Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Осцилляция функции меры иррациональности в случаях т = 1 и п = 2 или т 2ип = 1 16
1.1. Изучение функции ifje(t) в случае т = 1 и п = 2 17
1.2. Изучение функции ifje(t) в случае т 2ип = 1 23
1.3. Последовательности Бореля-Кантелли 36
1.4. Доказательство теоремы 1 38
Глава 2. О среднем значении меры иррациональности вещественных чисел . 39
2.1. Формулы с подходящими дробями 40
2.2. Доказательство пункта 2) теоремы III 42
2.3. Доказательство теоремы IV 48
2.4. Эргодические свойства преобразования Гаусса 54
2.5. Доказательства теоремы II 56
2.6. Доказательство теоремы V 58
2.7. Вычисление интеграла для некоторого класса чисел 59
Список литературы
- Изучение функции ifje(t) в случае т 2ип = 1
- Доказательство теоремы 1
- Доказательство пункта 2) теоремы III
- Доказательство теоремы V
Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованиям осцилляции многомерной функции меры иррациональности и асимптотического поведения интеграла от этой функции в одномерном случае. Изучением свойств таких функций занимались А.Я. Хинчин, В. Ярник, Дж.В.С. Касселс и другие математики.
Классические результаты, касающиеся приближения вещественных чисел рациональными дробями, принадлежат А. Лежандру, Ж. Лагранжу, К. Гауссу, Л. Дирихле, А. Гур-вицу, Э. Борелю и др. В основном, все результаты, связанные с одномерными приближениями, получены с помощью аппарата цепных дробей.
Одно из направлений теории диофантовых приближений связанно с приближением произвольного вещественного вектора G = {9\,..., 9п) целочисленным вектором х = (х\,... ,хп). В такого рода задачах плодотворным является изучение поведения наилучших приближений в различных нормах. Основы этой теории восходят к трудам Ш. Эр-мита, Г. Минковского, Г. Вороного и др.
Функция меры иррациональности естественным образом появилась в теории диофантовых приближений в вопросах, связанных с приближениями иррациональных чисел рациональными. Это связано с тем, что точки разрыва данной функции соответствуют наилучшим приближениям.
Рассматриваемая в настоящей диссертации функция, по-видимому, впервые встречается в работах В. Ярника1.
Приведем определение многомерной функции меры иррациональности в наиболее общем случае. Обозначим через х = (жі,... ,хп) - целочисленный вектор. Рассмотрим матрицу
/ в\ ... в'ї \
Є= . ,
гЛ пп
\ ^т " " " ^т /
где 9lj - вещественные числа из интервала [0; 1), 1 ^ j; ^ т, 1 ^ і ^ п, и соответствующую ей систему линейных форм
п
L(x) = Le(x) = {^(х), l^j^m}, L,-(x) = J] Є)хг.
i=\
Тогда функцию меры иррациональности можно определить следующим образом
ipe(t) = min max ||L,-(x)|| =
1^ max liKil^i
= min max \\9)x\ +
Xi&L \
1^ max liKil^i
где || || обозначает расстояние до ближайшего целого.
1V. Jarnik. Zum Khintchineschen "Ubertragungssatz". Acad. Sci. URSS, 3, Trav. Inst, math., Tbilissi. 1938. p. 193-216.
+ Щх,
Похожая функция
V(t)= min max ||L,-(x)||
К|жі|2Н h|x„|2sC/:2
используется в ряде доказательств у Дж.В.С. Касселса2. Видно, что определения отличаются лишь только нормой в аргументе минимума.
Из теоремы Минковского о выпуклом теле следует неравенство фв() < t~n'm. Функция ipe(t) _ кусочно постоянная, невозрастающая и убывает к нулю, когда t стремится к бесконечности. Точки разрыва данной функции определяют наилучшие приближения для матрицы G в sup-норме.
Также некоторую информацию о поведении этой функции можно получить из работ А.Я. Хинчина3 4, связанных с изучением сингулярных матриц, хотя в работах А.Я. Хин-чина в явном виде эта функция и не присутствует.
Напомним определение наилучшего приближения для матрицы G. Для целочисленного вектора x = (жі,... ,хп) рассмотрим величины
м(x) = max \хі\, <(x) = max ||Lj(x)||.
Определение 1. Будем называть целочисленный вектор x = (х\,... ,хп) наилучшим приближением для матрицы G, если
С(x) = minC(x/),
х'
где минимум берется по всем ненулевым целым векторам x' = (х'і, ... ,х!п), подчиненным условию
1 ^ М(x') ^ М(x).
В одномерном случае, когда п = т = 1, вместо матрицы G будем писать число а и функцию меры иррациональности можно определить таким образом
i>a{t) = min \\qa\\
(здесь минимум берется по целым q).
В терминах функции меры иррациональности можно дать определение спектра Лагран-
OHZCI
L={AgR: За liminftVa(t) = А}
І—S-+00
и спектра Дирихле
В = {А Є R : За limsupi^a(i) = А}.
i—S-+oo
2Дж.В.С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. ИЛб М.:1961. 213 с.
3А. Khintchine. Uber eine Klasse linearer diophantischer Approximationen. Rendiconti Circ. Math. Palermo. 1926. №50;2. p.170-195.
4A. Я. Хинчин. Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1948. №12:3. С.249-258.
О спектрах Лагранжа и Дирихле можно прочитать в книге Т. Кузика5, в статье А.В. Малышева6 и В.А. Иванова7.
Результаты о спектрах Лагранжа и Дирихле в одномерном случае получены при помощи теории цепных дробей.
Информацию о спектрах Лагранжа и Дирихле в больших размерностях можно найти в статьях Р.К. Ахунжанова8 и Р.К. Ахунжанова, Д.О. Шацкова9.
В одномерном случае Н.Г. Мощевитин и И.Д. Кан в совместной работе10 доказали следующий результат.
Теорема 3. Для двух вещественных чисел а и [5, таких что а ± /3 $. Z разность
ipa(t)-Mt)
бесконечно много раз меняет знак при t —> +оо.
Отсутствие феномена осцилляции в многомерных случаях в общем виде для всех матриц, следует из работ А.Я. Хинчина11 и В. Ярника12 о сингулярных системах.
Определение 2. Матрица G называется невырожденной, если функция ipe(t) никогда не обращается в нуль при t ^ 1.
Определение 3. Пусть непрерывная функция "ф{ї) монотонно убывает к нулю при t —> +оо и Ґф{і) = o{t~n'm). Невырожденная матрица G является ^-сингулярной, если при всех достаточно больших значениях t для функции меры иррациональности выполнено неравенство
фв(і)^ф(і).
Впервые существование сингулярных систем было доказано А.Я. Хинчиным в 1926 г. при п = 2, т = 1 и при п = 1, т = 2. Он доказал следующие две теоремы.
Теорема 1. Пусть Ґф(і) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при t —> +оо функция вещественного переменного t. Тогда существуют два, линейно независимых вместе с единицей над Ъ, вещественных числа а и /3 такие, что для всех достаточно больших t система диофантовых неравенств
+ жг/ЗЦ ^ ф(і), 1 ^ max \xj\ ^ t
5T.W. Cusick, М.Е. Flahive. The Markoff and Lagrange spectra. Mathematica surveys and monographs. 1943. p.93.
6A.B. Малышев. Спектры Маркова и Лагранжа (обзор литературы). Записки науч. сем. ЛОМИ. Изд-во «Наука», Ленинград, отд., Л. 1977. №67. С. 5-38.
7В.А. Иванов. О начале луча в спектре Дирихле одной задачи теории диофантовых приближений. Записки науч. сем. ЛОМИ. 1980. №93. С.164-185.
8Р.К. Ахунжанов. О векторах заданного диофантова типа П. Математический сборник. 2013. №204:4. С.3-24
9R.K. Akhunzhanov, D.O. Shatskov. On Dirichlet spectrum for two-dimensional simultaneous Diophantine approximation. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2013. vol.3, iss. 3-4. pp. 5-23, [pp. 241-259].
10I.D. Kan, N.G.Moshchevitin. Approximations to two real numbers. Uniform Distribution Theory 5. 2010. no.2. p.79-86.
11 A. Khintchine. Uber eine Klasse linearer diophantischer Approximationen. Rendiconti Circ. Math. Palermo. 1926. №50;2. p.170-195. 12V. Jarm'k. Eine Bemerkung Uber diophantische Approximationen. Math. Z. 1959. 72:1. p.187-191.
имеет целочисленное решение (жі,ж2) Є Z2.
Теорема 2. Пусть ф(і) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при t —> +00 функция вещественного переменного t и при этом функция ttp{t) монотонно возрастает к бесконечности при t —> +00. Тогда существуют два, линейно независимых вместе с единицей над Z, вещественных числа а и /3 такие, что для всех достаточно больших t система диофантовых неравенств
тах(||:га||, ||ж/3||) ^ if>(t), 1 ^ х ^ t
разрешима в целых числах х.
В. Ярник13 доказал наличие сингулярных матриц при любых га и п ^ 2.
Теорема 4. Пусть га - произвольное натуральное число, п - натуральное число, не меньшее, чем два. Предположим также, что ф(і) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при t —> +00 функция вещественного переменного t. Рассмотрим множество М. С Rmn, состоящее из матриц О размера ran, таких, что
числа 6%j с 1 ^ г ^ п, 1 ^ j ^ га линейно независимы вместе с единицей над 7L;
матрица О является ф-сингулярной.
Тогда для любого открытого множества Q С М.тп пересечение М. П Q имеет мощность континуума.
При а = 1 дело обстоит несколько по-другому. Итак, пусть и = 1 и 0= {0j,l ^ j ^ га}, есть некоторый набор вещественных чисел. Сформулируем обобщение теоремы 2, доказанное Леска14.
Теорема 5. Пусть а = 1 и га ^ 2. Пусть Ґф(і) - положительная, непрерывная и убывающая к нулю при t —> +00 функция вещественного переменного t, для которой
llmsup ^(t)t = +00.
І—S- + 00
Тогда множество ф-сингулярных наборов О = {9j, 1 ^ j ^ га}, состоящее из алгебраически независимых вещественных чисел, в пересечении с произвольным открытым множеством G С Ет имеет мощность континуума.
Так лее наличие сингулярности позволяет сформулировать несколько общих утверждений при любых п и т, кроме случая (п,га) = (1,1).
Утверждение 1. Для любой невырожденной матрицы О существует такая невы-рожденная матрица О', что разность
фе(ї)-фе>(і)
начиная с некоторого момента не осциллирует.
Утверждение 2. Существует матрица 0; такая что для почти всех (в смысле меры Лебега) матриц О', разность
ф@(і)-ф@'(і)
13V. Jarni'k. Eine Bemerkung Uber diophantische Approximationen. Math. Z. 1959. 72:1. p.187-191. 14J. Leska. Sur un resultat de Jarnik. Acta Arith. 1966. 11. p. 359-364.
начиная с некоторого момента не осциллирует.
Справедливость утверждения 2 следует из теоремы Хинчина-Грошева.
Покажем, как из наличия сингулярных систем следует отсутствие осцилляции в общем случае на примере теоремы 1.
Возьмем функцию ijj{t) = o(t~2), t —> оо. Пусть а, /3 - те числа, существование которых утверждает теорема 1. Возьмем другие числа a>i, /3\ - плохо приближаемые (в смысле линейной формы):
inf (Цжіскі + Ж2/Зі||(тах{|жі|, |ж2І}) 2) = є > 0.
(ікі,іі;2)ЄЙ2\{(0,0)}
При достаточно больших t выполняется неравенство
VW)W < 2 t_2 <^("ь/8і)(*)>
что обеспечивает отсутствие осцилляции.
Как видно из теоремы 3, вопрос об осцилляции разности "фа{ї) — фр(і) в случае т = п = 1 полностью решен. Для дальнейшего изучения поведения функции ipa(t) полезно изучить интеграл Ia(t) от этой функции, который определяется естественным образом
Ш = JФа(№.
Можно отметить, что в общем случае осцилляция для разности Ia(t) — Ip{t) отсутствует. Например, для золотого сечения г = 2+1 выполняется равенство
t^oo ]nt I 2 10 і І 2
По теореме II п.2 можно выбрать число /3, алгебраически независимое с числом г, такое, что
Ifi(t) 61n2 hm —— = ——,
t^oo In t 7Тг
и следовательно разность IT{t) — Ip{t) стремится к бесконечности при t —> +оо. Таким образом, аналог теоремы 3 об осцилляции разности ^>a{t) — фр(і) для разности интегралов Ia(t) — Ifi{t) не имеет места.
Цели работы.
Изучение интеграла Ia(t), разности Ia(t) — Ip(t) при t —> +оо.
Изучение разности if)e(t) — фе1 if) при t —> +оо в случаях т = 1 и п = 2 или т^2и п = 1.
Методы исследования. В работе использованы элементарные методы теории чисел, методы математического анализа, методы функционального анализа, эргодическая теория.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
найдены точные границы для значения предела lim N^ L, где N(a,t) - количество
t—>оо
N(a,t)
знаменателей подходящих дробей для числа а на отрезке [1;];
найдено значение предела lim N7^L для почти всех (в смысле меры Лебега) значений числа а;
найдено значение предела lim -f^r для почти всех (в смысле меры Лебега) значений
i-S-oo 1пг
числа а;
доказано, что существуют алгебраически независимые числа а и /3, такие что разность Ia(t) — Ip(t) —> оо при t —> оо;
приведен алгоритм нахождения точного значения предела lim -f^- для некоторого
i-S-oo 1пг
класса чисел;
доказано, что разность ф@ () — ф@/ () при t —> схэ меняет знак бесконечное количество
раз для почти всех пар матриц размера т = 1 и п = 2 или т^2ии=1.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, и разработанные в ней методы могут быть применены в задачах теории диофантовых приближений, касающихся нахождения наилучших приближений к многомерному вектору. Кроме того, полученные результаты могут использоваться в учебном процессе в рамках специальных курсов и специальных семинаров.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:
«Diophantine Analysis» - Астрахань, Россия (30 июля - 3 августа 2012);
«Moscow Workshop on Combinatorics and Number Theory» - Москва (Долгопрудный), Россия (27 января - 2 февраля 2014);
«Diophantine Approximation and Related Topics» - Орхус, Дания (12 июля - 17 июля
2015);
и научно-исследовательских семинарах:
«Московский семинар по теории чисел» (рук. Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитин), МГУ;
Семинар кафедры математики и методики её преподавания Астраханского государственного университета (рук. А.Г. Князев, С.З. Кенжалиева), АГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 статьи в ведущих российских и зарубежных рецензируемых изданиях [1], [2] и [3].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии. Общий объем диссертации составляет 69 страниц. Библиография включает 34 наименований.
Изучение функции ifje(t) в случае т 2ип = 1
Пусть здесь и далее (,J-,fi) - вероятностное пространство с = [0; 1]т. Назовем последовательность измеримых множеств {Mk} - последовательностью Бореля-Кантелли если / 00 00 \ \г=1 к=г / То есть почти все точки множества попадают в бесконечное количество множеств последовательности {Mk}. Теорема Шустера [34].
Пусть {Mk] - последовательность измеримых множеств. Если для любого измеримого множества Е, такого что fJ.(E) 0, выполняется //(ЯПМА) = +оо, k=l то последовательность {Mk} является последовательностью Бореля-Кантелли.
Теорема о плотности. Пусть Е - измеримое множество с fJ.(E) 0, тогда для любого 5 0 существует куб S, такой что r(s) Лемма 1.15. Пусть {Mk} - последовательность измеримых множеств, для любого куба S со стороной X начиная с некоторого номера ко(Х) для всех к ко выполняется неравенство fi(SnMk) cfi(S), где с - некоторая положительная постоянная.
Тогда последовательность {Mk} является последовательностью Бореля-Кантелли. Доказательство. В этом доказательстве Mk и Е обозначают дополнение для множеств Mk и Е. Для любых множеств Е, S и Mk выполняется неравенство ц{ЕПМк) n{SC\EC\Mk) n{S) - fi{SnM k) - /І(5П). (1.10) Из условия леммы для всех к ко(Х) будет n{Sr\M k) = n{S) - n{SnMk) : n{S) - cfi{S). (1.11) По теореме о плотности для 5 = можно выбрать куб 5 так, что fi(SnE) м(5), откуда получаем неравенство (SriE) = fi(S) - fi(SnE) fi(S). (1.12) Подставим (1.11) и (1.12) в неравенство (1.10) ц(ЕПМк) KS) KS) + cfi(S) - i(S) = M(S). Видим, что для последовательности {Мк} выполняются условия теоремы Шустера, таким образом последовательность {Мк} является последовательностью Бореля- Кантелли. Лемма 1.15 доказана. Напомним некоторые свойства прямого произведения, см. [10]. Пусть А, А С X, В, В С Y. Тогда 1) (А х В)Г\(А х В ) = (АпА ) х (ВГ\В ); 2) fixxY(A ХВ)= ЦХ(А) цу(В). Лемма 1.16. Пусть {М } и {М} последовательности в Q и для любых кубов S\ и 5 2 начиная с некоторого номера ко для всех к ко выполняются неравенства /І(М П5І) cfi(Si) и /І(МП»5 2) сці ї), где с - некоторая положительная постоянная.
Тогда последовательность {М х Mj:} является последовательностью Бореля-Кантелли. Доказательство. Построим последовательность множеств {Ф&} = \М х М \. Покажем, что для этой последовательности выполняются условия леммы 1.15. Возьмем куб S = S\ х S2. Найдем меру пересечения fi(Sn k) = /i((5 1 х S2)n (Ml x М-, = ndSiDMl) x (52ПМ)) = niSiDMl) д(52ПМ). По условию леммы для всех к ко выполняется неравенство niSinMl) n{S2C\Ml) С/І(5 І) qi{S2) = c2fi{S). Видим, что для последовательности {Ф&} выполняются условия леммы 1.15, значит последовательность {Ф&} является последовательностью Бореля-Кантелли.
Построим последовательность множеств {Ф&} = \Mk х Мк} и {Фк} = {Mk х Mk]. По леммам 1.3, 1.4, 1.5, 1.14 и 1.16 обе последовательности {Ф/г} и {Фк} являются последовательностями Бореля-Кантелли. Установим взаимнооднозначно соответствие между точками из Q и матрицами G.
В случае п=2 и т=1, точке (а,/3)є[0,1]2 сопоставим матрицу G = (6 { 6 2) = (а/3). В случае п = 1 и m 2 точке («і,... , х,)є[0, l]m сопоставим матрицу G = В обоих случаях почти все пары точек, а значит и почти все пары матриц попадают в последовательности {Ф&} и {Фк} бесконечное количество раз. Если (0,0 )ЄФА;, то разность ifjQ(t) — Q (t) 0 и если (0,0 )ЄФА;, то разность ф $ {) — Qi{t) 0, а значит для почти всех пар матриц осцилляция происходит бесконечное количество раз.
Теорема I доказана. Глава 2 О среднем значении меры иррациональности вещественных чисел. Напомним, что в этой главе мы рассматриваем интеграл t Ш = JM№ І для функции iba(t) = min Носкі І. Величина N = N(a,t) определяется условием qN t qN+1, (2.1) т.е. количество знаменателей подходящих дробей для числа а на отрезке [1; t]. В данной главе будут доказаны следующие теоремы. Теорема II. Для почти всех (в смысле меры Лебега) чисел а выполняются равенства 1)llm_ i Jt ooN(a,t) 2 9л г Ш 6 In 2 2) Inn —— = ——. t oo In t 7TZ Теорема III. Для любого иррационального а Є (0; 1) выполнены неравен ства l)limsuP] gy l, 1 _ V5. і 2 ю ± 2) liminf f% - f. суіцествует а, такое что Теорема IV. Для любого d Є lim —у = d. і-к» N(a,t) Теорема V. Пусть qo,qi,... ,qn,... и го,Ті,...,rn,... - суть знаменатели подходящих дробей для а и [5 соответственно. Тогда для почти всех (в смысле меры Лебега) пар (а,/3) Є [0,1]2 верно неравенство П—7 00 liminf \Ia(qn) Ip{rn)\ +00-39
Доказательство теоремы 1
Снова рассматриваем функцию / определенную в (2.37). Пусть R\ С [0,1)2 х [0,1)2 это множество для тех точек (z\)Z2) = ((жі,г/і), (Х2,У2)), Для которых выполняется следствие 2.4. Его мера равняется 1. Для (zi,Z2) Є R\ рассмотрим только те значения п для которых суммы п п п+1 п+1 Е f{Tvz{) - Е 0"ъ), Е f& " ) - Е /с? ) г/=1 г/=1 г/=1 г/=1 имеют различные знаки. Тогда, поскольку каждое слагаемое в суммах не превосходит единицы, видим, что Ед і)-Ед v=l v=l 2. Рассмотрим проекцию R1 = {(х1,х2) Є [0,1) 2 3уі3у2 : {хі,уі,х2,У2) Є Ri} Мера множества R\ тоже равна 1. Для (сх,(3) Є R\ и рассматриваемых значений п с учетом леммы 2.7 получаем i/ja(t)dt if /3(t)dt \Gn(a) - Gn(P)\ n n /(f ,o))-/(f%0,o)) v=l v=l Теорема V доказана. 10. 2.7. Вычисление интеграла для некоторого класса чисел В данном параграфе мы выведем формулы для вычисления пределов lim Ы( L и lim -рт - в тех случаях когда а есть квадратичная иррацио-нальность. И докажем в каких случаях lim Щ = 0. г- оо In t Запишем несколько определений.
Определение 2.1 Комплексное число а называется алгебраическим, если существует многочлен Р{х) Є Q[x], Р(х) ф 0, с условием Р(а) = 0. Среди всех таких многочленов выберем многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом 1. Такой многочлен определяется по а единственным способом и называется минимальным многочленом а.
Определение 2.4 Бесконечная непрерывная дробь [ао; «г, а2} ] называется периодической, если существуют целые числа к 0, т 0, такие что (1-т+п = 0"п ПРИ ВСЄХ П к. Будем обозначать такую дробь следующим образом [ao;ai,... }ак - 1}ак}ак+\}..., ак+ т—1\ Известна теорема, см. [15] Теорема 2.1 Число а разлагается в периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда а - квадратичная иррациональность. Для чисто периодической цепной дроби, т.е. [0; ai,..., ak] число а = [0; ai,... , ak] находится из уравнения pka+pk_i а = . (2.39) qka + qk_i Дадим еще определение эквивалентности двух вещественных чисел. Определение 2.5 Два иррациональных числа а и (3 называются эквивалентными, если существуют целые числа a, Ь, с, d связанные равенством ad — be = ±1, для которых п аа + Ъ Р = ГТг са + а Теорема 2.2. Пусть а = [ао] 2i, 22, ] и [5 = [&о; &ъ&25] иррациональные числа. Они эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют целые числа и и v, такие что аи+п = bv+n(n = 1,2,...). Нам еще понадобятся некоторые формулы из теории о континуантах, см. [3] Определение 2.6 Континуанта (ai,...,an) содержит п переменных и определяется рекурентно следующим образом: 0 = 1, (ai) = аь (ai,... ,an) = an(ai,..., an-i) + («i,..., an-2). Континуанты связаны с цепными дробями (ai,... ,an) 60 г ! (tto,---,ttn) [ао] Сії, (І2-, (і. Для континуанта верно более общее правило \CLl, . . . , (Ът, Qifn+11 і U"m+n/ \ 11 і U"m/ \flm-\-l і і U"m+n/ т + ( 2і,... , 2то_і)(ато+2,... ,ат+п) (2.40) Применив эту формулу к цепными дроби [0; 2і, (І2,.. . і ап] получим [0;аьа2, ...,anJ = 7 г- (2-41) \ 2і,... ,ап) В дальнейшем а Є (0;1), поэтому вместо записи а = [0; а\, а2, будем использовать более краткое а = [а\,а2,...]. Обозначим через А и А ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ НатураЛЬНЫХ ЧИСеЛ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЛИНЫ ( 2і, 225 і к) и ( 2і, 22, i&k-i) соответственно. Отношение ап Ьп означает, что предел lim (Р- = 1. Доказательство следующей леммы можно найти в статье [2]. п- +оо п Лемма 2.8. (А...,А) с((А) + (А-)а п где а = [А \ - квадратичная иррациональность и вычисляется по формуле (2.39), с - некоторая, зависящая от А, но не зависящая от п константа.
Следствием леммы 2.8 и формулы (2.40) будет Утверждение 2.1. Для где С\ зависит от набора (&і,... , bk) и А. Доказательство. Применим формулу (2.40) к континуанту (&1, Ъ2..., Ьк, А,..., А) = (&х, Ъ2..., Ьк) {А,..., А) + п г + (bhb2... ,Ьк-і)(а2,... ,акА,...,А). п—1 Разделим обе части на континуант (А,... , А) и получим равенство (bub2...,bk,A,...,A) (а2, ...,акА,...,А) (bhb2... А) + (&iA--- A-i) п—1 ( л) ..., ...,_/ (л Л) (а2,...,а /1, . . . , А) По формуле (2.41) при п — +оо дробь - -дт а. Отсюда видим, что (&iA---A) + (ЬіА---A-i)a, n где a = [Л]. Можно записать таким образом (&i А А, А № А ... А) + (&i А, Ьл-іН (Д А). п Применим лемму 2.8 и получим, что (ЬиЬ2...,Ьк,А,...,А) С1((А) + (А-)аУ і где сі = с((&іА---А) + &1, Ь2 - - - ,ЬА;_І СК). Утверждение 2.1 доказано. Аналогично доказывается, что если а эквивалентно /3, то Ига = С, п +оо д; где gn и q n знаменатели подходящих дробей для а и (3 соответственно, а константа С вычисляется по а и
Доказательство пункта 2) теоремы III
Для доказательства пункта 2) теоремы III нам понадобятся непрерывные дроби с вещественными неполными частными. В этом пункте и далее для записи бесконечного множества аргументов будем пользоваться обозначением х = (х\,Х2,. ), где Х{ Є [1;+оо), і Є N. Определим функцию а(х) = [0;жі,Ж2? Также определим функции qv(x) и pv(x) как контину-анту (см. определение 2.6 на стр. 60)
Рассмотрим функцию ifja(x)(t) = \qN(x)a(x) — рм(х)\, где N определяется аналогично (2.1). Рассмотрим интеграл Ia(x)(t) = / Фа(х)(С) С и функции [xv;xv+i,xv+2,--]i v 1; где N определено аналогично (2.1). Найдем частные производные от функций а,у(х) и сх (х) по переменной Xk- Для этого уточним зависимость от к-ого аргумента:
Теперь для производных легко получить следующие соотношения: Лемма 2.1. Функция Gn(x) возрастает по каждому из первых п + 1 арг?/,мемт?/. Доказательство. Покажем, что (Gn(x)) 0, для k п + 1. Найдем производную по к-ому аргументу. В этом доказательстве не будем писать аргумент х.
Исследуем первую сумму из (2.27) и покажем, что она неотрицательная. Воспользовавшись соотношением (2.23), отбросим нулевые слагаемые f (av+1 + а )2 В новой сумме, используя условие «о = 0, можно при необходимости сделать четное количество слагаемых, добавив слагаемое си = 0. Сгруппируем слагаемые по два, начиная с последнего, и преобразуем сумму, воспользовавшись (2.19) и (2.23): /=0 \K-2l( -l-2I + OL h-2-2l) + І)2/ Из (2.25), следует что {ak-2i) Xk 0, для всех /, а значит и вся сумма тоже положительна.
Покажем, что вторая сумма из (2.27) всегда не отрицательна. Из (2.24) и (2.26) получаем, что сумма знакочередующаяся и начинается с положительного слагаемого при v = к. Сгруппируем слагаемые по два. Если в сумме нечетное количество слагаемых, то последнее слагаемое можно отбросить, ибо оно положительно, от этого сумма только уменьшится. Воспользуемся (2.19), (2.24), (2.26) и оценим сумму снизу (ak+2+2i(xk+i+2i + a k+2l) + l)2/ Получили, что производная положительна при А; п + 1, значит функция Gn(x) возрастает по первым п + 1 аргументам. Доказательство леммы 2.1 завершено. Из леммы 2.1 получаем Следствие 2.1. Длл любого наборах и п Є N выполняется неравенство Gn(x) Gn(l,l,...,l,XrH.2,...). (2-28) Возьмем вещественное число z, для него рассмотрим набор z = (z, z,...) и определим число S(z) = (1- ))( + )). (2.29) Лемма 2.2. Для любого z Є [1,+оо) выполняется неравенство \Gn{z) - S{z)n\ 4. Доказательство. Для z = (z, z,...) выполняется свойство ot v(z) = (j которые позволяют записать разность (2.21) следующим образом qzv{z){av+i{z) + a (z)) Запишем Gn(z) следующим образом n n Gn(-z) = J2S(z) + J2(S -S Y (-If a(z) — tx v{z) Воспользуемся (2.15) и покажем, что ряд (S x) — S(z)) сходится абсОЛЮТ-но
Теперь мы завершим доказательство пункта 2) теоремы 2. Из(2.14), (2.28) [2.29) и (2.30) получаем, что для любого наборам выполняется lim inf „— = lim inf ——— = lim inf — n- c» n t- oo N t- oo N lim inf П—7 Gn(l, 1, . . . , l,2/n+2, n S(V v 2 "To" Доказательство теоремы III завершено. 2.3. Доказательство теоремы IV. Лемма 2.4. Пусть х = (0; ж, Z2, 3 ...,); у = (0; у, Z2, 3 ... ,) м п Є N тогда \Gn(x) - Gn(y)\ 8. Доказательство. Оба числа ск (ж) и ск (г/) попадают в интервал между %М и PdFtM 1121. ВДе Ш подходящая дробь к aj(2). Это Pi/-i(x) числами -—т=\ и позволяет оценить расстояние между ними: \аЦх) - аЦу)\ qv-i{x){qv-2{x) + gn-iM) 2"-2 При z/ 2 выполняется равенство а„(ж) = «„(у). Оценим разность \Gn(x) -Gn(y)\ п п 1У\ X , Y,sv( )-Y.s Y \Sv(x) - Sv(y)\ v=\ Е Е v=l OLV+\{X, (1 - al(x))av+i(x) (1 - at(y))av+i(y) al (ж) + av+i (ж) а (у) + av+x (у) ЛУ) atfflotv+iiy) - a (ж) + a vig)av+i{x) (О! (Ж) + 0!І/+і(ж))(0! (2/) + Qv+l(/)) n ї Q +iWa +iM a„+1(S)(l+a,+1(,)) а,ШЬа.(г) 2E а.ш)_а.(ї) X: A = 8. z/=l z/=l Доказательство леммы 2.4 завершено. Из следствия 2 и леммы 2.4 получаем, что для набора ж (жі, z, z,... , z, хп+2) выполняется неравенство С7п(ж) - 5йп 13. (2.3Ґ Сумма Gn(x) зависит от п + 1 аргумента (жі, Ж2,..., жп, ап+і(х)). В дальнейшем рассуждении нам удобно выделить зависимость от последнего аргумента. Для числа а = [0; а\, а 2, через Gn(a,x) будем обозначать сумму для набора (ai, а,2,..., an, ж), где а,{ Є N и ж Є (1, +оо).
Доказательство теоремы V
Пусть здесь и далее (,J-,fi) - вероятностное пространство с = [0; 1]т. Назовем последовательность измеримых множеств {Mk} - последовательностью Бореля-Кантелли если / 00 00 \ \г=1 к=г / То есть почти все точки множества попадают в бесконечное количество множеств последовательности {Mk}. Теорема Шустера [34].
Пусть {Mk] - последовательность измеримых множеств. Если для любого измеримого множества Е, такого что fJ.(E) 0, выполняется //(ЯПМА) = +оо, k=l то последовательность {Mk} является последовательностью Бореля-Кантелли.
Теорема о плотности. Пусть Е - измеримое множество с fJ.(E) 0, тогда для любого 5 0 существует куб S, такой что r(s) Лемма 1.15. Пусть {Mk} - последовательность измеримых множеств, для любого куба S со стороной X начиная с некоторого номера ко(Х) для всех к ко выполняется неравенство fi(SnMk) cfi(S), где с - некоторая положительная постоянная.
Тогда последовательность {Mk} является последовательностью Бореля-Кантелли. Доказательство. В этом доказательстве Mk и Е обозначают дополнение для множеств Mk и Е. Для любых множеств Е, S и Mk выполняется неравенство ц{ЕПМк) n{SC\EC\Mk) n{S) - fi{SnM k) - /І(5П). (1.10) Из условия леммы для всех к ко(Х) будет n{Sr\M k) = n{S) - n{SnMk) : n{S) - cfi{S). (1.11) По теореме о плотности для 5 = можно выбрать куб 5 так, что fi(SnE) м(5), откуда получаем неравенство (SriE) = fi(S) - fi(SnE) fi(S). (1.12) Подставим (1.11) и (1.12) в неравенство (1.10) ц(ЕПМк) KS) KS) + cfi(S) - i(S) = M(S). Видим, что для последовательности {Мк} выполняются условия теоремы Шустера, таким образом последовательность {Мк} является последовательностью Бореля- Кантелли. Лемма 1.15 доказана. Напомним некоторые свойства прямого произведения, см. [10]. Пусть А, А С X, В, В С Y. Тогда 1) (А х В)Г\(А х В ) = (АпА ) х (ВГ\В ); 2) fixxY(A ХВ)= ЦХ(А) цу(В). Лемма 1.16. Пусть {М } и {М} последовательности в Q и для любых кубов S\ и 5 2 начиная с некоторого номера ко для всех к ко выполняются неравенства /І(М П5І) cfi(Si) и /І(МП»5 2) сці ї), где с - некоторая положительная постоянная.
Тогда последовательность {М х Mj:} является последовательностью Бореля-Кантелли. Доказательство. Построим последовательность множеств {Ф&} = \М х М \. Покажем, что для этой последовательности выполняются условия леммы 1.15. Возьмем куб S = S\ х S2. Найдем меру пересечения fi(Sn k) = /i((5 1 х S2)n (Ml x М-, = ndSiDMl) x (52ПМ)) = niSiDMl) д(52ПМ). По условию леммы для всех к ко выполняется неравенство niSinMl) n{S2C\Ml) С/І(5 І) qi{S2) = c2fi{S). Видим, что для последовательности {Ф&} выполняются условия леммы 1.15, значит последовательность {Ф&} является последовательностью Бореля-Кантелли. Лемма 1.16 доказана. 1.4. Доказательство теоремы I.
Построим последовательность множеств {Ф&} = \Mk х Мк} и {Фк} = {Mk х Mk]. По леммам 1.3, 1.4, 1.5, 1.14 и 1.16 обе последовательности {Ф/г} и {Фк} являются последовательностями Бореля-Кантелли. Установим взаимнооднозначно соответствие между точками из Q и матрицами G.
В случае п=2 и т=1, точке (а,/3)є[0,1]2 сопоставим матрицу G = (6 { 6 2) = (а/3). В случае п = 1 и m 2 точке («і,... , х,)є[0, l]m сопоставим матрицу G =
В обоих случаях почти все пары точек, а значит и почти все пары матриц попадают в последовательности {Ф&} и {Фк} бесконечное количество раз. Если (0,0 )ЄФА;, то разность ifjQ(t) — Q (t) 0 и если (0,0 )ЄФА;, то разность ф $ {) — Qi{t) 0, а значит для почти всех пар матриц осцилляция происходит бесконечное количество раз. Теорема I доказана. Глава 2 О среднем значении меры иррациональности вещественных чисел. Напомним, что в этой главе мы рассматриваем интеграл t Ш = JM№ І для функции iba(t) = min Носкі І. Величина N = N(a,t) определяется условием qN t qN+1, (2.1) т.е. количество знаменателей подходящих дробей для числа а на отрезке [1; t].