Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория классических групп является важным разделом математики, имеющим многочисленные связи с такими областями, как теория алгебраических групп, теория колец, теория групп и алгебр Ли9 геометрия и линейная алгебра, алгебраическая К-^геория, алгебраическая теория чисел.
Исследования по классическим группам широко ведутся как в нашей стране, так и за рубежом. При этом эти группы изучаются в самых различных аспектах! как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т.д. Множество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, классы сопряженных элементов и представления, автоморфизмы и изоморфизмы. Наша же работа относится к изучению расположения подгрупп в этих группах.
Конечно, недостижимым идеалом было бы явное описание вообще всех подгрупп в линейных группах. Однако до сих пор такое описание получено лишь в линейных группах небольших степеней над конечным полем (см. обзор этого направления в С2й,Г2б]). Даже для бесконечного основаного поля - не говоря уже о кольцах - аналогичная задача совершенно нереалистична. Во всяком случае даже имеющееся описание подгрупп в SL2 нельзя назвать вполне эксплицитным 37]. Поэтому обычно ограничиваются изучением подгрупп, выделяемых условиями различного характера; теоретико-группового, алгебро-геометрического, матричного и т.д. Перечислим несколько важнейших циклов исследований.
Тематика, связанная со строением линейных групп, как абстрактных групп, и изучением подгрупп в них, выделенных условиями теоретико-группового характера (разрешимых, нильпотентных, абелевых, периодических, силовских, холловских и т.д.), восходит к работам классиков - К.Жордана, И.Шура, Л.Дикоона, У.Берн-сайда, Х.Цассенхауза, А.И.Мальцева. Особое развитие эта тематика получила з созданной Д.А.Супруненко школе, занимающей в этом направлении ведущие позиции в мире. Многие основные результаты здесь были получены самим Д.А.Супруненко, А.Е.Залес-скиы, Р.И.Тышкевич, Р.Т.Вольвачевыы, В.С.Конюхом и другими. Библиографию этого направления можно найти в [32І,[23 ,С22І.
С конца 1940-х годов чрезвычайно активно изучается вопросы, связанные со строением групп матриц как алгебраических групп. Решающий вклад в формирование этого направления внесли К.Шевалле, Э.Колчин, А.Борель, А.Вейль, М.Розенлихт, К.Титс, Ж.-П.Серр. Ряд принципиальных результатов в структурной и арифметической теории алгебраических групп был получен В.П.Платоновым и его учениками,, среди которых следует отметить В.И.Ян-чевского, А.А.Бондаренко, М.В.Милованова, Г.В.Матвеева, 0..В. Мельникова, А.А.Шаромета, В.И.Черноусова, А.С.Рапинчука. В связи с теорией инвариантов чрезвычайно важные результаты по алгебраическим группам были получены В.Е.Воскресенским, Э.Б. Винбергом, В.Л.Поповым, А.Г.Элашвили, Д.И.Паншевш. Общее состояние теории алгебраических групп в настоящее время отражено в превосходных обзорах В.П.Платонова D22U,t29l и В.П.Платонова и А.С.Рапинчука І30]. Очень выпуклый очерк применения теории алгебраических групп к теории линейных групп дан в обзоре А.Е.Залесского [21].
Еще одно важное направление - это изучение подгрупп, порожденных подгруппами или элементами специального вида (трансве-кцияки, псевдоотражениями, двумерными элементами, квадратичными элементами и т.д.). Наиболее известным достижением классического периода является описание конечных линейных групп над полем характеристики 0, порожденных псевдоотражениями, завершенное Г.С.М.Коксетером, Дж.Шепардом и Дж.Тоддом. В последние два десятилетия очень важные результаты здесь были получены Дж.Маклафлиным, Б.Старк, Дж.Томпсоном, А.Е.Залесским, В.Н.Се-режкиным, А.Вагнером, У.Кантором, А.М.Коэном, Б.Куперстейном, Ч.Хо, У.Хаффман, Д.Уэлсом, А.А.ПреметіуШ.Д.Супруненко, А.В. Корлюковым и другими авторами [2ll,[42J.
Новый мощный импульс получила теория линейных групп из теории колец и алгебраической К-теории. С работ І.Васса середины 60-х годов началась подлинная революция общности, в ходе которой выяснилось, что многие результаты, которые доказывались ранее для полей или тел, справедливы - в соответствующем смысле - почти для любых ассоциативных колец. При этом Х.Басс ввел новое понятие размерности колец - стабильный ранг - которое играет громадную роль в теории линейных групп. Чрезвычайно
- О -
большой вклад в развитие этого направления внесли А.А.Суслин, Л.Н.Васерштейн, В.ван дер Каллен, А.Вах [34]. Очередной перелом произошел во второй половине 70-х годов, когда было осознано, что многие результаты, доказывавшая ранее на стабильном уровне, для коммутативных и близких к ним (почти коммутативных, РГ и т.д.) колец справедливы начиная с некоторого места, не зависящего от размерности кольца. Здесь нугно назвать имена Дв.Уилсона, А.А.Суслина, И.З.Голубчина, В.И.Копей-ко, М.С.Іуленбаева. Одним из наиболее впечатлявших достижений этого направления явилась революция з теории автоморфизмов и гомоморфизмов линейных групп, произведенная работами И.З.Голубчика и А.В.Михалева, В.Ы.Петечука, Е.И.Зельыанова и В.Н. Герасимова, полностью перекрывшими многие десятки предшествующих работ [22].
Огромная литература возникла на стыке с теорией конечных групп. Во-первых, классификация конечных простых групп потребовала детального изучения известных простых групп. В работах М.Ашбахера, Г.Зейтца, У.Кантора, П.Каыерона, Ч.Херинга, Б.Ку-перстейна, Н.Бургойня, Р.Грисса, Р.Лайонса и других авторов был накоплен громадный конкретный материал, который вдет ?qe своего осмысления с общих позиций. Особенно нузно отмэтнть грандиозный цикл работ Г.Зейтца о подгруппах конечных гфупп Шевалле, содерзацих максимальный тор [.48]-[51]. Во-вторых, завершение классификационной программы дало возмогность ставить новыз проблемы, такие, скажем, как классификация максимальных подгрупп простых групп. С этой задачей связаны работы Р.Дая, Дз.Ки, О.Кинга, М.Ашбахера, Л.Скотта, М.О'Нана, Р.Гуральника, ДОЛибека, Дв.Саксла, А.С.Кондратьева, В.А.Устименко и других авторов [26]. В-третьих, сама классификация конечных простых групп стала мощным инструментом при исследовании подгрупп линейных групп.
Новый мощный толчок получила теория классических групп в связи с построением групп Шевалле [Зї],[39]. Важный аспект этой конструкции состоит в том, что многие вопросы, которые раньше казались имеющими алгебро-геометрическую природу, стали чисто алгебраическими. В работах К.Шевалле, Р.Ри, Ж.Титса, Р. Стейнберга, Р.Картера была создана новая техника вычислений в
- б -
линейных группах, которая позволяет избежать матричного счета и во многих случаях избавляет от необходимости рассматривать отдельно группы разных серий. Важный результаты на таком пути были получены Х.Мацумото, Э.Абе, Н.Ивахори, Дж.Харли, М.Штей-ноы, К.Судзуки, Дж.Хамфри, В.Деодхароы и другими авторами.
Еще одно направление в изучении линейных групп - это описание надгруїш некоторой фиксированной подгруппы. Классическим образцом результата такого рода является описание параболических подгрупп, полученное Ж.Титсом, Систематическое изучение задач такого типа было начато З.И.Боревичем и продолжено в дальнейшем его учениками Е.В.Дыбковой, В.А.Койбаевым, Л.Ю.Коло-тилиной, С.Л.Крупецким, Х.О.Лесама Серрано, А.А.Пащевским, Е.Б.Плоткиным, Х.Ролоффом, Р.А.Шмидтом и другими (обіор всего этого направления можно найти в [22]). В других ситуациях многие результаты такого рода были получены Д.А.Супруненко, Н.С. Романовским, Б.Нуперстейном, И.Д.Супруненко, Е.Л.Башкировым и другими авторами.
Настоящая диссертация также примыкает к этому направлению и является естественным продолжением цикла работ З.И.Боревича и автора, посвященных подгруппам полной линейной группы Lll -[8],[55]-L57]. Большой интерес для теории линейных групп представляет изучение важного класса подгрупп, содержащих максимальный расщепимый тор или регулярно вложенную полупростую подгруппу. По вопросу описания этих классов подгрупп до недавнего времени мало, что было известно даже в случае поля. Однако в настоящее время появились новые методы, которые позволили получить полное решение этих и целого ряда близких вопросов не только для поля, но и для широких классов колец. Эти вопросы оказываются естественно связанными со всеми перечисленными выше циклами исследований (более конкретно об этой связи будет говориться в связи с каждым отдельным результатом). Ясно, поэтому, что тема диссертации вполне актуальна.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является описание подгрупп классических групп над кольцами, содержащих расщепимый максимальный тор или регулярно вложенную полупростую подгруппу и дальнейшее подробное изучение этих классов подгрупп.
ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе использу-
ются как стандартные общие методы теории групп, теории ассоциативных колец и линейной алгебры, так и некоторые более специальные методы теории линейных групп, теории групп Шевалле, теории алгебр Ли и их представлений. Доказательства почти всех основных результатов базируются на изучении элементов простейшего вида (типа трансвекций, псевдоотражений, двумерных элементов и их ортогональных и симплектических аналогов), содержащихся в подгруппах классических групп. В связи с этим в диссертации развиваются некоторые специфические методы получения элементов такого вида. В главе Ш получает дальнейшее развитие и использование метод весовых диаграмм.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:
Описание подгрупп расширенных расщепимых классических групп над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц,
Описание подгрупп расщепимых классических групп над полем, содержащих группу диагональных матриц,
Теоремы сопряженности для подгрупп, содержащих группу диагональных матриц,
Описание подгрупп расщепимых классических групп над произвольным коммутативным кольцом, содержащих регулярно вложенную полупростую подгруппу.
В работе получены и другие результаты в близких направлениях, получающиеся в процессе решения этих задач или как следствие их решения. Отметим, в частности, следующие результаты, представляющие самостоятельный интерес:
Классификация неприводимых линейных групп над телом, порожденных однопараметрическими группами одномерных преобразований,
Классификация неприводимых подгрупп ортогональных групп над полем, порожденных длинными корневыми подгруппами,
Явная классификация максимальных подгрупп расщепимых классических групп, содержащих группу диагональных матриц,
Вычисление разложения Брюа микровесовых элементов и длинных корневых полупростых элементов,
- Коммутационные формулы для подгрупп классических групп.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы - и уже используются - в различных вопросах, связанных со строением и представлениями классических групп и групп Шевалле над полями и кольцами.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на ХУ, ХУІ, ХУП, ХУШ и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях (Красноярск,1979$Ленинград,І9вІ$Минск,І933;Кишинев,І985$Львов, 1987), УП,1Х,Х Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Шушенское, 1980}Москва,1984}Гомель,1986), У Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск,1982), I и П Всесоюзных школах по теории алгебр Ли и их приложений (Москва, 1981 и 1984), Ш Всесоюзной школе по теории многообразий алгебраических систем (Омск,1983), а Скже на следующих алгебраических семинарах: на объединенном семинаре лаборатории алгебраических методов ЛОШ АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ (многократно в течение 1978-1987 годов), на алгебраическом семинаре Московского университета (в 1979,1981,1983гг.), на Минском городском алгебраическом семинаре (1981 г.), на семинаре отдела алгебры ИМ АН БССР (1983,1984), на семинаре Московб-кого университета по теории колец (1983), на алгебраическом семинаре Киевского университета (дважды в 1981 и в 1984гг.), на расширенном семинаре по алгебре Тартусского университета (1987г.), на алгебраическом семинаре Ивановского университета (1986г.), на алгебраическом семинаре Вроцлавского университета (трижды в 1979-1980гг.) и на заседаниях Польского математического общества во Вроцлаве, Торуни и Ченстохове (в 1980г.).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] - [71], перечисленных в конце автореферата.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав и занимает 31? стр.машинописного текста. Библиография содержит 581 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.