Введение к работе
Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена нахождению точна?, значений показателя сходимости особого интеграла в проблеме Гильберта-Камке для нецелых степеней и в проблеме Хуа-Логена для среднего значения тригонометрического интеграла в случае обобщенное многочлена, а также индивидуальным оценкам соответствующих тригонометрических интегралов. Актуальность теш.
Тригонометрические интегралы и теоремы об оценках их верхних граней встречаются в различных областях математики: в теории чисел (см.П-14]), з теории вероятностей и математической статистике (см. І15-1ТЗ), в теории функций действительного переменного (см. (183).
Особые интегралы в аддитивных задачах теории чисел возникают как множитель 7 в асимптотической формуле типа
і(х) ~ а 7 ха при некотором а > О для количества одновременных представлений набора растущих натуральных чисел N,,...,11 слагаемыми, обладающими заранее установленными арифметическими свойствами, при этом х характеризует порядок возрастания предполагаемых чисел. Второй мнозкитель о в этой асимптотической формуле равен сумме особого ряда рассматриваемой аддитивной проблемы.
Для того, чтобы эта формула действительно давала асимптотику интерєсущзй нас величины, очевидно, необходимо отличие от нуля обеих величин о и 7- Заметим, что выполнение этого условия по существу эквивалентно разрешимости исходной задэчи соответственно. Бывают случаи, и к ним, в частности, относится проблема Гильберта-Камке для нецелых степеней, когда вопрос о р-адическсй разрешимости решается тривиально и о = 1, тогда кетривиальность асимптотики
. - 4 -
определяется исключительно отличием от нуля величины 7- Поясним, что проблемой Гильберта-Камке с нецелой степенью называют задачу о
представлении набора растущих чисел N1f...,N„ в виде:
п, +9 а, +9
N, = !г/ 3 + ... + lxk' 1
2L+9 п+9
Нг = Гх^ ]+...+ [х^ ]
Здесь мы полагаем, что 0 ч 9 < 1, а к это число слагаемых,
n1t...,nr - фиксированные натуральные числа, и
В1 х I « «. " *
3 данных обозначениях особый интеграл 7 = 70 в проблеме Гильберта-
Камке выражается в виде следующего несобственного интеграла:
к» +00 1
T0=J —J (j Є ) Є ' - Г 00,...00^, (1)
-« -о» О
п,+9 п_+9
где f (х) = сцх ' +...tOpX (0 < в < 1). (2)
При изучении величины 7q в первую очередь возникает вопрос
абсолютной сходимости этого несобственного интеграла. При этом
подынтегральное выражение представляет собой тригонометрический
интеграл 1
г 21ЙГ(х) I = 1(0,,...,0^.) = I е бх
о от обобщенного многочлена ї(х) указанного выше вида. Можно
установить абсолютную сходимость интеграла 7 при достаточно
большом значении к, опираясь на оценки интеграла I по параметру
а = |а, | + ... + |а | со степенным понижением. Здесь возникает
задача о всей области значений степени осреднения к для модуля
интеграла I, при которой имеет место абсолютная сходимость
интеграла 70-
В случае проблемы Терри Еопрос о сходимости особого интеграла
7 = 71 известен как вробдемз Хуг-Логена (см.ГЗ-5],Н0І). Эта проблема бнла решена в работе [93, где была полностью исследована область значений к, sips которой сходится особый интеграл в проблеме-Терри, к тем самым решен вопрос о показателе его сходимости.
Для показателя сходимости 5 особого интеграла 7q в проблеме Гильберта-Камке верхняя оценка была подучена в работе 1143.
Можно рассмотреть также более общую задачу о нахождении показателя сходимости особого интеграла 7т 8CJ!K заменить їШ на
функций вида
rt с ±Ш = а,х 1 + ... + а,,х г, где С > ... >С, >0-
*
произвольные действительные числа. Если такую фуищию рассматривать как обобщение, обычного многочлена, то в гтом смысле гадачу нахождения показателя сходимося: соответствующего интеграла >-. естественно назвать обобщенной проблемой Хуа-Логена о моменте тригонометрического интеграла.
Цель исследования. 1. Получить точное значаще показателя сходимости особого интеграла в проблеме Гильберта-Камке для нецелых степеней и в обобщенной проблеме Хуа-Логена.
2. Получить индивидуальные оценки для соответствующих тригонометрических интегралов.
Общая методика исследования. Используются методы оценок тригонометрических сумм и интегралов. Обобвдше этих методов опирается на изучение аналитических свойств обобщенных многочленов. Приложение. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для исследования обобщенных решений задачи Коши для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Избранные главы аналитической теории чисел" под руководством профес-
- б -
сора Г.И.Архипова и профессора В.Н.Чубэрикова в МГУ и были представлены на международной конференции "Современные проблею теорш чисел" в г.Тула.
Публикация. По теме диссертации автором опубликованы две работы,
их список приведен в конце автореферата. xv
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и
трех глав, объем работы 74 машинописных страниц, список литература
включает 27 наименований. "