Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа'посвящена исследо-* ваниям по одной иэ аддитивных проблем теории чисел - обоб-. щенной проблеме Варанга в простых числах. Проблема Варинга,. которую выдвинул анлийский математик Э. Варит в 1770 году,, заключается'в следующем: для любого целого числа К* > сосуществует такое натуральное fc. = &(^). , что всякое натуральное число можно представить в виде:,
//-^+...+^ , СС^О- целые, 1^1,...,.1.
Первое обшее доказательство дал Д."Гильберт в 1909 году,. по значение верхней границы для Ъ(н-), как было позже пока--, заио, излишне велико. Пусть jrfc) -целозначный многочлен ъ положительным старшим коэффициентом. Через &() обозначим наименьшее натуральное число с условием, что всякое достаточно большое натуральное число, удовлетворяющее необходимым. арифметическим ограничениям, представляется; в виде-, ftei)-+ ... + $(хі) . Где 4 О-(^) . В 1921 году Камсе перенес метод Гильберта,на.проблему.. Варинга о такимт многочленом, установив существование. 0> ().
В начале 20-х годов Харди и Литтлвуд разработали анали-, тпческпй метод с помощью которого па только:-доказали разрвч, шимость, но п получили для числа - t± (f\f) натуральных реше*\ иий уравнения
при -^ $ (/г-«JJ/A + О асимптотическую формулу.
В 1934 году И.М. Виноградов, усовершенствовав метод. Харди и Литтлвуда,доказал, что б-^зс у = О (**- ^- *у-
В дальнейшем оценка C-(cc.HJ неоднократно улучшалась по величине как И.М.Виноградовым, так и другими ;математиками.- Лучшие результаты для больших tr- принадлежат А.А.Карацубе и Бону. Для небольших- И- имеется результат Давенпорта.
0-(oc^)~dQ. И.М.Виноградов получил при /ь-^ІА границу/ для числа переменных, начиная с которой действует асимптотик, ческая формула в проблеме- Варинга ~ 4 и?" п- /г- . При
л- <Ц Хуа получил асимптотическую формулу.для 4 (/V) при $.,ч-1 .В 1986 году Вон установил такую формулу.-при і ^ Л ,я.^^,ав 1988 году Хиз-Браун при;
-Ь ^ т <""+ і . h~>& . Сравнительно недавно достаточно -полные исследования асимптотических формул проделаны в- рабо^.. тах Г.И. Архипова, В.Н. Чубарикова и Л.А. Митькина..
Для того чтобы избежать формулировки арифметических уо^ ловий,необходимых для представимости натурального. числа.
/у суммой значений -J-(си) при натуральних 32 , продцр-.
лагают, что ^(о)-^О а по существует такого ..целого ^- ,,
что сравнение f (z-)s О (tnOcf о.) удовлетворяется-
тождественно для всех целых ІС-.
Обозначим 6-,. — ґпОХ
Сф, где J Сої) пробегает
целоэиачныв многочлены степени' /г- , указанного выше вида. В>
1986 году Д.А. Кіітькин получил формулу-
^=^- Z {^} при ъ*4 .
Перейдем теперь к проблемо Варпііга для цалозначтшх мно^
гочленов в простых числах. Пусть -fj- (be)- многочлен о целшп;;
экачониямя Я--Й степени с поло:дітольші:і стгрш2м--коэффяшюи*'-'
том А . Допустім, что ко суцаетоуот-тгаїого-цапиго -, что-
сравнение удовлетворяется тож-
дественно для всех целых X . .Пусть J. л, (*У) означает число решений уравнения ;
$(f>l) + ... + $(?*) = */ (!)
в простых А , ., ,, Р$ .
Хуа показал, что если
[jf'+l .при -3,
I'LnS'fa&b.H. +Ul&i.h- +Л.ь) при *т->±0 то имеет место асимптотическая формула:
где особый ряд Цд (Ы) определяется равенствами:
где c\ - наименьший обший знаменатель коэффициентов многочлена $(0). Пусть ^) = 32^-, н.$^ _ целое ,"/>в^л- , *=%.,
& і ^ в других случаях,,
fP-'J/ч-
„ (сІ п.^(Л ви. h, V&,&,hL +з)
W'1
Пусть
ДЛЯ ** > ^^* ДЛЯ ^ * АЛ-
Тогда бсяісоє натуральное f/ 5- Є 0* ) , , //=: 6 (moot k) ость су(.з.іа 6 /2.-2: степеней просты;; чассл.
Цоль работы. Целью настояаэй работа пьлкотся пелучззшэ наилучшей оценки для числа слагасуих, up а которо!! оСегг.очкга--ется эффективность асилптотичесг.ои фбр-^даз D cOofeniiioi.
проблеме Варинга с простыми числами.
Научная новизна. Особый ряд ЄЦіу) был исследован Хуа для случая ;(аа)=х . Для произвольного целозначного многочлена ^(зс) вопрос остался открытым.
Методика исследования основывается на сведении вопроса о положительности особого ряда к разрешимости сравнения
L (д.4) + . .. -* f (зс4 ) = <я/ {ry^oof р )
для произвольного простого р и натурального ть в целых
Х.^ ссь с условием /^/. i .
Исследование разрешимости последнего- сравнения основывается на применении разностных' аналогов леммы Гензеля.
Практическая значимость. Результаты диссертации вносят вклад в решение классической проблемы теории чисел.
Апробация работы. Результаты исследования- докладывались на республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения" (Ташкент, сентябрь 1990), на научно-методическом семинаре кафедры теории-чисел М11Г-У им. В.И.Ленина.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, приложения и списка использованной литературы. Она содержит 90 страниц основного текста, 26 наименований использованной литературы.