Введение к работе
Предмет и актуальность темы. Одним из важнейших направлений современной теории групп является изучение групп, допускающих автоморфизмы с теми или иными свойствами. Существует тесная взаимосвязь между группой и ее автоморфизмами. Например, имеется немало результатов, показывающих, что строение группы жестко обусловлено строением централизатора автоморфизма. Автоморфизмы являются одним из эффективных инструментов при исследовании различных классов групп (например, р-групп), поскольку каждый элемент индуцирует внутренний автоморфизм, действуя сопряжением на группе.
Среди проблем, связанных с автоморфизмами, одно из центральных мест занимает изучение групп, допускающих автоморфизмы с малым числом неподвижных точек. Еще в 1902 г. Бернсайд установил, что конечная группа тогда и только тогда является абелевои группой нечетного порядка, когда она допускает регулярный, т.е. без нетривиальных неподвижных точек, автоморфизм порядка 2. Новым стимулом для развития этого направления явились фундаментальные результаты Дж. Томпсона [19] и Г.Хигмэна [12], из которых следует, что любая конечная группа, допускающая регулярный автоморфизм простого порядка р, нильпотентна, причем ступень нильпотентности ограничена некоторой функцией h(p), зависящей только отр (коротко,р-ограниченной). Функция h(p) была явно оценена сверху А. И. Кострикиным и В. А. Крекниным [2, 3].
Напомним, что автоморфизм называется почти регулярным, если число неподвижных точек конечно. В классе конечных групп изучение почти регулярных автоморфизмов предполагает, что ищутся ограничения на строение группы в зависимости от числа неподвижных точек и порядка автоморфизма. В настоящее время усилиями многих авторов, в
том числе Б.Хартли, Т.Майкснера, Э.Шульта, Ф.Гросса, Т.Бергера и др., для конечных групп с почти регулярными автоморфизмами (с использованием классификации конечных простых групп) получены оценки нильпотентной длины самой группы или подгруппы ограниченного индекса. Поэтому исследование групп с почти регулярными автоморфизмами, в определенном смысле, сводится к случаю нильпотентных групп. Наиболее значительные результаты в этом направлении получены Дж. Альпериным [9], Е. И. Хухро [6, 7, 8], А. Шалевым [18], Ю.А.Медведевым [17].
Цель работы. Целью данной диссертации является изучение нильпотентных групп, допускающих почти регулярные автоморфизмы.
Во-первых, доказано, что если нильпотентная 2-группа допускает автоморфизм порядка 4, имеющий ровно 2т неподвижных точек, то она содержит подгруппу m-ограниченного индекса, коммутант которой нильпотентен ступени < 3.
Во-вторых, доказана почти нильпотентность коммутанта кольца Ли, допускающего почти регулярный автоморфизм порядка 4, и этот результат применяется к изучению нильпотентных 2'-групп с почти регулярным автоморфизмом порядка 4.
В-третьих, для нильпотентной группы, допускающей почти регулярный автоморфизм простого порядка, получена не-улучшаемая оценка ступени нильпотентности некоторой подгруппы, фактор по которой имеет ограниченный период.
Методика исследований. Близость нильпотентных групп к коммутативным позволяет применять для их изучения линейные методы. Для доказательства теорем применяется техника присоединенных колец Ли и групповых колец, развивается метод обобщенных централизаторов, созданный Е.И.Хухро в [7] для изучения колец Ли и нильпотентных
групп с почти регулярными автоморфизмами простого порядка.
Научная новизна работы. Все основные результаты работы являются новыми. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях более общих ситуаций. В особенности это относится к изучению нильпотентных периодических групп и колец Ли с почти регулярными автоморфизмами произвольного порядка.
Публикации и апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО РАН и НГУ "Алгебра и логика" и "Теория групп", они были представлены на III Международной конференции по алгебре в г. Красноярске, 1993, на Международной конференции "Finite and locally finite groups" в г. Стамбуле, 1994, на Все-украинской научной конференции "Разработка и применение математических методов в научно-технических исследованиях" в г. Львове, 1995.
Основные результаты опубликованы в работах [20-29]. Теоремы о нильпотентных 2'-группах с почти регулярными автоморфизмами порядка 4 получены совместно с Е. И. Хухро в [25].
Структура работы. Диссертация состоит из введения и 4-х глав. Она изложена на 65 страницах, библиография содержит 29 наименований.