Обобщенные тождества примитивных алгебр м инволюцией Пентус, Анна Евгеньевна

Введение к работе

Актуальность темы. В отличие от полиномиальных тождеств обобщенные тождества представляют собой сравнительно молодую область теории колец. Хотя объекты, являющиеся по сути дела обобщенными тождествами, исследовали Литлвуд [1] и Ричардсон [2], основополагающей в этой области считается работа Амицура 1965 г. [3].

Амицуром [3] были изучены обобщенные тождества примитивных колец. В 1969 г. Мартиндейл [4], используя понятие расширенного центроида и центрального замыкания, получил результаты об обобщенных тождествах первичных колец.

Дальнейшее изучение обобщенных тождеств шло по двум направлениям. В работах Мартиидейла [5] и Роуэна [6] исследовались

1. Littlewood D. Е. Identical relations, satisfied in an algebra // Proc. Amer. Math. Soc. — 1931. — V. 32, № 2. — P. 312-320.

2. Richardson A. It. Equations over a division algebra // Messenger of Math. — 1928. — V. 57. — P. 1-6.

3. Amitsur S. A. Generalized polynomial identities and pivotal monomials // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — V. 114, № 1.— P. 210-226.

4. Martindale W. S., III. Prime rings satisfying a generalized polynomial identities // J. Algebra. — 1969. — V. 12, № 4. — P. 576-584.

5. Martindale W. S., III. Generalized identities and rings with involution. — Lecture Notes in Pure and Applyed Mathematics, 51. — New York: Marsel Dekker, 1979.

6. Rowen L. H. Polynomial identities in Ring Theory. — New York: Academic Press, 1980.

обобщенные тождества с инволюцией. Это направление было продолжено изучением обобщенных тождеств с дифференцированиями, автоморфизмами и антиавтоморфизмами [7, 8, 9].

Второе направление — изучение обобщенных тождеств полупервичных колец — развивается К. И. Бейдаром и А. В. Михалёвым и основано на использовании введенной ими конструкции ортогонального пополнения [10], [11].

В 1976 г. В. Н. Латышев поставил вопрос о строении Т-иде-алов обобщенных тождеств. Структура Т-идеала данного кольца позволяет делать выводы о строении самого кольца, а также его кольца частных. Для колец матриц над полем описание Г-идеала обобщенных тождеств было дано уже Литлвудом [1]. Для полупервичных колец эту задачу решил К. И. Бейдар [12].

В настоящей диссертации мы исследуем строение Т-идеала

7. Харченко В. К. Обобщенные тождества с автоморфизмами // Алгебра и логика. —1975. — Т. 14, № 2. — С. 215-237.

8. Beidar К. I., Mikhalev А. V., Salavova С. Generalized identities and semiprime rings with involution // Math. Z. — 1981. —B. 178, H. 1. — S. 37-62.

9. Chuang C.-L. *-differential identities of prime rings with
involution И Trans. Amer. Math. Soc. — 1989. —V. 316, 14 1.-
P. 251-279.

10. Бейдар К. И., Михалев А. В. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи матем. наук. —1985. — Т. 40, № 6. — С. 79-115.

11. Beidar К. I., Martindale W. S., Mikhalev А. V. Rings with Generalized Polinomial Identities. — New York: Marsel Dekker, 1995.

12. Бейдар К. И. О строении Т-идеала обобщенных тождеств полупервичного кольца // Тезисы сообщений 14-й Всесоюзной алгебраической конференции. Ч. 2. — Новосибирск, 1977. — С. 8.

обобщенных тождеств для колец с инволюцией. Аналогичный результат получен для случая конечномерных центральных простых алгебр с инволюцией 1-го рода [13] и обобщен на случай конечномерных центральных простых алгебр с конечной группой автоморфизмов и антиавтоморфизмов [14].

Цель работы — исследовать строение Т-идеала обобщенных тождеств примитивной алгебры R с инволюцией над полем F в следующих случаях:

1. при наличии идемпотента є Є R, такого что еЯе = eF (поле F предполагается алгебраически замкнутым). Принимая во внимание то, что в примитивном кольце с ненулевым цоколем любая инволюция имеет либо тип трапспопирования, либо симплектический тип (теорема 4.6.2 [11]), автор находит явный вид Т-идеала обобщенных тождеств для инволюции каждого типа, а затем получает общую теорему;

2. при условии, что существует симметрический идемпотент и, такой что uRu — тело, конечномерное над своим центром uF, причем размерность [uRu : uF] нечетна.

Методы исследования. В диссертации использована техника, развитая при изучении обобщенных тождеств К. И. Бей-даром, а также комбинаторные методы. Доказан аналог леммы Амицура (лемма 4 [1]), представляющий собой удобное техническое средство для работы с обобщенными тождествами с инволюцией.

13. Rosen J. D. ^-generalized polynomial identities of finite dimensional central simple algebras // Israel J. Math. — 1983. — V. 46, № 1-2. — P. 97-102.

14. Rosen J. D., Rosen M. P. Generalized identities of finite dimensional central simple algebras // Comm. Algebra — 1985. — V. 13, № 1, —P. 113-124.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области обобщенных тождеств. В работе дано описание Г-идеала обобщенных тождеств примитивной алгебры R с инволюцией над полем F для случаев, когда 1) в алгебре R имеется ненулевой симметрический идемпо-тент е, такой что eRt — eF (теорема 3.2.1); 2) инволюция алгебры R симплектического типа и найдется такой ненулевой идемпо-тент е, что eRe = eF (теорема 3.1.1); 3) в алгебре R существует симметрический идемпотент и, такой что uRu — тело, конечномерное над своим центром uF, причем эта размерность ([uRu : uF}) нечетна (теорема 5.3.1).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых на 13 параграфов. Текст диссертации изложен на 116 страницах. Список литературы содержит 30 наименований.