Введение к работе
АКТШЬНОСТЬ ТБШ. Одно яз классических направлений в теории групп составляет группы, представленные через образующие элементы и определяющие соотяоиеаия. Это ааправлеане возникло в результате развитии таких разделов математики как геометрия, топология, автонорфине функция я теория узлов. Группы, представленные своими образусяйни и соотношениями впервые встречается в классических трудах Дэва, Тице и Пуанкаре. Раздел теории групп, изучавший группа с позиции образувчих и соотаоаений носит название хоибина-торной теории групп. Первое систематические изложение теории таких групп дано в монографии В.Нагауса, А.Карраса, Д.Солитэра СЮ), Более современные методн этой теории изложена в энциклопедической кякге Р.Іиндона, Н.Шувна (С2І). Обзор развитая идей в указанной направления приведен в книге Б.Чацдлера, В.Магнуса І(Ш). Задания многих известных групп через образующие в соотношения содержит книга Г.С.М.Коксетера, 7«0Лж.Иозера (Ш).
Большой интерес s комбинаторной теории групп вызывают образующие и соотношения линейных групп. На важность этого вопроса в свое время обращал вникание исследователей еще обзор В»И.Мерзля-кова ([5]). Б названном направления уже выполнено большое количество работ я интерес к ним в последние года значительно возрос. Напомним некоторые известные (я общие) результаты из упомянутой области. Отметим прежде всего-(независимо полученные) классические результаты Дж.Нильсена и В.Магиуса, где ими найдены определяющие соотвовения специальной линейной группы SLQh.,^) , п.5?з , относительно элементарных трансвекций -fc;- (*.) , і ^4' .Вернув-пись к результату Дж.Нильсена Б.Нойман и Х.Нойнаи (в 1951 г.) нашли более простую систему соотношений для этой же группы SL(4u,Z.) . Аналогичным образом Янь Ши-цзянь в своей (большой) работе выявлял-образущне я определявшие соотношения следующих серий групп SL(u,20 , 2SL&,*.) , G-L0b2O , PO-L(^X). Образующие и соотношения полных линейных групп Gr-L С""-, "&) и QL(u, kj4]) ( feSXl - кольцо многочленов над k. ) сравнительно недавно были-найдены Дж.Сильвестром. Далее, как показал Р.Ст-ейвберг (см. (Г63), стр.69), для представления группы SL^F^) над конечным полем ^ достаточно и тривиальных "стейкбергов-ских" соотношений между элементарным» траневекияямж. Определяющие соотношения специальной линейной группы SL(h,T} , *>з .над
: - 4 -
произвольным телом Т (определитель понимается в смысле Дгёдон-ве) относительно элементарных трансвекций (также сравнительно недавно) находил С.Грин. Переходя к более широким классам колец Г.А.Носков выявил образующие и соотношения симплектической группы р(яЯ, А) над локальным кольцом А. с , в котором каждый конечно порожденный правый идеал - главный. И, наконец, отметим замечательный (в достаточно продвинутый) результат сибирского математика Н.С.Романовского, где им были найдены образующие элементы и определяющие соотношения полной линейной группы QLCts-^-), чг-2? я. , над произвольным локальным кольцом А. (с I). Сведения о представлениях других линейных групп малых (ключевых) размерностей можно найти в специальной обзоре (53).
С этим направлением теснейшим образом соприкасаются я вопросы о конечной порождаемое» и конечной определенности линейных групп* Здесь мы укажем прежде всего на (общий) результат Г.Миаков-ского о действии полной линейной группы Сгк— Q-L{tl7'X) в евклидовом пространстве размерности н. (-и+і) /г, , из которого тут же следует конечная определенность группы Q^ относительно элементарных траисвекций и простых отражений. Далее, в своих (двух) работах К.3игель показал конечную определенность и конечную порождаемое» симплектической группы 5р(^, 2.) . Рассматривая эту же группу Sp(a,g7X) ІДуа и Й.Райнер установили ее порождаемооть четырьмя матрицами. Напомним и результат А,Гурвица, где им была показана конечная порождаемость специальной линейной группы -SLOvu, Я.) над кольцом целых алгебраических чисел Я . Далее. К.Мавдаффи я (независимо) Л.Хуа и И.Райнер показали порождаемость полной линейной группы Q^ тремя матрицами ~\JX9 ХГ^, Т7д . Как позже установил С.Тротт, при четных к для порождения группы С^ достаточно и двух ее элементов TJtJ U^ , а при нечетных -к- мы имеем < гг^,чг^> -= 5 I (*, ж ) . Эти и другие сведения о порождаемое» и конечной определенности линейных групп можно найти в книгах (ГЗЗ) и (М). В обзоре (153) проявлен большой интерес к определяющим соотношениям некоторых унитарных групп над локальными и полулокальныни кольцами, для которых находились лишь их образующие элементы.
Таким образом, диссертация относится к интенсивно развивающемуся разделу теории групп, что и определяет ее актуальность.
ЦЕІЬ РАБОТЫ. Тот факт, что унитарные и (особенно) ортогональные группы ранее почти никем не изучались (с позиции образующих
и соотношений) свидетельствует о достаточной трудности этой задачи. Трудность здесь главным образом связана с неэдементарностьо недиагональных образующих отих групп. Основное место в работе занимает представления унитарных и ортогональных групп. Здесь немало внимание уделяется также полной и обобщенной полной линейным группам и некоторым их классическим подгруппам. В работе дастся описания в терминах образующих и соотношений следующих линейных групп:
I. Классической унитарной группы It 0>% ) . м-й>я^ » над
локальным кольцом Рч с инволюцией " , .подчиненным некоторым
естественным требованиям;
II. Классической ортогональной группы 0Ы,Ю , *->Z* , над
коммутативным локальным кольцо» SL (с I), для которого выполне
но (естественное) условие ((?')*"-»- й.*- s (.К-*)* (* -взятие
мультипликативной группы);
III. Подгрупп Н полной линейной группы (ті-Оц jO, ъъ-я,,
содержащих группу диагональных матриц Ц) («,.) , над произволь
ным локальным кольцом R- с телом вычетов R.-» 6./3(0^ F^
( 3(fO - радикал Джекобсона кольца . );
IV. Произвольной неклассической вещественно-диагонализуемой
унитарной группы И(>% К", а) , п^х, . над локальным иеволотив-
ным расширением К/Я упорядоченного евклидова поля к. (раз
бираются все случаи);
V. Мультипликативной группы -Л. произвольного слабосовер-
аенного кольца _Л- ;
31. Некоторых расщепимых подгрупп мультипликативной группы _Л." -обобщенного матричного кольца _Л_ ;
VII. Мультипликативной унитарной группы МГ(Л) слабосовер-
шеиного кольца А с инволюцией ~ , подчиненного некоторым ест
ественным ограничениям;
Над ассоциативным кольцом, не обязательно обладающим I, вводится понятие обобщенной полной линейной группы и ее классических подгрупп. Находятся образующие и определявшие соотношения также следующих линейных групп:
VIII. Обобщенной полной линейной группы QL(>i,R), ~п>Я-,
над произвольным локальным кольцом (вообще говоря) без 1;
IX. Группы квазиобратимых элементов R»e произвольного (во
обще говоря без І) подуло кадь ного кольца R. порядка ^>2. ;
X. Обобщенной классической унитарной группы Vf(y~, (О, ft»*,
f. 6 -;
над ХйЗобще говоря безвдиничным) локальным кольцом (L ~ с инволюцией ~ , подчиненным некоторым естественный условиям;
П. Обобщенной классической ортогональной группы 0"(?S &> tv^st. , над (также вообще говоря безвдиничным) локальный кольцом R , удовлетворяющим некоторым естественный ограничениям.
Для всех групп Q- , перечисленных выве (за исключением пунктов III и IX), находятся определяющие соотношения специальных (в пункте УІІ унимодулярной группы) подгрупп S (-) этих групп. Для тех Q- , цеатрн которых допускают обозримое описание, находятся определяющие соотношения также их проективных факторгрупп f CG-) -Р5 (CJ-) .
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе выявлены образувщие и определяющие соотношения перечислеаннх выве линейных групп (т.е. даны их пол-вые описания!) относительно элементарных матриц, содержащихся в этих группах. Такими матрицами будут либо элементарные трансвек-ции, либо плоские "вращения", либо же матрицы "отражения". Почти во всех случаях используется также матрицы-транспозиции. В случаях, когда основное кольцо R. не обладает Ї, используется квазианалоги названных образующих. Все основные результаты работы являвтся новыми. Как по постановке, так и по решение, принципиально новыми является задачи, сформулированные в пунктах УІІІ--XI.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы а результаты могут быть применена а различных вопросах, связанных с заданием линейных групп через их образувщие и определяющие соотнесения. При соответствующем развитии тематика не исключены их применения также к отдельным проблемам топологии и геометрии»
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В процессе решения перечисленных выше задач найден новый комбинаторный метод (названный в работе методом трансформации букв), который универсальным образом решает вопрос представления всех названных выше линейных групп. Он основан на идее преобразования произвольного слова выбранного алфавита к его стандартному (каноническому) виду. Во всех вопросах фундаментальную роль играют, так называемые, (большие) теоремы о трансформации. Применяются также общие рассуждения теории групп комбинаторного характера.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы неоднократно докладывались на. совместном семинаре лаборатории алгебраических методов
Санкт-Петербургского (прежнего Ленинградского) отделения Математического института им; В.А.Стекдова РАН и кафедри высшей алгебры и теория чисел Санкт-Петербургского университета. Бе части докладывались на 16-й и 19-й Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград, І98Ї г., Львов, Ї987 г.). Отдельные результаты работы представлялись также на 1-й, 3-й и 4-й Международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 5989 г., Красноярск, 1993 г., Санкт-Петербург, 1997 г.). По результатам работы сделаны доклады на семинарах института Математики НАН Кыргызской Республики и кафедры алгебры и геометрии Национального университета (Бишкек, 1994 г.). Аналогичный доклад сделан также на семинаре Математического института НАН Республики Узбекистан (Ташкент, Ї995 г.). Кроме того рабога по частьян представлялась на Региональной научно-технической. Республиканской научной, а также двух Международных научно-практкческих конференциях (Оз, 993, Ї995 гг. а Кнзня--Киа, 1998 г.). С содержанием работы ознакомлена также кафедра алгебры Омского государственного университета (Ї996 и Ї997 гг.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 29 работ. Все публикации без соавторов.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав и, включая библиографив, занимает 232 страницы машинописного текста. Библиография насчитывает ІЇ& наименований работ.