Определяющие соотношения подгрупп группы автоморфизмов свободной группы Савушкина, Анна Геннадиевна

Введение к работе

Актуальность темы. Пусть F_n (п>2) - свободная группа со свободными ібразующими а[,...,а_п. Группа автоморфизмов AutF_n конечно определена. Она юрождается множеством нильсеновых автоморфизмов, заданных следующими зображеннями:

->a, ->a_k

,(k*l);

a]

а_к-> а_ка_г, (к*1); а_к-> а,а_к ,(к*1);

где, к,1=1,2,...,п. При задании автоморфизмов неподвижные образующие не выписываются. Определяющие соотношения группы автоморфизмов свободной группы F_n в выписанном множестве порождающих элементов выглядят громоздко (см. напр [4]). В настоящее время наиболее удобной для пользования системой порождающих элементов группы AutF_n считается система автоморфизмов Уайтхеда (см. напр. [26]). Автоморфизм из группы AutF_n называется сопрягающим, если он отображает каждую образующую а_р в слово вида W_p (a;,...,a_n)aj W_p(ai,..,,a_n). Группа сопрягающих автоморфизмов

обозначается через С_п. В 1985 году С. П. Хэмфри ввел в рассмотрение сопрягающие базис автоморфизмы, то есть те автоморфизмы из группы С_п которые отображают каждую образующую а_р в слово вида

W„ (ai,...,a_n)apWp(a_b...,a_n) ,и доказал (см. [2]), что группа сопрягающих базис

автоморфизмов Яй_п порождается автоморфизмами

*i.y as-» a J a,aj (1<і, j

Систему определяющих соотношений группы ЗН_Г :

ei,jEk,i=Sk,)Ei,j (i*k; i*l; j*k)

(2)

построил в 1986 году Дж. Маккул. (см. [1])

Симметрическая .группа подстановок _п является подгруппой группы С_п.

Она порождается автоморфизмами

Га; -> a_{i + 1}

щ: { 0 = 1 п-1) (3'

І^аі₊і -> &і

и определяющими соотношениями (см. например, [3])

а?=1

а,а₁₊іаі⁼<*і+і<*№+і (l

а,а_к=а_ка_; (1<і, к<п-1; |і-к|>1)

Группы кос были введены Е. Артином в 1926 году (см. [5]). В этой работе косы определяются как геометрические объекты. Группа кос на п нитях

обозначается через S8_n. Подгруппа группы С_ш состоящая из тех автоморфизмов,

которые отображают на себя произведение aia2...a_n, является группой кос _п і

(см., например, [4]). Она порождается автоморфизмами

а, —» а.

о,: -j ' ^{l + 1}_! (1 = 1,...,п-1) (5)

^ai + l "* ^ai + l^ai^ai + l

и определяющими соотношениями (см. [5])

o,a₁₊₁Oi=ai₊ia₁a₁₊₁ (i=l,...,n-2)

(6) 0,^=0,0", (і, j = l,...,n-l; |i-j|>l)

Ядро гомоморфизма группы кос 8_П в симметрическую группу _п,

переводящего каждую образующую а, в транспозицию (і, і+1), является группой

крашеных кос 9J_n. В 1933 году В. Вурау [16] нашел , что группа крашеных кос

Я ц задается образующими

Sy^CTj_₁a_j_₂...cr_i+1c7? 0-:^...0-:^0-^, (l

и определяющими соотношениями

Si_/s_kl=s_kls₁j (i

Sy S_ikSj_k=S_lkSj_kS,₇ (i

SikS_jkS,y=S_jkS,yS_ik (i

SikSjltSjlSjjJ =8^(3^8^¹ (i

Широко известно задание Э. Артина [17] группы крашеных кос

^sr_PSj_k s7p =s'k (p

SkpSikS^ =¹ (i

SrkSik s;_k' = sr_k' sr' s_iks,_rs_lk (i

SrpSiksrp¹ = sf_p¹_tsr¹s_ips_il.s_iksr¹ S^SjrS.p (i

В работах [11, 18, 19] было уточнено задание группы крашеных кос Э. Іртина .

В 1945 году А А. Марков [6] указал систему определяющих соотношений группы срашеных кос Я_п для образующих р,,-, где через р_;. (1< i

coca CTj_₁aj_2...ai₊₁a_iCT_i^₁...aj_20j^i группы »_п и p„^l(l= Рк,1 0^{<к v} k

Ру Рк,1 Ру = Рі,і рДі Pj,l Ру Рк,1 РЇ1 Pj+U P^JO

Ру Рк,1 Ру^! = Pj₊l,l Pj,l Рк,І Рід Pj,l Pj"+U Pi.l (^ksj<« Пусть Z_n-= (tі,...,t_n) - свободная абелева группа ранга п со свободным Заз.ісом t! ,..., t_n , JZ_n - групповое кольцо группы Z_n над кольцом целых чисел J. Представление Гасснер [9] группы крашеных кос 5И„ в мультипликативную

группу n х n матриц с элементами из JZ_n ото гомоморфизм группы 91_п определяемый следующим отображением образующих (5) группы _n:

U-4+i) ч 1

где выделены і-я строка и і+1-я строка.

Магнус и Пелузо [10] доказали, что представление Гасснер для 9?з точное Бирман (см. [11] теорема 3.14) показала, что ядро представления Гасснер группь 5Ч„ принадлежит 91 .

Пусть Z=(t) бесконечная циклическая группа и JZ - групповое кольці
группы Z над кольцом целых чисел J. Представление Бурау (см. например [11]
стр. 118) группы кос _п в мультипликативной группе n х п матриц <
элементами из JZ это гомоморфизм, определяемый отображением
\ Г 1

^! 1

_, 1-t t

i -* 1 0

где выделены і-я строка и і+1-я строка.

Магнус и ГГелузо [10] доказали, что представление Бурау для 3$з точное, эирман (см. [11] теорема 3.14) показала, что ядро представления Бурау группы toe _п принадлежит ЗД j, <~^9t_n.

Вопросы о точности представления Гасснер группы крашеных кос и представления Бурау группы кос являются открытыми, поэтому естественным является поиск новых ограничений на ядра соответствующих представлений.

Диссертация посвящена изучению свойств некоторых известных подгрупп группы автоморфизмов свободной группы F_n с точки зрения задания их через образующие и определяющие соотношения. Некоторые результаты о классических группах получены при рассмотрении их как подгрупп группы автоморфизмов свободной группы.