Почти нильпотентные многообразия в различных классах линейных алгебр Шулежко Олеся Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Необходимые определения и обозначения 17

1.1. Тождества в линейных алгебрах 17

1.2. Теория представлений симметрической группы и её применение к исследованию многообразий 23

1.3. Числовые характеристики, связанные с многообразиями 28

Глава 2. Почти нильпотентные многообразия в различных классах алгебр 30

2.1. Описание почти нильпотентных многообразий в классе ассоциативных алгебр 30

2.2. Описание почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Ли .32

2.3. Почти нильпотентные многообразия в классе йордановых алгебр .34

2.4. Описание всех почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница 36

Глава 3. Почти нильпотентные многообразия с целой экспонентой 43

3.1. Структура и тождества одного почти нильпотентного многообразия экспоненты два 44

3.2. Дискретная серия почти нильпотентных многообразий любых целых экспонент

3.2.1. В классе левонильпотентных ступени не выше двух алгебр 65

3.2.2. В случае коммутативных метабелевых алгебр 74

Литература

• Теория представлений симметрической группы и её применение к исследованию многообразий
• Числовые характеристики, связанные с многообразиями
• Описание почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Ли
• Дискретная серия почти нильпотентных многообразий любых целых экспонент

Введение к работе

Актуальность темы. При исследовании ассоциативных или неассоциативных алгебр существенным является вопрос об их нильпотентности. Решить этот вопрос довольно эффективно позволяет наличие разнообразных инструментов для определения нильпотентности алгебры. Одним из таких инструментов является исследование выполнимости тех или иных тождественных соотношений, а именно, так называемого, условия "ниль". Например, условие "ниль" ограниченного индекса на элементы для случая ассоциативной алгебры имеет вид: элемент алгебры в определенной степени равен нулю. Индекс нильпотентности каждого элемента может зависеть от самого элемента, в то время как в случае нильпотентной алгебры индексы нильпотентности всех элементов ограничены в совокупности.

Вопрос о нильпотентности алгебры в случае выполнения условия ограниченности индекса нильпотентности всех элементов некоторой константой является не простым. Так, по известной теореме Нагаты-Хигмана ассоциативная алгебра, в случае основного поля характеристики ноль и условием xⁿ 0, является нильпотентной. Однако, в антикоммутативной алгебре квадрат любого элемента равен нулю, то есть в ней выполняется "ниль" условие ограниченного индекса, но существуют не нильпотентные антикоммутативные алгебры. Например, таковыми являются все ненильпотентные алгебры Ли. В алгебрах Ли умножение справа на фиксированный элемент, в силу определяющих тождеств, является дифференцированием алгебры, так называемым внутренним дифференцированием. Отметим, что в каждой нильпотентной алгебре любое внутреннее дифференцирование является нильпотентным оператором алгебры, причем индекс нильпотентности ограничен числом, не зависящим от выбора элемента, а связан только с индексом нильпотентности самой алгебры.

Интерес к исследованию задач о тождествах представляли проблемы бернсай-довского типа. К концу двадцатого века была решена большая часть этих задач. На изучение тождеств алгебры Ли и их представлений значительное влияние оказала, так называемая, ослабленная проблема Бернсайда и работы А.И. Кострикина, опубликованные в 1950-х годах, по энгелевым алгебрам Ли. В начале двадцатого века был поставлен вопрос о выполнимости обратного утверждения. Будет ли из "ниль" условия ограниченного индекса для внутреннего дифференцирования следовать нильпотентность всей алгебры. Это условие можно заменить условием выполнимости в алгебре Ли тождества энгелевости xy ... y 0, где в левой части скобки расставлены левонормированным образом, а именно

xy . . . y = (...(...((xy)y)...)y).

Алгебру Ли, удовлетворяющую такому тождеству степени n+1, называют алгеброй с условием энгелевости индекса n.

Исторически, сначала в 1954 году П. Хиггинс¹ доказал, что при некотором ограничении на характеристику поля разрешимые многообразия с условием энгелевости являются нильпотентными. В 1958 году А.И. Кострикин² представил результат о том, что конечно порожденные алгебры Ли с условием энгелевости ограниченного индекса являются нильпотентными. В 1987 году Е.И. Зельманов³ получил еще один важный результат о локальной нильпотентности кольца Ли, удовлетворяющее тождеству Энгеля.

В 1983 году СП. Мищенко⁴ доказал, что в многообразии, порожденном простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа, тождество Энгеля влечет нильпотентность. Анализируя полученный результат, в случае выполнения тождеств простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии, в 1984 году СП. Мищенко⁵ привел одно достаточное дополнительное требование, при котором алгебра Ли с условием энгелевости ограниченного индекса оказывается нильпотент-ной. Найденное в этой статье достаточное условие связано со степенью роста последовательности коразмерностей вербального идеала многообразия. Было доказано, что многообразие показательного (экспоненциального) роста с условием энгелевости ограниченного индекса является нильпотентным. В этой статье также было доказано, что многообразие, порожденное простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии, имеет экспоненциальный рост. Доказательство этого утверждения, как и предыдущего, носило комбинаторный характер и не использовало результат о локальной нильпотентности многообразия с тождеством Энгеля, полученный ранее А.И. Кострикиным.

Следует отметить, что исследование самих числовых характеристик многообразий алгебр, а также их асимптотического поведения были и остаются актуальными уже более полувека. Вначале речь шла о классических объектах, таких как класс ассоциативных алгебр, класс алгебр Ли, йордановых алгебрах и других. В настоящее время многие работы связаны с алгебрами без каких-то специальных ограничений. В этом случае поведение числовых характеристик многообразия алгебр часто оказывается неожиданным. Так, например, в статье М. Зайцева⁶ построен пример

Higgins, P. J. Lie rings satisfying the Engel condition [Text] / P. J. Higgins // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1954. — Vol. 50, Issue 1. — P. 8-15.

Кострикин, А. И. О локальной нильпотентности колец Ли, удовлетворяющих условию Энгеля [Текст] / А. И. Кострикин // ДАН СССР. — 1958. — Т. 118, № 6. — С. 1047-1077. — ISSN 0869-5652.

Зельманов, Е. И. Об энгелевых алгебрах Ли [Текст] / Е. И. Зельманов // Сибирский математический журнал. — 1988. — Т. 29, № 5. — С. 112-117. — ISSN 0037-4474.

Мищенко, С. П. Тождество энгелевости и его приложение [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1983. — Т. 121(163), № 3(7). — С. 423-430. — ISSN 0368-8666.

Мищенко, С. П. К проблеме энгелевости [Текст] / С. П. Мищенко // Математический сборник. — 1984. — Т. 124(166), № 1(5). — С. 56-67. — ISSN 0368-8666.

Zaicev, M. On existence of PI-exponents of codimension growth [Text] / M. Zaicev // Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. — 2014. — Vol. 21. — P. 113-119. — ISSN 1079-6762.

многообразия экспоненциального роста, у которого нижняя и верхняя экспонента существуют, но являются различными.

Более широкая гипотеза, связанная с этим направлением, такая: будет ли разрешимо или локально разрешимо многообразие алгебр Ли, не содержащее простую трехмерную алгебру Ли. В трехмерной простой алгебре Ли не выполняется тождество энгелевости, поэтому положительное решение этой проблемы вместе с классическим результатом Хиггинса дали бы в качестве следствия нильпотентность многообразия алгебр Ли с тождеством энгелевости. В связи с этим М. Вон-Ли⁷ поставил вопрос о разрешимости многообразие 2-метабелевых алгебр Ли, так как оно не содержит простую трехмерную алгебру Ли. Для удобства приведем определение. Алгебра Ли называется 2-метабелевой, если любая 2-порожденная подалгебра является ме-табелевой. Во второй части статьи "Тождество энгелевости и его приложение" СП. Мищенко рассматривает многообразие 2-метабелевых алгебр Ли. Основной результат второй части статьи состоит в том, что многообразие 2-метабелевых алгебр Ли над полем нулевой характеристики или характеристики p > 7 является разрешимым, что дает положительный ответ на поставленный М. Вон-Ли вопрос.

Отметим, что существует примеры, когда над полем не нулевой характеристики из выполнения условия энгелевости не следует нильпотентность. Так в монографии Ю.А. Бахтурина⁸ приведен пример П. Кона не нильпотентной метабелевой алгебры Ли ступени n + 1.

Положительное решение проблемы энгелевости в общем случае без дополнительных условий было получено в конце 80-х годов прошлого столетия. В 1987 году Е.И. Зельманов⁹ доказал глобальную нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем нулевой характеристики.

Обобщением понятия алгебры Ли является понятие алгебры Лейбница. Этот класс в настоящее время активно изучается и видимый вклад вносят исследования сотрудников Ульяновского государственного университета. Так, например, используя технику, разработанную П. Хиггинсом, и опираясь на результат Е.И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли, в которой выполняется тождество энгелевости, Ю.Ю. Фроловой¹⁰ удалось доказать нильпотентность алгебры Лейбница с "ниль" условием ограниченного индекса на внутренние дифференцирования.

Vaughan-Lee, M. R. Varieties of Lie algebras [Text] / M. R. Vaughan-Lee // The Quarterly Journal of Mathematics. — 1970. — Vol. 21. — P. 297-308. — ISSN 0033-5606.

Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли [Текст] / Ю. А. Бахтурин. — М. : Наука, 1985. — 448 с. Зельманов, Е. И. Глобальная нильпотентность энгелевых алгебр Ли ограниченного индекса над полем

нулевой характеристики [Текст] / Е. И. Зельманов // ДАН СССР. — 1987. — Т. 292, № 2. — С. 265-268. — ISSN 0869-5652.

Фролова, Ю. Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница [Текст] / Ю. Ю. Фролова // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2011. — № 3. — С. 63-65. — ISSN 0579-9368.

Объектом исследования данной работы являются многообразия в различных классах линейных алгебр: алгебр Ли, йордановых алгебр и алгебр Лейбница, строение их полилинейных компонент и числовые характеристики этих многообразий.

Предметом исследования является изучение почти нильпотентных многообразий в различных классах линейных алгебр.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование в классе неассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики почти нильпо-тентных многообразий. Для достижения цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Формулирование и доказательство результата о полном списке почти нильпо-тентных многообразий алгебр Лейбница.

2. Исследование числовых характеристик известного почти нильпотентного многообразия экспоненты два.

3. Доказательство существования почти нильпотентных многообразий произвольной целой экспоненты в различных классах алгебр.

Методы исследования. В работе использованы методы теории линейных алгебр, методы теории представлений симметрической группы, методы теории многообразий, комбинаторные методы, техника диаграмм Юнга.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Впервые были найдены все почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница. В данной работе полностью изучены числовые характеристики одного известного ранее примера почти нильпотентного многообразия экспоненты два. Построена дискретная серия почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент.

Научные положения, выносимые на защиту.

В случае поля нулевой характеристики представлено:

4. Описание всех почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Лейбница.

5. Новые свойства одного известного почти нильпотентного многообразия экспоненты два.

6. Доказательство существования дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент в классе правонильпотентных алгебр.

7. Существование коммутативного метабелева почти нильпотентного многообразия произвольной целой экспоненты.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Практической значимостью диссертационного исследования является возможность использования полученных теоретических результатов и идей, использованных в доказательствах, при исследовании многообразий линейных алгебр.

Личный вклад автора. Постановка задач выполнена совместно с научным руководителем. Доказательства утверждений и проверка результатов, а также подготовка публикаций выполнены автором самостоятельно.

Достоверность результатов исследований. Достоверность результатов, представленных в данной работе, подтверждается строгостью постановки задач, а также использованием математических методов их решения, опирающихся на теорию представлений симметрической группы, теорию линейных алгебр, теорию многообразий, технику диаграмм Юнга, комбинаторные методы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и обсуждались на семинарах и международных конференциях:

8. XI Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Саратов, 09-14 сентября 2013 г.);

9. XII Международная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятилетию профессора В.Н. Латышева (Тула, 21-25 апреля 2014 г.);

10. XIII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященная восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С.С. Рышкова (Тула, 25-30 мая 2015 г.);

11. Научно-исследовательские семинары кафедры алгебро-геометрических вычислений Ульяновского государственного университета (2013—2015 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, из которых 4 статьи опубликованы в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 62 источников. Общий объем диссертации составляет 89 страниц, основной текст диссертации изложен на 65 страницах.

Теория представлений симметрической группы и её применение к исследованию многообразий

В литературе названия "примитивный класс алгебр" (в терминологии А.Г. Куроша [11] и А. И. Мальцева [15]) и "многообразие алгебр" (следуя Г. Бирк-гофу и Б. Нейману) являются синонимами, они закрепились за классами всех линейных алгебр над заданным полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений. Это многообразие или этот класс алгебр будем обозначать через V и будем говорить, что многообразие V задается системой тождеств.

Существуют два способа задания многообразий. Можно его задать явно, конечным или бесконечным набором определяющих многообразие тождеств. Однако, в силу теоремы Биркгофа многообразием является любой класс алгебр, замкнутый относительно операций взятия полных декартовых произведений, взятия подалгебр, взятия гомоморфных образов. Поэтому набор определяющих тождественных соотношений можно задать неявным образом. Задать конкретную алгебру или несколько алгебр и рассмотреть наименьшее многообразие, содержащее эти алгебры. Отметим, что такое наименьшее многообразие существует. Это просто пересечение всех многообразий, содержащих данные алгебры. Понятно, что пересечение двух многообразий является многообразие, в котором выполняются все определяющие тождества обоих многообразий.

Все тождества, которые выполняются в многообразии образуют идеал, фактор-алгебру по которому F(X)/V(F(X)) будем обозначать F(X, V) и называть относительно свободной алгеброй многообразия V. Хорошо известно, что любое соотношение между элементами относительно свободной алгебры является тождеством этой алгебры.

Наименьшее многообразие алгебр, содержащее некоторый класс алгебр U, обозначается var(XJ). Говорят, что var(XJ) порождено алгебрами из класса U. Нильпотентной алгеброй ступени с, называется алгебра, в которой выполняется тождество Х\Х2 xc+i = 0 с любой расстановкой скобок в левой части и не выполняется тождество Х\Х2 хс = 0 хотя бы с одной расстановкой скобок.

Договоримся при написании тождеств, кроме образующих ХІ, использовать также другие символы, например, у,уі,у2, Еще раз особо отметим, что в рассматриваемых алгебрах не предполагается выполнение тождества ассоциативности, а значит в произведениях следует следить за расстановкой скобок. В случае их левонормированной расстановки будем опускать скобки, а именно ((ab)c)d = abed.

В случае произвольной алгебры А, обозначим через Ra оператор умножения справа на элемент а Є А и будем писать bRa = ba, b Є А. Тогда левонормиро-ванное произведение ba.. .а степени к + 1 можно записать так: bRka. Заглавные латинские буквы X, Y также будем использовать для обозначения линейных операторов умножения справа в случае относительно свободной алгебры. Запись вида хХ{Ї2 = ху\у2 корректна, поскольку формальная запись произведения означает взятие композиции этих операторов. Еще раз обратим внимание, что ху2 = х(уу)} xY2 = (ху)у. Заметим, что в случае записи тождественных соотношений мы используем тройной знак равенства, вместо обычного двойного.

Классическими примерами линейных алгебр являются, например, ассоциативные алгебры матриц относительно операции умножения матриц. Понятно, что алгебра А называется ассоциативной над полем Ф, если в ней выполнено тождество (xy)z = x(yz). Если ассоциативную алгебру рассмотреть относительно нового произведения, коммутатора, которое определяется следующим образом: [a, b] = ab — Ьа, то получим алгебру Ли, в которой выполняется тождество Якоби и тождество антикоммутативности. Алгебру Ли можно рассмотреть и вне связи с ассоциативной алгеброй. Однако, согласно теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта, её можно вложить в алгебру Ли, полученную из некоторой ассоциативной алгебры. Одним из признанных обобщений понятия алгебры Ли является понятие алгебры Лейбница. Алгеброй Лейбница над полем Ф называется неассоциативная алгебра с билинейным произведением (т.е. линейным по каждому операнду), удовлетворяющая тождеству Лейбница

(xy)z = (xz)y + x(yz).

Из определения получаем, что алгебра Лейбница —это алгебра, в которой оператор умножения справа на элемент алгебры является дифференцированием этой алгебры. Следуя терминологии из теории алгебр Ли, в случае алгебр Лейбница будем также использовать так называемое внутреннее дифференцирование алгебры А, определенное элементом у, которое обозначим ad у. Оно задается равенством xady = ху и совпадает с оператором умножения справа Лу, которое мы также будем обозначать заглавной буквой Y. Последнее обозначение мы будем использовать при написании тождественных соотношений в случае, когда у является свободной образующей. Надеемся, что обилие обозначений оператора умножения справа не вызовет неудобств. В случае алгебр Ли или алгебр Лейбница мы будем использовать обозначение ad у, в случае произвольной алгебры А, — обозначение Ла, в случае относительно свободной или свободной алгебры будем использовать обозначение Y.

Тождество Лейбница следует из тождества Якоби: (xy)z + (yz)x + (zx)y = О, и наоборот, если мы используем тождество антикоммутативности: ху = —ух. Таким образом, алгеброй Лейбница является любая алгебра Ли. В свою очередь любая алгебра Лейбница является алгеброй Ли, если в ней выполняется тождество антикоммутативности хх = 0. Более подробно про алгебры Ли изложено, например, в книгах [1], [32]. Напомним определение идеала тождеств. Ы(А) = {/ є F{X}\f = 0 Є А] является T-идеалом абсолютно свободной алгебры F{X} полиномиальных тождеств алгебры А. Тогда F{X}/Id(A) — относительно свободная алгебра, а Рп/(Рп П Id(A)) — подпространство полилинейных элементов, где п 1.

Введем понятие произведения многообразий. Пусть V и W некоторые многообразия. Тогда произведение многообразий VW состоит из всех алгебр Л, которые содержат идеал /Ё V такой, что R/I Є W.

Приведем примеры некоторых многообразий алгебр Ли и их обозначения, с которыми мы будем работать в дальнейшем.

Многообразие А состоит из всех абелевых алгебр Ли. Это многообразие определяется тождеством Х\Х2 = 0. Если мы рассматриваем алгебру Ли, построенную из ассоциативной алгебры, то коммутатор любых двух элементов алгебры будет равняться нулю тогда и только тогда, когда ассоциативная алгебра является коммутативной. Отсюда происходит название таких алгебр Ли, как абелева алгебра. Фактически абелева алгебра Ли — это линейная алгебра с нулевым умножением.

Многообразие Nc, состоящее из всех нильпотентных алгебр Ли, ступени нильпотентности не выше с, определяется тождеством: Поясним, что в алгебре Ли, а также в алгебре Лейбница, любое произведение может быть представлено в виде линейной комбинации левонормирован-ных произведений. Поэтому для определения нильпотентности алгебры Ли или алгебры Лейбница достаточно задать только тождество с левонормированной расстановкой скобок. В этом случае произведения той же или большей степени с другими расстановками скобок также будут равны нулю.

Числовые характеристики, связанные с многообразиями

Третья глава связана с многообразиями линейных алгебр без предположения, что эти алгебры относятся к таким общепринятым классам как класс ассоциативных алгебр, класс алгебры Ли или алгебр Лейбница. Эта глава содержит экзотические примеры почти нильпотентных многообразий со свойствами, которые не встречаются в перечисленных выше классах.

Первый параграф посвящен описанию известного ранее примера почти ниль-потентного многообразия экспоненты два. Этот пример был построен С. П. Мищенко и А. Валенти в работе [47]. То есть построен пример многообразия, для которого последовательность коразмерностей ведет себя примерно как числовая последовательность 2П, п = 1,2,.... Но в то же время любое собственное подмногообразие является нильпотентным и его рост — нулевым. Известные ранее примеры почти нильпотентных многообразий имели полиномиальный рост. В этой статье не были решены вопросы полного описания числовых характеристик построенного многообразия экспоненты два. Не были найдены кратности для всех разбиений, не были найдены формулы для его кодлины и для коразмерности.

В этом параграфе завершено исследование числовых характеристик построенного в работе [47] многообразия. Этот результат опубликован в статье автора [61].

Позднее удалось обобщить идею построения примера почти нильпотентного многообразия экспоненты два и совместно с научным руководителем опубликовать статью [56], в которой для любого целого числа построено почти нильпо-тентное многообразие соответствующей экспоненты. Таким образом, построена дискретная серия почти нильпотентных многообразий экспоненциального роста с как угодно большой экспонентой. Этот результат изложен в первом пункте второго параграфа третьей главы.

Отметим, что описанные выше примеры построены в классе левонильпотент-ных ступени не выше двух алгебр. То есть построенные примеры принадлежат многообразию, определенному тождеством x(yz) = 0.

В последнем пункте третьей главы аналогичные примеры многообразий получены в классе коммутативных метабелевых алгебр. Эти примеры опубликованы в статье [54]. Основным результатом последнего пункта является, что в случае основного поля нулевой характеристики для любого натурального числа т существует коммутативное метабелево почти нильпотентное многообразие, экспонента которого равна т.

Напомним, что многообразие V почти нильпотентно, если V ненильпотент-но, но каждое собственное его подмногообразие W С V является нильпотент-ным, то есть имеет нулевой рост. В работе СП. Мищенко и А. Валенти [47] была доказана теорема о том, что у любого ненильпотентного многообразия существует почти нильпотентное подмногообразие. Введем в рассмотрение алгебру А над Ф, построенную в работе [47], а также приведем некоторые результаты из указанной статьи. Определение 2. Алгебра А порождена тремя образующими элементами {а, 6, z] и удовлетворяет следующим условиям:

В рассматриваемой алгебре выполняются следующие тождества. Первое тождество, которое мы доказываем, это тождество левой нильпотентности ступени нильпотентности не выше двух, которое имеет вид

Действительно, если / идеал, порожденный элементом z, тогда размерность фактор-алгебры по этому идеалу равна двум dim A/I = 2. Пусть annr(A) = {х Є ЛЛж = 0} является правым аннулятором алгебры А, то есть состоит из таких элементов алгебры А, результат умножение на которые справа любого элемента алгебры равен нулю. Так как элементы идеала / удовлетворяют выписанному условию, то выполняется включение / С annr(A). Из определения алгебры А, получаем, что выполняется также такое включение А2 С I. Отсюда получаем, что 0 = AI D АА2 и, таким образом, Жі(ж2 з) = 0 выполнено в алгебре А. Доказательство завершено.

Из тождества (13) следует, что только левонормированные многочлены относительно свободной алгебры могут иметь не нулевое значение в алгебре А. Второе тождество, которое выполняется в построенной алгебре А имеет вид: XQXXX = 0. (14)

Приведем подробное доказательство выполнения этого тождества, дополнив доказательство из статьи [47] рассмотрением всех случаев. Пусть ср : F{X} — А является подстановкой вместо свободных образующих некоторых элементов алгебры А. Так как XQXXX линейно относительно жо, то при проверке выполнимости тождества достаточно рассмотреть подстановки вместо образующей хо только базисных элементов алгебры А.

Если (р(хо) = а или (р(хо) = Ъ , то результат подстановки будет равняться нулю, /?(/) = 0, так как в ненулевых произведениях алгебры А самым левым сомножителем может быть только элемент Z.

Таким образом, предполагаем, что (р(хо) = zw(Ra,Rb), для некоторого возможно пустого слова w от операторов правого умножения Ra и і4- Произволь ная подстановка вместо образующей х имеет вид: (р(х) = аа + f3b + с, где а, /3 — произвольные элементы основного поля, а с Є /, некоторый элемент идеала, порожденного образующим z. Тогда, так как / С annr(A), можно считать, что подстановка имеет вид (р(х) = аа + f3b. Проведем непосредственные вычисления значений результата подстановки для различных случаев слова w{Ra)Rb). Оно может иметь три принципиально разных вида: w(Ra,Rb) = (RaRb)k, w(Ra,Rb) = (RaRb)kRa или w(Ra,Rb) = (RaRb)kRb, где к — некоторое неотрицательное целое число.

Описание почти нильпотентных многообразий в классе алгебр Ли

Доказательство. Докажем сначала утверждение в случае, когда слово w зависит не от всех Xj, пусть для определенности degY w = 0. В этом случае достаточно, чтобы выполнялось такое неравенство cleg w 2m, которое следует из условия (24). Тогда среди первых т букв слова w существует хотя бы две одинаковые. Используя в случае необходимости один или несколько раз тождество (22), получим элемент, в котором одинаковые буквы либо расположены рядом, либо разделены только одной другой буквой. В последнем случае применяем тождество (21) и получаем элементы в которых существует две подряд одинаковые буквы. Без ограничения общности будем считать, что в элементе рядом расположены две буквы хт-\.

Так как cleg w 2m, то либо до этой пары, либо после расположено не менее т — 1 букв, которые в силу тождества (23) можно переставлять кососимметрич-ным образом. Если среди этих букв нет буквы жто_і, то число различных букв меньше или равно т — 2, поэтому найдутся две одинаковые и рассматриваемый элемент тождественно равен нулю.

Если же все буквы разные, то одна из них совпадает с буквой хт-\. Перемещая ее к выделенной паре по тождеству (23), получим три подряд одинаковые буквы. В этом случае осталось использовать третье тождество из предложения 3.2.1, чтобы показать, что рассматриваемый элемент тождественно равен нулю. Пусть теперь все буквы существенным образом входят в слово w. Из условия на степень существует т подряд букв, которые не все разные.

Аналогичными рассуждениями, которые были использованы в предыдущем случае получаем, что на некотором месте можно расположить две одинаковые буквы. Используя тождество (23) перепишем рассматриваемый элемент следующим образом: xowf(Х1Х2 ... Хт)Г1{Х\... Xs... ХтХаХ\... Xs... Хт){Х\Х2 ... Xm)r2w", причем слова «/, w" не содержат все т букв, а домиком обозначены отсутствующие сомножители. Из условия (24) получаем, что либо degw 2m, либо degw" 2m и для завершения доказательства Предложения 3.2.2 достаточно воспользоваться рассмотренным в начале частным случаем. Предложение 3.2.2 доказано.

Пусть Qn(\Jm) = spanjrroa i) xa \a Є Sn} — пространство полилинейных левонормированных одночленов относительно свободной алгебры многообразия Um. Симметрическая группа Sn действует на Qn(Um) перестановкой образующих xi,..., хп, задавая структуру -модуля. Соответствующий характер раскладывается на неприводимые -характеры: где mj — кратность неприводимого характера \х в Хп UUm)), а сумма берется по разбиениям А числа п. Определим также последовательность c (Um), п = 1,2,..., размерностей пространств Qn(Um).

Доказательство. Пусть / Є Qn(Um) и предположим, что / имеет ненулевое значение в алгебре Ат. Так как / полилинейный элемент, то анализ является ли он тождеством достаточно проводить подставляя только базисные элементы алгебры Ат. Для ненулевого значения необходимо вместо хо подставить zw, где w зависит от операторов Ra., і = 1,2,... ,m. Кроме того, любая другая переменная / должна быть заменена на а , і = 1, 2,... ,m. Иначе получим нулевое значение.

В качестве следствия получаем, что любой полилинейный многочлен из Qn кососимметричный от более чем т образующих будет иметь как минимум две одинаковые образующие, а значит будет является тождеством алгебры Ат. Отсюда с помощью стандартных рассуждений, получаем, что если диаграмма соответствующая разбиению Л = (Лі,Л2,...) \ п имеет более т строк, то есть Лто+1 ф 0, то т\ = 0 и характер неприводимого представления \х не входит в сумму (25).

Пусть Л = (Лі, Л2,... , Лто). Так как характеристика основного поля равна нулю, то тождество Xof\ = 0, построенное по этому разбиению будет эквивалентно полиоднородному тождеству XQW\ = 0, в котором degx = ЛІ, І = 1, 2,... , m, т.к. cleg w — minidegv w, , degv w\-m 4m из условия Предложения 3.2.3. попадаем в условия Предложения 3.2.2.

Перейдем к доказательству второй части утверждения. Во второй лемме статьи [5] установлено, что кратность совпадает с размерностью пространства полилинейных элементов специального вида. В силу нулевой характеристики основного поля существует эквивалентность между полилинейными и соответствующими им полиоднородными тождествами. Поэтому для оценки кратностей достаточно оценить в относительно свободной алгебре размерность пространства некоторых полиоднородных элементов.

Зафиксируем разбиение Л = (Лі, Л2,..., Лто) числа п и рассмотрим пространство 5ль...,Ат полиоднородных элементов вида xow(Xi,... ,Xm), где w ассоциативный полином от операторов Xi,... ,Xm полистепени (Лі,... , Лто), то есть degXi w = Л , і = 1, 2,... ,m. Так как мы рассматриваем ненулевые элементы, поэтому в силу предложения 3.2.2 выполнено неравенство n—m-\m 4m. Пусть Xow(Xi,... ,Xm) некоторый моном, именно моном, из пространства Q\b...,\m. При доказательстве предложения 3.2.2 было установлено, что если в мономе w две одинаковые буквы расположены рядом, то элемент XQW будет тождественно равен такому:

XQW {Х\Х2 ... Хт)Г1{Х\... Xs... XmXsX\... Xs... Xm){X\X2 ... Xm)r2w", причем, так как это ненулевой элемент, то слова «/, w" не содержат одинаковые буквы и их длина «/, w" строго меньше т. Кроме того, тождество (23) позволяет менять местами соседние буквы внутри скобок, что позволяет, во-первых, собрать пару одинаковых букв на границе первых двух скобок и переписать элемент следующим образом:

Доказательство. Из предложения 3.2.3 следует, что в разложении характера Xn ((Um)) с ненулевыми кратностями присутствуют только неприводимые характеры ХА, соответствующие диаграммам Юнга, у которых вне прямоугольника размером т х Ато расположено менее 4т клеток. Так как модуль Рп+і(иm) индуцирован с S —модуля Qn(Um), в котором образующую Хо заменим на xn+i, то из теории представлений симметрической группы следует, что все неприводимые его подмодули соответствуют диаграммам Юнга, у которых вне прямоугольника размером т х Ато расположено не более 4т клеток. Понятно, что такое же утверждение верно и для любого ненильпотентного подмногообразия V.

Дискретная серия почти нильпотентных многообразий любых целых экспонент

Оказывается, что тогда yiy2iv(Xi,... ,Хт) = 0 является тождеством алгебры Вт. Сначала докажем утверждение в частном случае, когда слово w зависит не от всех Х{, причем в этом случае достаточно, чтобы выполнялось неравенство cleg w 2m. В случае, если слово w зависит от всех т образующих, то тождества (27), (28), (29) позволяют переписать любой элемент в виде, когда один из операторов Ха входит в квадрате, а далее в виде: где домиком обозначены отсутствующие сомножители, причем слова «/, w" не содержат все т букв, а следовательно либо elegit/ 2m, либо elegit/ 2т. Поэтому равенство нулю получается в силу рассмотренного частного случая.

Пусть / Є Qn(Vm) и предположим, что / имеет ненулевое значение в алгебре Вт. Так как / полилинейный элемент, то анализ, является ли он тождеством достаточно проводить подставляя только базисные элементы алгебры Вт. Для ненулевого значения необходимо чтобы результат подстановки в у\уі был равен z2w, где w зависит от операторов Ra., і = 1, 2,..., т. Кроме того, любая другая переменная / должна быть заменена на а , і = l,2,...,m. Иначе получим нулевое значение.

Как следствие получаем, что любой полилинейный многочлен из Qn косо-симметричный от более, чем т, образующих является тождеством алгебры Вт. С помощью стандартных рассуждений, получаем, что если диаграмма соответствующая разбиению Л = (Лі,Л2,...) \ п имеет более т строк, то есть ATO+i ф 0, то т\ = 0 и характер неприводимого представления \х не входит в сумму (25).

Перейдем к доказательству второго утверждения. Во второй лемме статьи [5] установлено, что кратность совпадает с размерностью пространства полилинейных элементов специального вида. В силу нулевой характеристики основного поля существует эквивалентность между полилинейными и соответствующими им полиоднородными тождествами. Поэтому для оценки кратностей достаточно оценить в относительно свободной алгебре размерность пространства некоторых полиоднородных элементов.

Зафиксируем разбиение Л = (Лі, Л2,..., Лто) числа п и рассмотрим простран ство 5ль...,Ат полиоднородных элементов вида yiy2w(Xi,..., Хт), где w ассоциативный полином от операторов Хі,... ,Хт полистепени (Лі,... , Лто), то есть degXi w = Л і = l,2,...,m. Так как мы рассматриваем ненулевые элементы, то в силу предложения 2 выполнено неравенство п — т Лто 4т. Пусть УіУ2іи{Хі,... ,Хт) некоторый моном из пространства Q\li...i\m. При доказательстве теоремы 3.5. было установлено, что если в мономе w две одинаковые буквы расположены рядом, то элемент y\y2W будет тождественно равен такому: причем, так как это ненулевой элемент, то слова «/, w" не содержат одинаковые буквы и их длина «/, w" строго меньше т. Кроме того, тождество (29) позволяет менять местами соседние буквы внутри скобок, что позволяет, во-первых, собрать пару одинаковых букв на границе первых двух скобок и переписать элемент следующим образом: а во-вторых, упорядочить буквы слов «/, w". Назовем такие элементы элементами первого типа. Их количество не более, чем 4т, так как выбор слова w или w" ограничен числом

Из доказательства предложения 2 следует, что мы не умеем сводить к элементам первого типа в случае, когда в мономе любые т подряд идущих букв разные. Поэтому буквы на местах і и і + т должны совпадать, то есть слово w определяется своими первыми т буквами. Таким образом, количество слов второго типа не более, чем т\. Для завершения доказательства данного предложения достаточно взять С = 4т + т\.

В случае нулевой характеристики основного поля для любого целого т (т 2), существует почти нильпотентное коммутативное метабелево многообразие экспоненты т. Доказательство. Из теоремы 3.5. следует, что в разложении характера Xn(Vm) с ненулевыми кратностями присутствуют только неприводимые характеры х\, соответствующие диаграммам Юнга, у которых вне прямоугольника размером т х Лто расположено менее 4т клеток. Так как модуль Pn+2(Vm) индуцирован с Фб -модуля Qn(Vm), в котором образующие уі,У2 заменим на жп+1,жп+2 соответственно, то из теории представлений симметрической группы следует, что все неприводимые его подмодули соответствуют диаграммам Юнга, у которых вне прямоугольника размером т х Ато расположено не более 4т+ 1 клеток. Понятно, что такое же утверждение верно и для любого нениль-потентного подмногообразия многообразия Vm. Используя формулу крюков и формулу Стирлинга, получаем, что размерности d\ таких неприводимых модулей удовлетворяют неравенствам: т d\ bin) m , а{п) где a(t) и b(t) фиксированные многочлены.

Напомним, что кратности ограничены константой, не зависящей от п. Поясним также, что число ненулевых кратностей также ограничено константой, так как вне фиксированного прямоугольника у соответствующих диаграмм Юнга расположено не более 4т + 1 клеток. Поэтому, используя элементарные соображения математического анализа, получаем, что экспонента самого многообразия Vm, а также любого его собственного ненильпотентного подмногообразия равна т. Осталось заметить, что согласно результату работы [47] в любом ненильпотентном многообразии существует почти нильпотентное подмногообразие.