Введение к работе
Актуальность темы. Вскоре после формирования гомологической алгебры как самостоятельной алгебраической дисциплины в середине XX века важное место среди её приложений заняла теория колец. Многие известные классы колец были охарактеризованы в терминах гомологических размерностей.
В пятидесятых годах М. Ауслендер, Д. А. Буксбаум и Ж.-П. Серр доказали, что коммутативное нётерово локальное кольцо регулярно тогда и только тогда, когда его глобальная размерность конечна. В 1956-1957 годах в работах М. Хара-ды и М. Ауслендера было дано новое описание регулярных в смысле фон Неймана колец, введённых им в 1936 году, — они оказались кольцами нулевой слабой размерности.
Финитные размерности колец были впервые определены М. Ауслендером, Д. А. Буксбаумом и Ж.-П. Серром для изучения коммутативных нётеровых локальных колец. В 1960 году X. Басе нашёл удобным их использование в случае произвольных колец и охарактеризовал с их помощью некоторые классы колец.
Проблематика настоящей работы связана с изучением свойств гомологических размерностей расслоённых произведений колец и модулей над ними. Напомним, что в коммутативном квадрате колец и гомоморфизмов колец
R —Іі-f Rl
h (1)
д2 _!_+ R> кольцо R называют расслоённым произведением колец R\ и
R2 над Я', если для любых элементов г і Є і?і, г2 Є #2, удовлетворяющих условию іі(гі) = hi^i), существует единственный элемент г Є Й, для которого «і(г) = Гі и г2(г) = г2- Мы дополнительно предполагаем, что і\ является сюръекцией.
Расслоённые произведения колец, ставшие в наши дни предметом разносторонних исследований алгебраистов, вызывают большой научный интерес начиная с семидесятых годов. Своеобразным толчком к этим исследованиям часто становилось доказательство (в более или менее общем случае) следующих критериев инъективности, проективности и плоскости модулей над кольцом R:
Теорема А. (і) R-модулъ М инъективен, если и только если
Ri-модулъ Нот/г(і?і, М) и Я2-модулъ Нотя(Й2> М) инъектив-
ны.
(іі) R-модулъ М проективен, если и только если Ri-модуль
Ri&)RM и R-i-модуль Ri^RM проектиьны.
(iii) R-модулъ М плоский, если и только если Ri-модулъ
RirM и R2-ModyAb R2RM плоские.
Первый существенный шаг на пути изучения расслоённых произведений колец был сделан в 1971 году Дж. Милнором1, который в предположении сюръективности отображения J2 охарактеризовал проективные модули над кольцом R и доказал теорему A(ii).
Расслоённые произведения колец неоднократно возникали и изучались в различных специальных случаях. В 1972 году У. В. Васконселос дал классификацию коммутативных локальных колец глобальной размерности 2: ими могут быть либо
гДж. Милнор. Введение в алгебраическую К-теорию. — М., Мир, 1974.
регулярные локальные кольца, либо кольца нормирования, либо их расслоённые произведения — так называемые зонтичные кольца (umbrella rings). Б. Гринберг также рассматривал некоторые частные случаи, в которых он интересовался зависимостью гомологических свойств кольца R от соответствующих свойств колец Ri и і?2- В работах Л. С. Леви 1981-1985 годов в центре внимания оказался другой интересный пример расслоённого произведения колец — кольца дедекиндового типа (Dedekind-like rings). Одним из них является, например, целочисленное групповое кольцо абелевои группы свободного от квадрата порядка. В результате была получена классификация всех конечно порождённых неразложимых модулей над такими кольцами. Позднее, в 1991-1996 годах подобной классификацией для некоторых типов расслоённых произведений колец занимались также Д. М. Арнольд и Р. Лаубенбахер.
Расслоённые произведения коммутативных нетеровых колец изучались Т. Огомой. В 1985 году он сформулировал необходимые и достаточные условия для того, чтобы расслоённое произведение коммутативных нетеровых колец само было нётеровым.
Многие алгебраисты использовали конструкцию расслоённого произведения колец для построения тех или иных примеров и контрпримеров в теории колец.
Первая оценка (левой) глобальной размерности кольца R lgld R в общем случае была опубликована в 1985 году в статье А. Н. Уайзмена.2 Он доказал без дополнительных условий на отображение.^ теорему A(ii) и на её основании установил
2А. N. Wiseman. Projective modules over pullback rings. — Math. Proc. Cambridge Phil. Soc, 97(1985), 399-406.
формулу
lgld R ^ max{lgld7?A;} + max{rfd.R Rk},
где rfd^ Rk обозначает плоскую размерность правого Л-моду-ля Rk-
Все три утверждения теоремы А были получены в 1985 году А. Факкини и П. Вамошем3 в предположении сюръектив-ности отображения j2-
В 1988 году Е. Киркман и Ж. Кузманович4 нашли следующую оценку глобальной размерности кольца R : если j2 — сюръекция, то
lgld R ^ max{lgld Rk + rfd^ Rk}. (2)
В 1992 году С. Скриванти5 для случая коммутативных колец получила оценки слабой размерности и более точную оценку глобальной размерности кольца R, а также использовала их для конкретных вычислений.
В 1997 году К. М. Коули6 доказал, что если ji — сюръекция, то
lgld R < max{lgld Rk + pdfl Rk}, (3)
3A. Facchini, P. Vamos. Injective modules over pullbacks. — J. London Math. Soc, 31(1985), 425-438.
4E. Kirkman, J. Kuzmanovich. On the global dimension of fibre products. — Pacific J. Math., 134(1988), 121-132.
5S. Scrivanti. Homological dimension of pullbacks. — Math. Scand., 71(1992),5-15.
6K. M. Cowley. One-sided bounds and the vanishing of Ext. — J. Algebra, 190(1997),361-371.
где через pdH Rk обозначается проективная размерность левого і?-модуля /. Эта оценка является «односторонней» (при её вычислении все модули над всеми кольцами рассматриваются с одной стороны, слева), в то время как все предыдущие оценки являлись «двусторонними». Сравнивая оценки (2) и (3), К. М. Коули демонстрирует, что «односторонние» оценки глобальной размерности R могут оказаться точнее «двусторонних».
Как показывает этот (далеко не исчерпывающий) исторический обзор, расслоённые произведения колец настойчиво привлекают к себе внимание алгебраистов, причём изучение свойств их гомологических размерностей является на сегодня одной из самых актуальных задач.
Цель работы. Оценить гомологические размерности модулей над расслоённым произведением колец и с их помощью обобщить существующие и доказать новые оценки гомологических размерностей расслоённого произведения колец в наиболее общем случае.
Основные результаты работы. Получены оценки на инъективную, проективную и плоскую размерности модулей над расслоённым произведением колец. На их основании обобщены на некоммутативный случай известные оценки глобальной и слабой размерностей, а также доказаны новые оценки глобальной и финитных инъективнои, проективной и плоской размерностей расслоённого произведения колец.
Все результаты доказаны в самом общем случае — в предположении сюръективности только одного из отображений рассматриваемого универсального квадрата, вообще говоря, некоммутативных колец. Приведённый пример подтверждает существенность упомянутого предположения для полученных
(
результатов.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук и его Санкт-Петербургского отделения, Киевского государственного университета, Новосибирского государственного университета.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева и на семинаре в лаборатории математики университета Франш-Конте (Безансон, Франция). Работа была дважды поддержана стипендиями правительства Франции (1998, 1999-2000 годы).
Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 4 работы, указанные в конце автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация утверждений (теорем, предложений и лемм), а также замечаний и примеров ведётся совместно, отдельно для каждого параграфа. Текст диссертации изложен на 61 странице машинописного текста. Список литературы включает 43 наименования.