Введение к работе
Актуальность темы. В конце 40х - начале 50х годов теория моделей выделилась п самостоятельный раздел математической логики. Основополагающие работы по теории моделей логики первого порядка принадлежат Левенгейму, Скулему, Ге-делю, Тарскому, Мальцеву. Однако выяснилось, что многие важные свойства моделей не могут быть выражены на языке логики первого порядка ([НВоок]). В теории групп, например, к таким свойствам относится свойство свободы. Это обстоятельство стимулировало ргізвитие логик, допускающих бесконечные дизъюнкции и конъюнкции - логик Ьмх,х > w. Пусть х - бесконечный кардинал. Тогда Lxx -ото логика, формулы которой имеют дизъюнкции и конъюнкции по любому произвольному множеству формул и кванторы по множеству переменных, мощность которого меньше х- Так, например, все формулы логики Ь^^ имеют лишь конечное число кванторов в подформулах. „,„ - это логика, формулы которой в отличие от іс<,х имеют только счетные (< ti.'i) дизъюнкции и конъюнкции и кванторы по конечному (< ш) числу переменных.
Впервые бесконечные логики былп систематически изучены Карп ([Кагр2]). Мак-каи, Скотт, Малиц, Лопес-Эскобар работали над созданием теории моделей в логике L^iul. Оказалось, что аналоги многих известных теорем логики первого порядка, например, теорем Левенгейма-Скулема, верны и в Ш1Ш. Критерий эквивалентности моделей в логике первого порядка, разработанный Эренфойхтом, был адаптирован Карп [Karpl] для Ь^, а Бендой [Ben] и Калаисом [Cal] - для логики L,xX, х> ш- Однако, например, такой важный инструмент изучения свойств моделей, как теорема компактности, оказалось, не имеет аналога уже в логике Ьш,ш. Д.Барвайс ([В]) ввел понятие допустимых фрагментов логики Ш1„ (и логики ісош). Теоремы Барвайса о полноте и Е-компактности показали, что допустимые фрагменты обладают свойствами, аналогичными логике первого порядка.
В связи с последним фактом отметим, что в ряде работ А.Г.Мясникова и В.Н.Ре-месленнпкова, а также в работах [НВоок, В] указывалось на естественность использования при изучении алгебраических объектов одного из фрагментов логики ЬШ1Ш - HF-логики. При работе с HF-логикой для данной модели 21 рассматривается двуосновная модель #F(2l). Она строится на основе наследственно конечных множеств над основным универсумом модели 2t и называется HF-надстройкой модели 21. Надстройка HF(A) есть на самом деле минимальное допустимое множество с праэлемен-тами из А. Поэтому для HF-логики автоматически справедливы многие логические результаты, описанные, например, в [В].
Использование мощных по выразительной силе бесконечных логик позволило получить ряд интересных результатов в различных областях. Остановимся подробнее на проблеме эквивалентности произвольной группы свободной группе и связанной с ней проблеме определимости свободных групп и свободных абелевых групп в бесконечных логиках.
П.Эклоф занимался проблемой эквивалентности произвольной абелевой группы
свободной абелевой группе в логиках LccX, X > ш- Им получен критерий эквивалентности произвольной абелевой группы свободной абелевой группе. С помощью этого критерия было доказано в частности, что класс свободных абелевых групп не определим в логике ЬООШ1.
Справедливость теоремы П.Эклофа в классе всех групп была доказана А.Мек-лером. При доказательстве Меклер использовал понятие почти свободной группы, введенное Г.Хигманом. Теорема Меклера и некоторые результаты Хигмана показали НеОПреДеЛИМОСТЬ КЛаССа СВОбоДНЫХ ГруПП В ЛОГИКе Loou>-
Для получения перечисленных результатов, касающихся теории групп, активно использовалось понятие чистой подгруппы, являющееся аналогом понятия "сервант-ная подгруппа" в категории абелевых групп. Были предприняты и другие попытки обобщения понятия сервантности (Ю.Л.Ершов, Н.А.Сердюкова). С этим понятием тесно связано другое понятие, пришедшее из математической логики, - экзистенциально замкнутая группа. Изучением этих объектов занимались Б.Нейман, У.Скотт, А.Макинтайр, О.В.Белеградек. Важность этого понятия подчеркивает тот факт, что с его помощью получен критерий для разрешимости проблемы тождества слов для конечно порожденных групп.
Цель работы. Изучение определимости понятия "быть свободной алгеброй в бесконечных логиках. Выяснение необходимых и достаточных условий, при которых подгруппа универсально вложена в группу.
Методика исследования. Методы, применяемые в диссертации, опираются на теорию групп, универсальную алгебру и теорию моделей.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях по изучению свойств универсальных алгебр и универсальных вложений групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и семинаре кафедры математической логики и логического программирования в Омском университете.
Публикации: Результаты диссертации опубликованы в семи работах.
Объем и структура работы. Диссертация содержит 76 страниц, состоит из введения, двух глав и библиографии. Список литературы состоит из 44 наименований.