О строении проективных плоскостей порядка 9 Васильков, Вадим Иванович

Введение к работе

В настоящее время общепризнана ганеная роль дискретной математики, разделом которой является комбинаторный аиолиз. Значительное место з комбинаторной анализе занимают блок-схемы, наиболее изученные из систем инцидентности. Частным случаем блок-схем являются конечные проективные плоскости, теория которых развита достаточно глубоко и представлена во многих крупных работах, з частности, и па русском языке (работы Е.Г. Гонина, Ф. Картеси, К.А. Рыбникова, Л.А. Скорнякова, М. Холла, А.й. Ширшова и А.А. Никитина, см. [I - 7]).

Из этой теории следует, что все конечные проективные плоскости, известные в настоящее время, имеют порядок, равный степени простого числа, причем, педезарговы плоскости существуют для всех порядков р^г ( р - простое я г - натуральное числа, гі 2 ), кроме порядков 4 и 8. Отсюда, наименьший порядок, для которого существуют недез'арговы плоскости, равен 32-9.

Кроме дезарговой, в настоящее время известны три недезарговы плоскости порядка 9: плоскость трансляций, плоскость сдвигов (она "двойственна плоскости трансляций) и плоскость Хьюза. Они были открыты еще в 190? г. Вебленом и Веддербарпом [8], но последняя плоскость носит имя Хьюза, так как он построил целый класс недезарговых плоскостей, в котором наименьший порядок плоскости равен как раз 9 [9].

Других проективных плоскостей порядка 9 пока не обнаружено, но и не доказано, что такоаых нет.

Ииенио эти четыре проективные плоскости порядка У и являются объектом исследования в диссертации.

Важным для теории конечна проективных плоскостей является знание их строения, прежде всего ДЛЯ IiesUCOFUiX порядков. Круг вопросов, подлежащих исследованию для данной проективвой плоскости, достаточно обширен. В рассматриваемой работе в него включены следующие:

1) группа коллннеаций (^ллдпиеппия плоскости - это
преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку,
прямая - в прямую, сохраняется инцидентность точки и прямой);

2) наборы точек; о частности,

к-дугн (клДУ-Ш - любое множество из к точек плоскости, никакие три из которых не коллинеарны);

3) подплоскостц (подддоскості - часть плоскости, которая
сама представляет плоскость);

4) связь между подплосксстямп одного порядка.
Разумеется, этот перечень вопросов нельзя считать полным,

но он содержит существенные вопросы, которые приходится гак или иначе решать, изучая строение конкретной лроективаой плоскости конечного порядка.

Изучением строения плоскостей порядка 9 заняли:.:, сравнительно недавно, для недезарговых плоскостей - с середин л пятидесятых годов, после публикаций в 1955 г. (Andre) и в 1857 г. (Zappa) статей {10,11], з которых рассматриваются группы коллинеаций плоскостей трансляций и Хьюза соответственно. Знание групп коллинеаций позволяет дьть ответ на некоторые вопросы 2 - 4 из приведенного выше списка.

Главная цель диссертации единым методом провести классификацию и подсчеты подплоскостей возможных порядков 2 и 3 в

каждой из недезарговых плоскостей порядка 9. После достижения этой цели - решить диа вопроса из книги [12] о пересечении подплоскостей порядка 3 в плоскости Хьтоза порядка 0:

I. Существуют ли непересекающиеся подплоскостн ?

II. Существуют ли такие подплоскости, пересечением которых
является лишь тройка коллинеарных точек ?

Для реализации главной цели используется следующий план.

1. Прежде всего для k = 1,2,3,4 изучаются к-наборы точек с точностью до изоморфизма (два k-набора точек, называются изалор-фяьшл, если существует коллинеация плоскости, отображающая любой из них в другой).

2. На основе изучения 4-наборов точек (в частности, 4-дуг) исследуются подплоскости: проводятся классификация и подсчеты подплоскостей.

Первый этап плана реализуется с помощью единого иехода
отыскания всех типов k-наборов точек (прямых) в конечной
npj3eJiTjH^QiLiLajKKj}CTja, который является конкретизацией метода
поэтапных отождествлений (предложенного Е.Ґ. Гониным [13] и
описанного Ю.Н. Зверевой в статье [14]) к условиям данной
задачи. .

На втором этапе реализации плана используется щшш. исследования (классификадии и подсчета) подплоскостей с помощью 4-дуг. изученных на первом этапе.

С помощью результатов, полученных на 1,2 этапах приведенного плана, решаются указанные выше два вопроса из книги [12]. При их решении применены специально разработанные приемы.

В ходе исследования недезарговых плоскостей решены следующие задачи.

1) Найдены все опорные к-наборы точек для к = 3,4; при этом
опорный к-набор - ото представитель класса изоморфных между
собой относительно группы коллинеаций плоскости к-каборов
(исследование таких наборов стало возможным лишь после
изучения k-наборов для к = 1,2 тем же методом).

2) Для каждого опорного k-набора точек найдены группа
автоморфизмов этого k-набора (автоморфизм к-набора - это
коллинеация плоскости, при которой k-набор отображаете* на
себя), ее порядок и образующие элементы, а также общее число к-
наборов, изоморфных опорному; это число при к > 2 находится по
формуле Щ «= |G[ : |G^kil .

В этой формуле: N^k_s - общее число к-наборов, изоморфных опорному набору S^t_i, |GJ - порядок группы коллинеаций.плоскости, |G^kil - порядок группы автоморфизмов опорного набора S^kj.

3. Проведены классификация н подсчеты подплоскостей порядков 2 и 3 в плоскости трансляций, при этом устранена ошибка итальянского математика Magari [15] в подсчете подплоскостей порядка 3.

4. Проведены классификация а подсчеты подплоскостей порядков 2 я 3 ' в плоскости сдвигов, двойственной плоскости трансляций. '.

5. Тег.ш зке приемами, что и для плоскости трансляций, проведены классификация и подсчеты подплоскостей порядков 2 п З в плоскости Хыоза,

6. Решены два упомянутых выше вопроса из книги [12] о о і. рессчеиии подплоскостей порядка 8 в плоскости Хьюза.

Отметим, что классификация подплоскостей данного порядка в кчдодьй i^r? i-едсчарговых плоскостей проведем с исиользовааием "кдйфигурацпл особенных точек и особенных прямых в составе

- 7-п". дплоскости, а именно: необходимым условием изоморфизма двух подплоскостей одного порядка является наличие однотипной указанной конфигурации; достаточным же условием изоморфизма таких двух подплоскостей является существование конкретной коллинеации, отображающей одну из подплоскостей на другую.

Подсчеты числа подплоскостей каждого типа X проведены по двум формулам:

h_x - ZN⁴i : 7 - для порядка 2,

n_x =- N⁴i : 234 - для порядка 3.

Эти формулы являются частными случаями общей формулы, созданной для подсчета подплоскостей. В приведенных формулах:

п_х - число подплоскостей данного типа X;

ZN⁴; - число всех 4-дуг, входящих в состав найденных

изоморфных подплоскостей типа X, и изоморфных, соответственно, опорным 4-дугам S*₄, которые порождают эти

изоморфные пэдБЛбскости;

7 - общее число 4-дуг з состава одной подплоскости порядка 2;

234 - общез число 4-дуг в составе одной подплоскости порядка 3.

Решение перечисленных з предыдущем пункте задач в значительной степени устранило имевшиеся пробелы в изучении строения проективных плоскостей порядка 9. Наконец, методы и приемы, использованные в диссертационной работе, пригодны и для исследования проективных плоскостей более высоких конечных порядков.

Практически все основные результаты, полученные в диссертации для недезарговых плоскостей порядка 9, являются новыми и имеют теоретическое значение. В то же время, часть результатов [19] получена параллельно и независимо от

.-8 -канадского математика Деннистона (161 единым методом, отличным от использованного последним.

Результаты работы были доложены на 25 - 28 конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны в 1967-1970 г.г., иа б Казахстанской конференции по математике и jjssamiKO в 1974 г., ва семинаре по комбинаторному анализу при МГУ в марте и октябре 1974 г., на семинаре по алгебре при Новосибирском университете и Институте математики СО АН СССР в марте 1890 г., на городском алгебраическом семинаре б г. Красноярске в декабре 1989 г., на семинаре по алгебре при ИММ Уро РАН в ноябре 1994 г.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [18 - 24J автора, приведенных в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения и пяти глав, "изложенных на 93 страницах, списка цитированном литературы из 35 наименований (из них 19 - на русской языке, 16 - на иностранном ясыкс), а также приложений к главам 2 - 5, оформленных в виде таблиц 2.1, 8.1 - 8.7, 4.1 - 4.10, 5.1 - 6.10.