Введение к работе
Предмет исследования. В диссертации получена асимптотическая формула среднего значения тернарной функции делителей на последовательности целых частей нецелой степени натурального ряда чисел. Обычно стремятся получить такого рода формулы при возможно больших значениях степени1 Л3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.
Актуальность темы. В настоящее время задачи нахождения асимптотической формулы для среднего значения ряда арифметических функций изучаются с помощью тригонометрических сумм. Первые основополагающие исследования в рассматриваемой области аналитической теории чисел выполнили Г. Ф. Вороной14, Г. Вейль15, И. М. Ви-
1Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [/(п)]. Матем. сб., 1953, т.ЗЗ, с. 559-566
2Колесник Г. А.Распределение простых в последовательности вида [пс] Матем. зам. 1972, т. 2, с. 117-128
3Deshouillers J. М. Nombres premiers de la forme [nc]. C. R. Acad. Sci. Par., 1976, v. 282 p. 131-133
4 Heath-Brown D. R. The Pjatecki-Shapiro Prime Number Theorem. Number Theory, 1983, v.16, p. 242-246
5Сегал Б. И. Об одной теореме аналогичной проблема Варинга. Докл. АН СССР, нов. сер., 1933, №2, р. 47-49.
6Kolesnik G. Primes of the form [nc]. Pacific Journal of the Math., 1985, v. 118, №2 p. 437-447 .
7Абуд X. M. О наибольшем простом делителе последовательности [пс]. Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук МГУ, 1989, р. 1-57.
8Буриев К. Аддитивные задачи с простыми числами. Диссертация на соиск. ... каид. фиэ. - матем. наук МГУ. 1989, р. 1-108.
93акзак А.Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях. Диссертация на соиск. ... канд. физ. - матем. наук. 1993, р. 1-80.
10Nordon D.Nombres premiers de la forme [nc]. Arch, Math., 1977, v.28, p. 727-740
11Архлпов Г.И., Житков A. H. О проблеме Варинга с нецелыми показателями. Изв. АН СССР., сер. матем. 1984, v. 48, №6, р. 1138-1150
12Буриев К. Об исключительном множестве в проблеме Харди - Литтлвуда для нецелых степеней. Матем. заметки, 1989, т.46, с. 127-128
13Гриценко С. А. Об одной задаче И.М.Виноградова. Матем.заметки, 1986, т.39, с. 625-640
14Вороной Г. Ф. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques. Fur die reine und angewandte math., 1903, v.126, p. 241-282.
15Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Ein. Math. Ann., 1916, v.77, p. 313-352.
ноградов16,17,18, Г. Харди и Д. Лнттлвуд19, Ван дер Корпут20,21,22, Р. О. Кузьмин23, Э. Ландау24 и др.
В литературе метод исследования задач подобного вида получил название метода Ван дер Корпута. Последние результаты, получаемые методом Ван дер Корпута изложены а монографиях С. В. Грэма и Г. Колесника25, А. Ивича26, Е. Кретцеля27, и в статье М. Н. Хаксли28.
В настоящее время появился ряд работ после принципиально нового подхода к этим задачам, возникшего в 80-х годах в работе А. А. Ка-рацубы29, ц затем в работах Э. Бомбьери и Г. Иванца30,31.
Отметим также, что поведение тригонометрических сумм типа Ван дер Корпута исследовалось Ж .М .Дезуйе32 с помощью компьютеров.
16Виноградов И. М. О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя. Харьков, Зап. матем. о-ва (2), 1918, т. 16, с. 10-38
17Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., Наука, 1980.
18Виноградов И. М.Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., Наука, 1976.
l9Hardy G. Н., Littlewood J. Е. The trigonometrical series associated with the elliptic 0-function. Acta Math., 1914, v.37, p. 193-239
20Corput J. G. Van der Zahlentheoretische Abschatzungen. Math. Ann., 1921, v.85, p. 53-79.
21Corput J. G. Van der. Verscharfung der Abschatzungen beim Teilerproblem. Math. Ann., 1922, v.87, p.39-65.
22Corput J. G. Van der. Zum Teilerproblem. Math. Ann.,1928, v.98, p. 697-716.
23Кузьмин P. О. О некоторых тригонометрических неравенствах. Ж. физ.-мат. о-ва, Ленинград, 1927, №1, с. 233- 239.
24Landau Е. /УЬег eine trigonometrische Summen. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1928, S. 21-24
2SGraham S. W.,KoIesnik G. Van der Corput's Method for Exponential Sums. Cambridge University Press, 1991, 1-119.
26Ivic A. Riemann Zeta-function. Wiley,New-York, 1985.
"Kratzel E. Lattice Points. D.V.W., Berlin, 1988.
28Huxley M. N. Exponential Sums after Bombieri and Iwaniec. Asterisque.Paris, 1991, v. 198-199-200, p. 165-175.
29Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М., Наука, 1983.
30Bombieri Е., Iwaniec Н. On the order of C(| + it). Ann.sur Pisa Norm. Sc, 1S86, v.14(4), p. 449-472
31 Bombieri E., Iwaniec H. Some mean value theorems for exponential sums. Ann.sur Pisa Norm. Sc, 1986, v. 14(4), p. 473-486.
32Deshouillers J. M. Geometric aspect of Weyl Sums. Elementary and Analytic Theory of Numbers. Banach Center Pub. (Polish Sci. Pub. Warzsawa) 1985, v.17, p. 75-82.
Наиболее близким объектом исследования к нашей работе была задача, решенная в диссертации А. Закзака 9. Он нашел асимптотическую формулу для среднего значения функции делителей Дирихле. Другими словами, при 1 < с < ^ он получил асимптотическую формулу
53 Г(И) = сГ1пГ + 27Т - сТ + О
где 7 - постоянная Эйлера.
Другая задача связана с асимптотической формулой для количества простых чисел в последовательности [тгс] 1-гз. Наилучший результат в этой задаче принадлежит Г. Колеснику 6. Он получил асимптотику при 1 < с < |.
Отметим еще одну близкую задачу о распределении последовательности вида [пс] в арифметической прогрессии с растущей разностью. Наилучшие результаты здесь получены Дезуйе 3 и X. М. Абудом 7. Их подход к решению задач, подобной рассматриваемой здесь, к сожалению, ничего не дает из - за наличия в асимптотиках достаточно большого остатка. С другой стороны, в нашей задаче необходимо знать распределение этих остатков в среднем по арифметическим прогрессиям.
Цель исследования. Найти асимптотическую формулу для среднего значения тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натурального ряда чисел.
Общая методика исследования. В диссертации применяется метод сглаживания двойных тригонометрических сумм, принадлежащий И. М. Виноградову, неравенство Г. Вейля - Ван дер Корпута и формула обращения для тригонометричесих сумм И. М. Виноградова - Ван дер Корпута.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и методика исследования могут быть использованы в различных задачах аналитической теории чисел, связанных с оценками тригонометрических сумм, в частности, по простым числам.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на Международных научных чтениях, посвященных 60 -летию со дня рождения А. А. Карацубы, семинарах по теории чисел в МГУ под руководством Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Обьем работы 60 компьютерных страниц, список литературы включает 55 названий.