Введение к работе
Актуальность темы. Одним из направлений теории трансцендентных чисел является исследование поведения величины
Iho + htZt + + hm^m\, hjZ, j- 0,1,...,m, (1)
для заданных действительных i,..., т, т ^ 1, и ее оценка снизу в зависимости от
max {\hj\}.
В настоящее время известно несколько методов, позволяющих решать такую задачу при специальном выборе i,..., m. Примером этому служит метод, предложенный К. Л. Зигелемв 1929г.1, в котором в качестве чисел i,..., m рассматриваются значения в рациональной точке а ф О аналитических функций
/і(*)=5І/л>-Л /j>Q, j = l,...,m, veZ+ = {0,l,2,...},
1/=0
(2) составляющих в совокупности решение системы линейных дифференциальных уравнений
Qlj = Qlj{z) Є C{z), / = 1....,771, j =0,...,771
первого порядка. При этом коэффициенты функций (2) удовлетворяют некоторым дополнительным арифметическим условиям, определяющим классы Е- и G-функций. Указанный метод позволил А. Б. Шид-ловскому доказать критерий алгебраической независимости значений Е-функций2, а также вывести некоторые результаты для G-функций3. Метод Зигеля-Шидловского дает, кроме того, возможность получать
См.: SiEGEL CL. Uber eioige Anwendungen diophantischer Approximatio-nen /j Abh. Preuss. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1929. № 1. P. 1-70.
2См.: Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. M.: Наука, 1987.
См., например; ГАЛОЧКИН А. И. Оценки снизу многочленов от значений аналитических функций одного класса // Матем. сб. 1974. Т. 95(137). № 3(11). С.396-417.
2 в.в. зудилин
хорошие оценки снизу для величины (1), однако, из них следуют далеко не лучшие оценки снизу для рациональных приближений отдельно каждого из чисел f і,..., т Решение последней задачи и составляет содержание диссертации. Предпосылкой этому является дальнейшее развитие метода Зигеля-Шидловского, предложенное в 1984г. Г.В. Чуд-новским4 и получившее название метода "градуированных приближений Паде". Основным недостатком полученных в указанной статье результатов является жесткое ограничительное условие, накладываемое на систему (3). Кроме того, Г. В. Чудновскому не удалось корректно изложить важный этап аналитической конструкции. Поэтому настоящую диссертацию можно рассматривать как строгое обоснование метода "градуированных приближений Паде" для поставленной задачи и расширение области его применения в классах Е- и G-функций.
Цель работы. Целью работы является получение оценок снизу рациональных приближений значений Е- и G-функций в рациональной точке как в общем виде, так и в приложениях к конкретным гипергеометрическим функциям.
Методика исследований. При доказательстве основных результатов диссертации используются метод Зигеля-Шидловского и метод "градуированных приближений Паде".
Научная новизна. Доказаїшне теоремы 1-3 и следствия из них являются новыми результатами и получены автором самостоятельно. Оценки снизу рациональных приближений, полученные в теоремах 1 и 2 для Е-функшй, являются неулучшаемыми по порядку в смысле метрической теории чисел; аналогичные оценки теоремы 3 для G-функций расширяют класс известных иррациональных чисел, являющихся значениями таких функций.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближений.
Апробация. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах кафедры теории чисел
См.: Chudnovsky G.V. Он коте applications of diophantine approximations Ц Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1984. V. 81. March. P. 1926-1930.
механико-математического факультета МГУ (1993-95г.), на Конференции молодых ученых МГУ (1995г.), на Международной конференции по теории чисел (Воронеж, 1995г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], приведенных в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих семь параграфов, и списка литературы. Объем текста работы составляет 107 страниц. Список литературы включает 27 названий.