Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время риманова, эрмитова и симплектическая геометрии являются хорошо поученными областями и их теория глубоко разработана. В частности, ото касается симметрических и периодических пространств. Представляет интерес рассмотреть другие G-струк-туры с точки орения наличия симметрии различных порядков. В частности, ото может дать новую точку орения на место классических структур среди пространств общего типа.
Как иовестно, группа автоморфизмов структуры конечного типа является группой Ли. В результате, поучение тран-оитивных структур конечного типа сводится к оадачам но геометрии однородных пространств групп Ли. Полное описание и классификация однородных пространств, у которых группа иоотролии неприводимо действует на касательном пространстве приведены в работах О.В. Мантурова х' 2) 3) и Дж. Вольфа *\ Однако возникает вопрос: в каких случаях линейная группа ноотропии однородного пространства С/Со, где С D Cq — свяоные группы Ли, содержится в некоторой неприводимой группе Q?
Будем называть неприводимое представление связной группы Ли Q в пространстве V стандартным, если полупростая компонента Q является простой классической вещественной группой Ли и V представление минимальной размерности.
'Мантуров О.В. Об однородных римановых пространствах с неприводимой группой вращении // ДАН СССР- 1961- т. 141, N 4,- С. 792-795.
2Малтуров О.В. Римановы пространства с неприводимой группой вращений и ортогональными и сииплектпесхими группами движении.//ДАН СССР- 1961.- т.141, JV 5.- С.1034-1037.
3Мантуров О.В. Однородные римановы пространства с неприводимой группой вращений.// Тр. семинара, по векторному л тензорному анализу. - МГУ, 1966. - Вып.13. - С.68-145.
*Wolf J. The geometry and structure of iaotropy irreducible homogeneous spaces.// Acta Math. - 1968. - V.120, 1-2. - p.59-148.
Наибольшее раонообраоие возможностей получается в случае стандартных представлений группы Q. Все нестандартные варианты могут быть описаны. Так случай, когда , Со — компактные группы Ли одного и того же ранга рассмотрен Грушко П.Я.1) Некоторые другие случаи нестандартных неприводимых расширении группы изотропии рассмотрены в данной диссертации. При втом локальные проблемы приводят к поучению пар алгебр Ли и их автоморфиомов конечного порядка.
Цель работы. Пусть L— комплексная полупростая алгебра Ли, / — периодический периода г автоморфиом алгебры L, Lq — подалгебра в L, инвариантная относительно / и содержащая множество неподвижных точек автоморфизма /, е : Lq —у End(L/Lo) — представление иоотропин.
Предположим, что обрао e(L0) в End{V), где V = L/L0, может быть расширен до некоторой алгебры Ли G, представление которой в пространстве V не является стандартным. Другими словами, должны существовать некоторое нестандартное представление V алгебры Ли G, линейный иооморфиом t:V —* V и гомоморфном алгебр Ли k:Lq — G такие, что
gv — кд lv, д . L0 , v Є V.
В работе ставится оадача описания соответствующих наборов (L, Lq>GyV) в следующих случаях :
1. L0 — нередуктивная подалгебра максимального ранга в
L и G-модуль V неприводим.
Случай, когда Lq является редуктивной подалгеброй максимального ранга рассмотрен Грушко П.Я.
2. L — простая алгебра Ли, / - внешний периодический ав
томорфиом, Lq редуктивная подалгебра в L (rankLo < rankL).
'Грушхо П.Я. Сиециальжые сжстемы.// Вопросы теории груяя ж гомо-логіиесхоі алгебры. - Ярославль, 1983.- С. 43-49.
Предложенный в работе метод классификации для случая, когда Lq является нередухтивной подалгеброй в , приводит к громоздким выкладкам и может быть рассмотрен в дальнейших работах.
3. L — Рт, где Р — простая алгебра Ли,
f(xx,... , a?r_i, хт) = f(xT .«i,..., *r_i), х, Є P.
и G является простой алгеброй Ли.
Часть результатов для случая, когда полупростая компонента G не является простой получена Грушко П.Я.
Научная новизна и практическая ценность. Результаты работы являются новыми. Их можно интерпретировать на языке геометрических структур для описания некоторых классов G-струк- тур с неприводимой структурной группой.
Апробация. Реоульты, приведенные в диссертации, докладывалась и обсуждалась на ежегодных конференциях ИГУ (1983-1986 гг.), на II и III конференциях молодых ученых ИГУ (1984, 1985 гг.), на VIII и IX Всесоюзных геометрических конференциях (Одесса, 1984 г., Кишинев, 1988 г.), на международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989г.), на семинаре кафедры алгебры и геометрии Минского госуниверситета (1985 г.), на V Школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1990 г.), а также на городском геометрическом семинаре (Иркутск, 1983-1995 гг.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, две ио которых совместные. Из совместных работ в диссертации использованы результаты, полученные лично автором.
Структура и объем. Диссертация состоит ио введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов и пяти таблиц. Работа изложена на 87 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.