Введение к работе
Актуальность темы. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И.Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных суперагебр Ли (см. [1]). Имея в виду приложения к теоретической физике, Ю.Й.Манин поставил и частично решил задачу классификации всех однородных комплексных супермногообразий вида (Grit2,0), где тГ4,2 - грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 или, иначе, модель Пенроуза (см. [1], гл. 5). Представляется актуальной следущая задача: классифицировать все однородные комплексные супермногообразия вида (М, О), где М - заданное флаговое комплексное многообразие, т.е. однородное пространство вида G/P, где G - комплексная группа Ли, Р - ее параболическая подгруппа. В диссертации рассматривается случай, когда М = СРП - комплексное проективное пространство. Заметим, что известным примером является здесь нерасщешшое (при п ^ 2) однородное супермногообразие riC?rn+1|n+ljl{i - изотропный суперграссманиан. Ранее были получены следующие отдельные результаты по этой задаче: в [2] классифицированы все однородные супермногообразия вида (СР1,^)) нечетной размерности т, где 1 ^ т ^ 3; в [3] построено однопараметрическое семейство нерасщепимых однородных супермногообразий вида (СР1,0) нечетной размерности 4.
Цель работы. Основной целью работы является классификация однородных супермногообразий (М, О) размерности п\т, где М — СРП и п ^ т, а также вычисление их групп когомологий со значениями в касательном пучке.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Классифицированы расщепимые однородные супермногообразия размерности п\т, п~^ т, редукция которых является проективным пространством СР".
Typeset by Ам$-Т&-
-
Классифицированы нерасщепимые однородные супермногообразия размерности п\т, п^т, редукция которых является проективным пространством QP", в предположении, что их группа автоморфизмов содержит SLn+iCC).
-
Вычислены группы когомологий со значениями в касательном пучке однородных супермногообразий (СРП, О), группа автоморфизмов которых содержит SLn+i{C). В частности, доказано, что нерасщепимые супермногообразия такого типа жесткие.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в исследованиях по классификации супермногообразий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в ЯГПУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы [4, 5].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.