койбаева, И.3.Голубчика, А.В.Степанова, а другие расщепимые классические группы в работах Н.А.Вавилова.
Это направление тесно связано также с описанием максимальных подгрупп в классических группах и доказательством максимальности некоторых классов подгрупп, получивлих развитие в последние 10 лет, в особенности для случая конечного или алгебраически замкнутого поля. Здесь в первую очередь нужно упомянуть имена Ы.Асбахера, Г.Зейтца, М.Либека, П.Клейдмана, О.Кинга, Р.Дая, Ли Шанг Чта, Д.Тестерман.
Отметим, что упомянутые вьше работа дают, в частности, новые доказательства и очень широкие обобщения многих результатов о максимальности. Так, для случал поля о надгруппах расщепимых
\- 5 -
максимальных торов и регулярных полупростых групп, в частности, результаты настоящей диссертации почти полностью покрывают результаты о максимальности групп из классов Аибахера С, и Сг
Именно включение этих результатов в общий контекст промежуточных подгрупп к было одной из целой настоящей работы.
Конечно, для случая поля эти результаты могут быть получены также с использованием другого важнейшего направления в описании подгрупп классических групп, а именно, описание подгрупп, порожденных подгруппами или элементами данного вида (трансвекциями, отражениями, корневыми элементами и т.д.), получившими замечательное развитие в работах Дж.Макла^ина, А.Е.Залесского, В.Н.Се-режкина, А.Вагнера,-У.Кантора, Б.Куперстейна, Дк.Томпсона, Ф.Тиммес^ельдэ, Ли Шзнг Чжн, ЕЛ.Бпшкирова.
Еще одной типичной задачей, тесно связанной как с описанием надгрупп полупростых групп, так и с описанием нормальных делителей является задача классификации подгрупп, лєікащих между однотипными группами над разными кольцами. К этой теме относились работы Л.С.Романовского, З.И.Боревича, Н.Я.Нужнна, Е.Л.Башкирова, Р.А.Емидта, Ф.О.Арякеляна, А.В.Степанова, А.Е.Залесского.
Как уже упоминалось, в работах Н.А.Вавилова описаны подгруппы расщепимых классических групп, содержащие группу точек регулярно (в смысле Дынкина) вложенных полупростых подгрупп в рэсще-пимых классических группах над произвольным коммутативным кольцом [10], [б], [7], [4]. Эти группы выглядят как подходящие группы элементарных клеточно-диагоналышх матриц в соответствующих группах. При этом в цитированных работах предполагалось, что размер диагональных клеток не менее трех для симплектической группы и не менее пяти для ортогональной группы. Там S3 приведены примеры, показывающие, что в общем случае эти оценки нельзя понизить.
Возникает мысль, нельзя ли для некоторых важнейших классов колец (таких, скажем, как полулокальные или дедекнндовы) все ке понизить эти оценки - может быть до двух - рзеенрив рассматриваемую группу при помощи некоторых диагональных элементов. Именно рассмотрению этого вопроса и посвящена настоящая диссертация.
Тем самым tat ограничиваемся надгруппсми групп типа клеточно-диагональных (точнее, это поэлементные стабилизаторы разложений пространства, на котором действует группа.в прямую сумму пространств размерности ^> 7. ), но получаем более точные, чем ранее, оценки, что позволяет нам, в частности, обобщить ряд предшествующих результатов Р.Дая, О.Кинга, Н.А.Вавилова и Ли Шанг Чкы.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является описание подгрупп ортогональных и симплектических групп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц над кольцами.
ОБЩАЯ Ї.ЕТ0ДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы теории групп, теории коммутативных колец и линейной алгебры и некоторые специальные методы теории линейных групп, в особенности метода извлечения трансвекций и вычислений с отражениями.
НАУЧНАЯ НОВІША. Основными новыми научными результатами диссертации являются следующие:
-
Описание подгрупп в расщешшой ортогональной группе, содержащих ортогональну» подгруппу клеточно-диагональных матриц над коммутативным кольцом.
-
Описание подгрупп в симплектической группе, содержащих симплектическую подгруппу ГС')) над полулокальным кольцом.
-
Описание подрадикальнкх подгрупп в симплектической группе над коммутативным кольцом, содержащих группу Г{^)
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут найти дальнейшее приложение в изучении подгрупп ортогональной и симплектической групп над кольцами, а такие при изучении аналогичных вопросов в других типах групп, в частности, в группах Шевалле.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы представлены на международной алгебраической конференции по теории конечных групп (Барнаул, 1991 г.), а также докладывались на совместном семинаре Лаборатории методов Ленинградского отделения Математического института АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ.
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована работа [23] и сданы в печать две статьи.
I. Кхатиб А. О подгруппах расщепимой ортогональной группы
над коммутативным кольцом.
2. Вавилов Н.А., Кхатиб А. О подгруппах расцепимых симплек-тических групп над полулокальным кольцом.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав и списка литературы, и занимает ОЭ страниц ыапиюпис-ного текста. Библиография содержит 89 наименований.