Введение к работе
Актуальность_темьі. Теория абелевых групп является одним нз важных направлений современной алгебры. Все возрастающий интерес к абелевым группам понятен: теория абелевых групп тесно переплетается с теориями модулей, колец, множеств, категорий, чисел. С одной стороны, теория абелевых групп являясь частью теории модулей использует ее идеи и методы, с другой стороны, она - один нз основных побудителей новых исследований в теории модулей (см. [1МС]).
Глубокая структурная теория периодических абелевых групп, заложенная Прюфером, Ульмом, Куликовым, позволяет решать многие задачи для этого класса абелевых групп. Другое дело - теория абелевых групп без кручения. Классы групп с хорошей структурной теорией немногочисленны. Работы Понтря-гина [1По], Куроша [Жур], Мальцева [1Ма1], Дэррн [2De], Куликова [1Кул1]-[1Кул9] положили начало теории абелевых групп без кручення. Удовлетворительной структурной теории даже для групп без кручения конечного ранга не существует до сих пор. А из работы Яковлева [1Я] вытекает, что "хорошей" классификации групп конечного ранга вообще не может быть. В книгах [2А], [2Ве] отражено развитие теории групп без кручения, в основном конечного ранга, после появления монографии Фукса [1Ф1], [1Ф2] (см. также [ШиМ], [1Мнш1]-[1Мнш2]).
Важной задачей теории абелевых групп является изучение связей между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов. Теория колец эндоморфизмов абелевых групп берет начало в теории линейных операторов векторных пространств. Основы ее заложены Бэром, Капланским, Селе, Пирсом н др. (см. [2В], [ШаМ], [Шнх1]). Одним из наиболее естественных вопросов при изучении связей между абелевой группой и ее кольцом эндоморфизмов является вопрос об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами эндоморфизмов (известная проблема 43 книги Фукса [2F1]). Если для периодических абелевых групп ответ на поставленный вопрос положителен, то для абелевых
групп без кручения это далеко не так. Вместо кольца эндоморфизмов можно рассматривать, например, только его аддитивную или мультипликативную части.
Настоящая работа посвяшена изучению связей между абеле-выми группами с изоморфными кольцами (группами, полугруппами) эндоморфизмов, а также близким вопросам.
Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной.
ЦЗЬ_аботы. Основной целью работы является исследование вопроса об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами, полугруппами, аддитивными группами эндоморфизмов для некоторых известных классов абелевых групп, а также для вновь введенных в работе классов.
Общая_методика_исследований. В диссертации используются методы теории абелевых групп, теории колец и модулей, методы линейной алгебры, теории чисел и теории множеств. При изучении вопроса об изоморфизме абелевых групп с изоморфными кольцами, полугруппами, аддитивными группами эндоморфизмов применяется понятие определяемости абелевой группы ее кольцом (группой, полугруппой) эндоморфизмов в некотором классе, что позволяет, например, сводить решение этой задачи к более узкому классу групп и, таким образом, ее упростить. В работе введены новые классы абелевых групп, для которых решается вопрос об изоморфизме групп из данных классов с изоморфными кольцами эндоморфизмов, что позволяет получать, как следствия, результаты для уже известных классов.
Научнад_новнзна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами данной работы можно считать следующие.
1) Решение проблемы 43 книги [2F1], а также ее аналогов
с полугруппами и аддитивными группами эндоморфизмов для
вновь введенных, а также для уже известных классов абелевых
групп.
2) Выделение из известных классов абелевых групп без
кручения специальных подклассов с помощью которых получены
решения проблем 34 из [1Ф1] и 42 из [2F1].
-
Сведение вопроса об определяемости кольцом, группой и полугруппой эндоморфизмов абелевой группы без кручення в классе всех абелевых групп к этому же вопросу в классе всех абелевых групп без кручения.
-
Выделение классов абелевых групп, для которых задача определяемости полугруппами эндоморфизмов эквивалентна аналогичной задаче с кольцами эндоморфизмов.
5) Для определяемости абелевой группы без кручения
своим кольцом эндоморфизмов в классе всех абелевых групп без
кручения найдено необходимое условие, которое оказывается и
достаточным для многих классов абелевых групп без кручения.
Как следствия получены многие известные соответствующие результаты Бэра, Кашинского, Крылова, Мэя, Пуусемпа и др.
П2актическая_ценность. Результаты, изложенные в диссертации, имеют теоретическое значение. Идеи и методы, изложенные в работе, могут применяться при решении аналогичных задач в теории модулей и других алгебраических структурах. Ряд утверждений работы позволяет получить информацию о строении кольца эндоморфизмов, группы гомоморфизмов абелевых групп без кручения. Введение новых классов расширяют знания о строении абелевых групп. Ряд теорем использован автором при чтении спецкурсов, некоторые результаты работы вошли в монографию [2Ве].
Ап20бация_2аботы. Основные результаты диссертации докладывались на 11, 12 н 19 Всесоюзных алгебраических конференциях (Кишинев, 1971 г., Свердловск, 1973 г., Львов, 1987 г.), Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Гомель, 1986 г.), Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990 г.), Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 г., Барнаул, 1991 г. Красноярск, 1993 г.), на заседании международной школы "Алгебра и анализ" (Иркутск, 1992 г.), на международной конференции по теории полугрупп (Санкт-Петербург, 1995 г.), на международных конференциях по теории абелевых групп (Padova, 1994 г., Colorado Springs, 1995 г.), на семинарах по теории групп и теории колеи в Новосибирском госуниверситете (1992 -
1993 г. г.). на семинаре "Алгебра и логика" (1993 1995 г.г.)» на алгебраических семинарах Московского госуниверситета, Московского педагогического госуниверситета, Томского госуниверситета (1972 - 1995 г.г.), Ленинградского госуннверситета (1991 г.). Нижегородского госуннверснтета, Нижегородского педагогического университета (1990 1995 г. г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [ЗС1]-[ЗС37].
Ст2укту.Ва_и_объем_абдты. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, первая и четвертая из которых, содержат по четыре параграфа, вторая и третья - по пять. Список литературы содержит 105 наименований. Диссертация изложена на 252 страницах машинописного текста.