Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах Зенков, Виктор Иванович

Введение к работе

Актуальность темы. Активное изучение арифметических свойств конечных групп началось после того, как в 1872 г. норвежский математик Л.Силов доказал свои знаменитые теоремы о существовании, сопряженности и числе максимальных р-подгрупп, названных позднее силовскими. Эти теоремы породили много обобщений в различных⁴ направлениях теории групп, как конечных, так и бесконечных. Так в начале века У.Бернсайд [9] доказал разрешимость бипримарной группы, т.е. группы, порядок которой делится только на два простых числа. Делитель к числа п называется холловым, если числа к и п/к взаимно просты. В 30-х годах нашего века Ф.Холл нашел обобщение теоремы Л.Силова для разрешимых групп, а именно, доказал существование и сопряженность подгрупп порядка к в группе порядка п для любого хол-лового делителя к числа п. Такие подгруппы называются холловыми. Отметим, что из существования холловых подгрупп по всевозможным холловым делителям порядка группы вытекает разрешимость группы G. Этот факт установлен Ф.Холлом [14] и С.А.Чунихиным [5]. С именем С.А.Чунихина и его школы связан большой период в изучении арифметических свойств конечных групп, в течение которого получены многочисленные результаты, подытоженные в [6]. Строение силов-

3 '

ских р-подгрупп изучалось в работах Л.А.Калужшша и М.Краснера [18] для симметрических групп, Р.Картера и П.Фонга [11], A.Bettp [23] и В.Уонга [24] для классических групп и Д.Горенстейном и Р.Лайонсом [13] для исключительных групп. Более подробно с этими вопросами можно познакомиться по обзору А.С.Кондратьева [3].

В настоящей диссертации изучаются вопросы, связанные с пересечениями нильпотентных подгрупп, в частности, силовских р-подгрупп в конечных группах. Постановки задач, а также результаты, связанные с с этими вопросами можно найти в обзоре В.В.К'абаиова и А.С.Кондратьева [2]

Рассмотрим более подробно результаты, ведущие к постановке главных вопросов, рассматриваемых в диссертации.

В работе 1904 года У.Бернсайд [9] доказал разрешимость конечпой бипримарной группы, то есть группы порядка p^aq^b, где р и q — различные простые числа. Так как либо р" > <Д либо q^b > р", то без ограничения общности, можно предполагать, что в бипримарной группе р" > q^b. Год спустя им была доказана следующая теорема.

Теорема (Бернсайд [10]). Пусть G — конечная группа порядка p"q^b и р^а > q^b. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1. G обладает характеристической р-подгруппой порядка > p"q~ ;

2. р = 2, q =2" +1 — простое число Ферма;

3. р = 2" — 1 — простое число Мерсенна и q = 2.

Через семьдесят лет В.С.Монахов [4] обнаружил пробел в теореме У.Бернсайда, исправил и распространил эту теорему на все разрешимые группы, а также указал ограничения на показатели а и Ь и дока-

зал существование бипримарпой группы с O_p(G) = 1 при минимальных возможных значениях показателей а и Ь. Следующие три теоремы принадлежат В.С.Монахову [4].

Теорема (Монахов [4]). Пусть G — конечная разрешимая группа порядка р"т, р — простое число; (р,т) = 1 up" > т. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

4. G обладает характеристической р-подгруппой порядка > р^ат~¹;

5. р= 2, q = 2" + 1 — простое число Ферма и q'² делит порядок G, причем а > 4 при и = 1, а а > 2п + 1 при п > 1;

6. р = 2" — 1 — простое число Мерсенна uq = 2, причем а > р + 1 и 2"^р делит порядок G;

7. р — 2, а > 23 и 7⁸ делит порядок G.

Теорема (Монахов [4]). Пусть G — конечная группа порядка p^aq^b, р , и q — различные простые числа и р" > q^b. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

8. G обладает характеристической р-подгруппой порядка > p^aq~ ;

9. р = 2, q — 2" + 1 — простое число Ферма, Ь>2, пррчем а > 4. если п — 1, « а > 2п + 1, если п = 1/

10. р = 2" - 1 — простбе^число Мерсенна uq = 2, причем а > р + 1 и Ь > пр.

Ц) р = 2, а > 23 и 7⁸ делит порядок G.

Георема (Монахов [4]). Группа порядка p"q^b, где р и q,— различные простые числа, р^а > q^b, не имеющая неединичных нормальных у-подгрупп, существует для каждого из следующих случаев:

(V P = 2, q = 2" + 1 — простое число Ферма, Ь = 2 и а = 4, если га = 1, и а = 2га -f 1, если га > 1;

(2)р = 2"-1 — простое число Мерсенна иq = 2, а = р +1 ub = пр; (3)р = 2, q = 7, а = 23 « Ь = 8.

В этой же работе [4, предл. 4.3] В.С.Монаховым для каждого из трех случаев последней теоремы был построен пример бипримарной не q-замкнутой конечной группы G, в которой O_p(G) = 1.

Из анализа рассмотренных выше теорем возникают следующие вопросы:

(А) Пусть G — группа порядка р^ат, (р, т) = 1 и р" > т. Что можно сказать в этом случае о группе G1 В частности, можно ли утверждать, что разрешимая группа G содержит секцию, аналогичную описанной в третьей из приведенных теорем В.С.Монахова, и какие секции содержит неразрешимая группа G.

(А1) Насколько широк класс бипримарных не д-замкнутых групп без неединичных нормальных р-подгрупп, в которых р^а > q^b? Выше уже было отмечено, что этот класс групп не пуст. В общем случае, насколько широк класс групп G порядка р^ат, O_p(G) = 1, {р, tn) = 1, в которых р^а > т?

Ситуация, описанная в приведенных выше теоремах У.Бернсайда и В.С.Монахова, когда существует неединичная характеристическая р-подгруппа, соответствует "регулярному" случаю, так как умножив прямо любую конечную группу нар-группу подходящего порядка можно добится выполнения условия р^а > т. Ситуации, описанные в приведенных выше теоремах, когда в группе G нет неединичных характеристических р-подгрупп и р" > т, являются в определенной степе-

ни "исключительными" и при изучении "исключительных" ситуаций можно считать O_p(G) = 1. Если в конечной группе G имеем O_p(G) = 1 и для силовской р-подгруппы Р найдется элемент х из G, такой, что Р П Р' = 1, то \G\ > \РР^Х\ = \$Ц = |рр. Следовательно, "исключительные" ситуации при обсуждении вопроса (А) могут возникнуть лишь когда Р Л Р¹¹ ф 1 для любого элемента у из G.

В связи с этим возникает следующий вопрос:

(В) Пусть G ~ конечная группа с O_p{G) = 1. Что можно сказать о группе G, если Р Ґ1 Р" ф 1 для любого элемента у из G, или более общо, тот же вопрос для холловой 7Г-подгруппы Н из G.

Как следует из третьей из числа приведенных теорем В.С.Монахова,

в "исключительной" ситуации отношение квадрата порядка силовской

р-подгруппы к порядку всей группы может быть сколь угодно боль-.

шим. Например, если

пунктах (1), (2) и (3) цитируемой теоремы и G,- = fixG|X.,.x Сн,

і раз то в силу неравенства |Pi|²/|Gi| > 1 для силовской р-подгруппы Pi из

G\ имеем lim \Pi\^l/\G{\ = оо, где Р,- — силовская р-подгруппа из G,-;

Поэтому удивительным является следующий факт, доказаппый

Д.Пассманом в 1966 году [21].

Теорема (Пассман [21]). Пусть G — разрешимая конечная группа, Р — силовскаяр-подгруппа из G « O_p(G) = 1. Тогда РпР*ПР*=1 для некоторых элементов х и у из G.

В связи с теоремой Д.Пассмапа в случае произвольной конечной группы G и силовской р-подгруппы Р из G возникает следующий во-

нрос

(С) Верно ли, что РП Р* П Р» = O_p{G) для некоторых элементов х и у из G?

В свою очередь для х-разрешимой группы из анализа теоремы Д.Пассмана возникает вопрос

(С1) Пусть G — конечная 7Г-разрешимая группа с нильпотентной холловой 7г-подгруппой Н. Верно ли, что Н О #* П Н^у = O_x(G) для некоторых элементов х и у из G?

Цель работы. Решение вопросов (А), (В) и (С) в классе всех конечных групп и вопроса (СІ) в классе гг-разрешимых конечных групп с нильпотентной холловой 7г-подгруппой.

Общая методика исследований. Применяются методы теории конечных групп.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теориях конечных и бесконечных групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I, II и III Международных конференциях по алгебре в Новосибирске, Барнауле и Красноярске соответственно, на Международной конференции "Алгебра и анализ" в Казани, на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Свердловске, на семинаре по общей алгебре МГУ, основанном О.Ю.Шмидтом, на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" (ИМ СО РАН и НГУ) и на алгебраическом семипаре по теории групп в ИММ УрО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ра-

ботах [25]-[29].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из вве
дения, четырех глав и списка литературы (59 наименовании), занимает
209 страниц текста, набранного на lATjrjXe. Нумерация основных тео
рем одинарная, в I главе двойная (номер главы, номер леммы в главе),
в остальных тройная (номер главы, номер параграфа в главе, номер
пункта в параграфе). '