Введение к работе
Актуальность темы. Теория представлений конечных групп уже более ста лет является источником новых идей, методов и результатов не только в алгебре, теории чисел и анализе, но и физике. По этой причіпіе исследовашія и прогресс в этой области, решения осноеных ее проблем всегда находятся в центре внимания. Основной темой диссертации является изучение арифметических свойств уравнений, связанных с конечной группой и ее представлениями. О перспективности этого направления свидетельствует тот факт, что созданные в процессе такого исследования методы позволили получить ответы на некоторые старые актуальные вопросы теории представлений конечных групп, найти ряд арифметических соотношений глобального характера для инвариантов подгрупп группы в ее заданном представлении, охватывающих и обобщающих некоторые классические результаты, поставить на единую основу и решить некоторые естественные задачи бернсайдовского типа для конечных групп; Особенностью работы является почти полное отсутствие структурных ограничений на рассматриваемые группы. Как правило, полученные результаты применимы ко всем конечным группам.
Целью работы является выявление завимостей между структурными свойствами данной конечной группы и свойствами ее представлений. Основными объектами рассмотрения в диссертации являются функции, характеризующие решения различных уравнения, связанных с группой и ее представлениями, в том числе и такие классические объекты, как инварианты подгрупп
группы в некотором ее представлении. Найденные закономерности использованы для решения конкретных актуальных задач.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными являются следующие результаты:
-
Решение старше проблем Р.Брауэра о необходимых и достаточных условиях существования р-блоков дефекта О и числе таких блоков, а также аналогичных вопросов для вещественных характеров р-дефекта О.
-
Арифметические соотношения для инвариантов подгрупп группы в заданном представлении, обобщения на все конечные группы и их представления теоремы делимости Эйлера, соотношения для инвариантов образующих группы. _
-
Решеїше ряда задач бернсайдовского типа, т.е. задач о возможности восстановить группу по некоторой системе параметров группы или ее представлений.
Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании конечных линейных групп, групп Ше-валле, их представлений - обыкновенных и модулярных. Для' специалистов по теории чисел представляет интерес теоретико-групповая интерпретация некоторых арифметических фактов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на научных семинарах кафедр алгебры МГУ и МГПИ,-математических институтов Белорусского, Ленинградского, Сибирского и Уральского отделений Института математики АН СССР, всесоюзном симпозиуме по теории групп (Кунгурка,
1989 г., - пленарный доклад), международных алгебраических конференциях (Новосибирск, 1989 г., Барнаул, 1991 г., - секционный доклад)..
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 22 работах автора СП-С22].
Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы и список литературы' (90 наименований) и занимает 164 страницы машинописного текста.