Введение к работе
Основные результаты работы относятся к теории моделей, одному из важнейших направлений математической логики, впервые оформившемуся в работах А.Тарского и А.И.Мальцева. Одной из традиционцых задач теории моделей является описание типов изоморфизма для какого-либо класса моделей, поскольку изоморфность двух моделей является наиболее сильным отношением "схожести" моделей среди всех, рассматриваемых в рамках предмета. Другое важное направление работы — исследование свойств моделей, выразимых средствами стандартной логики первого порядка. Два класса задач такого рода часто оказываются далеки друг от друга в силу того, что в обычной логике может быть выражена лишь малая часть всех возможных свойств модели и ее элементов (примером может служить отношение элементарной эквивалентности двух моделей).
В логике существует подход, позволяющий, с одной стороны, обобщить понятие свойства, выразимого обычными средствами, с другой, ввести цепь отношений "схожести", являющимися аппроксимациями понятия изоморфизма с разной степенью близости к нему, в пределе превращающихся в отношение частичной изоморфности, для счетных моделей тождественное изоморфности. Речь идет о понятии а-эквивалептности, формулируемом в логике, расширенной возможностью образовывать конъюнкции и дизъюнкции произвольных множеств формул, которое означает неразличимость двух моделей (или элементов в одной модели) формулами, сложность которых ограничена данным ординалом а.
Одна из первых систематизации результатов в этой области была сделана в работе Д. Скотта [17], где были сформулированы основные теоремы для такой логики, ранее полученные разными авторами. Среди известных математиков, занимавшихся этими вопросами, можно назвать К.Карпа, Ч.Ч.Чэна, Дж.Барвайса, Г.Кейслера. В последующем результаты неоднократно обобщались в различных монографиях, в частности, в [12] и [9].
Расширение логики указанными операциями позволяет синтаксическими
средствами описать все подмножества алгебраической системы, инвариантные относительно автоморфизмов, то есть Dee, в каком-либо смысле определимые. Важной характеристикой алгебраической системы является ранг Скотта — максимальная сложность формул, необходимых для описания всех инвариантных относительно автоморфизмов подмножеств. Этот ранг является некоторой естественной мерой сложности системы. Часть диссертации посвящена ответу на вопрос, насколько она может служить адекватной характеристикой сложности, на примере класса булевых алгебр, и как ранг Скотта связан с некоторыми традиционными характеристиками булевых алгебр. В [9] доказывается, что для любой алгебраической системы с рангом Скотта а существует предложение ранга не более а + ш, с точностью до частичного изоморфизма описывающего данную систему. В предлагаемой работе достигается некоторое улучшение этого результата для случая булевых алгебр.
Булевы алгебры являются одним из традиционных математических объектов, постоянно возникающим d алгебре, математической логике и в других математических дисциплинах. В качестве основных трудов в этой области можно указать [6], [14] и [1]. Суператомные булевы алгебры являются важным подклассом булевых алгебр. С одной стороны, они хорошо изучены, с другой, па их основе можно построить описание произвольных булевых алгебр, как показано в [3| и в [13].
Одним из старых и хорошо известных результатов теории моделей (см. [15], [4]) является утверждение о.том, что любая алгебраическая система элементарно вкладывается в однородную систему. В [2] С.С.Гончаровым был предложен новый подход к полному описанию строения модели синтаксическими средствами, за счет итерированного обогащения сигнатуры модели новыми предикатами для реализующихсчя неглавных типов. Этот метод, являясь в целом эквивалентным работе с логикой Ьхш, тем не менее предоставляет некоторые новые средства для исследования свойств алгебраических систем. При этом на класс моделей с такой обогащенной сигнатурой был перенесен ряд результатов из обычпой теории моделей, в частности то,
что любая модель с атомной теорией имеет элементарно-эквивалентную ей атомную модель. Были доказаны теоремы о реализации и опускании типов. В предложенной диссертации рассматривается вопрос о возможности такого перенесения для некоторых других классических результатов.
Методы исследования. В диссертации широко используются методы теории моделей и теории булевых алгебр.
Научная новизна. Все результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в различных областях математической логики, в том числе в теории моделей и теории булевых алгебр. Материалы диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов университетов.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на различных семинарах НГУ, в том числе на "Алгебре и логике", на международной конференции по математической логике, посвященной 85-летию со дня рождения Л.И.Мальцева (Новосибирск, 1994), на Мальцевских чтениях (Новосибирск, 1997).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [19 - 24].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на несколько параграфов. Общий объем диссертации — 88 страниц, список литературы содержит 24 наименований.