О распределении значений характеров Дирихле по модулю, свободному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел Мирзорахимов Шерали Хусейнбоевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Короткие суммы значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел 20

1.1. Постановка задачи и формулировка результатов 20

1.2. Вспомогательные леммы 22

1.3. Основная лемма 25

1.4. Теорема о нетривиальной оценке коротких сумм значений ха рактеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел 32

2 Короткие двойные суммы значений характеров Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел 36

2.1. Постановка задачи и формулировка результатов 36

2.2. Короткие двойные суммы значений характера Дирихле от сдви нутых произведений двух чисел, имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера 38

2.3. Короткие двойные суммы значений характера Дирихле от сдви нутых произведений двух чисел, имеющих не очень короткую

сплошную сумму, длина которой не превосходит корня четвёр той степени от длины двойной суммы 42

3 О распределении значений характеров Дирихле в последова тельности сдвинутых простых чисел 52

3.1. Формулировка результатов и вспомогательные леммы 52

3.2. Распределение значений характеров Дирихле по модулю, свобод ному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел 57

Заключение 64

Литература 65

• Вспомогательные леммы
• Теорема о нетривиальной оценке коротких сумм значений ха рактеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел
• Короткие двойные суммы значений характера Дирихле от сдви нутых произведений двух чисел, имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера
• Распределение значений характеров Дирихле по модулю, свобод ному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел

Вспомогательные леммы

Работы И.М. Виноградова по оценкам сумм характеров с простыми числами были продолжены Г.И. Перельмутером [31], который нетривиально оценил нелинейные суммы самого общего вида при числе слагаемых х большем, чем

В 1968 г. А.А. Карацуба [9, 10, 11] разработал новый метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [12] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М.Виноградова доказал: если q — простое, х(а) неглавный характер по модулю q, х q +, тогда Т(х) С xq 1024Є . и применил эти оценки для нахождения асимптотических формул для количества квадратичных вычетов и невычетов вида р + к и количества чисел вида р{р + к)) в арифметической прогрессии с растущей разностью[].

В 1986 г. З.Х. Рахмонов [20, 21, 22] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть D - достаточно большое натуральное число, X — неглавный характер по модулю D, Xq примитивный характер, порожденный характером х, тогда с / П. q _1 \ -г-г Т(х) хт х \ —I—Tl{q\) + х 6r{qi) , q\ = I I p. (7) vqx -L-L v p\D р Уч Если характер x совпадает со своим порождающим примитивным характером Xq, то оценка (3.5) принимает вид T\Xq) ЖІП X \ 1 Ь X V Q х и она нетривиальна при х q(lnq)u.

В 2010 г. Дж.Б. Фридландер, К.Гонг, И.Е. Шпарлинский [24] для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(xq) существует, когда х — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного — характера Xq и всякого є 0 существует 5 О, что для всех х q$ с KJ и KJ JU _ у5+Є имеет место оценка T(xq) С xq . В третьей главе, используя результаты предыдущих глав, а именно: теорему 1.1 о нетривиальной оценке коротких сумм значений характера Дирихле в последовательности сдвинутых чисел по модулю свободному от кубов; теорему 2.1 о нетривиальной оценке короткой двойной суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, имеющих, сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера; теорему 2.2 о нетривиальной оценке короткой двойной суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, имеющих не очень короткую сплошную сумму, длина которой не превосходит корня четвёртой степени от длины двойной суммы, доказываем теорему 3.1 о нетривиальной оценке суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю свободному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел.

Теорема 3.1. Пусть q - достаточно большое натуральное число свободное от кубов, Xq – примитивный характер по модулю q, (l,q) = 1, є — положительное сколь угодно малое постоянное число, Л = Inq, х q

Тогда имеем T{Xq) = / Xq(P 0 Х ЄХР ( — У ) р х Доказательство теоремы 3.1 проводится методом оценок суммы с простыми числами И.М. Виноградова в сочетании с методами А.А. Карацубы [12] об оценке “короткой” суммы T(xq) для простого q,методам З.Х. Рахмонова [27] об оценке “короткой” суммы T(xq) для составного q. Его основу, как уже отмечали, составляют теорема 1.1 первой главы и теоремы 2.1 и 2.2 второй главы. Глава 1

Короткие суммы значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел Постановка задачи и формулировка результатов Берджесс для неглавного характера х(п) по модулю q и фиксированного положительного г получил оценку вида Sy(u) = У Xq(n) У "д +Є5 и—у п и + где q — число свободное от кубов, или г = 2 [28, 29]. Отметим, что эта оценка для модулей свободных от кубов будет нетривиальной при у q При изучении закона распределения значений \q на последовательностях сдвинутых простых чисел вида р — /, (/, q) = 1, возникает задача получения нетривиальной оценки суммы вида Sy(u,rj) = У Xqi71-7]) (77 (?) = 1 и—у пКи (n,q)=l которую назовём суммами значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел. Если q — простое число, то изучение сумм Sy(u,r)) с помощью тождества Sy(u,Tj) = У Xq(n і) Xq( і) / 1 = и—у п и x—y nq x (у (х\ [х— у\\ = Ьу{и — г}) — XQKV) + q q q сводится к суммам Sy(u — г]). В случае составного q суммы Sy(u rj) ранее рассматривались в работах [20, 21, 22, 24, 25, 26, 27] и была получена нетривиальная оценка при У q +. Основным результатом этой главы является следующая теорема о нетривиальной оценке сумм Sy(u T]) для модулей, свободных от кубов q. Теорема 1.1. Пусть q — число свободное от кубов, (rj,q) = 1, у qI+ s, 0,1 о" 0,9, тогда Sy(u,rj) С уехр (—2а aJzf7 . Из этой теоремы 1.1 при о" = 0,6 следует: Следствие 1.1.1. Пусть q — число свободное от кубов, (rj,q) = 1, у q , , тогда 7 Xq(n і) У ехР ( 2v J?f) u-y nu (n,q)=1 Доказательство теоремы 1.1 опирается на известные леммы 1.5 и 1.7. Основное утверждение, позволившее доказать теорему 1.1, содержится в следующей лемме 1.1, доказательство которой проводится методом А.А.Карацубы [9, 10], позволившим ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени.

Доказательство теоремы 1.1 опирается на известные леммы 1.5 и 1.7. Основное утверждение, позволившее доказать теорему 1.1, содержится в следующей лемме 1.1. Лемма 1.1. Пусть (г - вещественное число, г 3 — произвольное фиксированное натуральное число, М, N, d и ц — целые числа, удовлетворяющие условиям (r),q) = 1, N qi+ d i, 0,1 а 0,9, d exp(Jz 2)a, тогда

Теорема о нетривиальной оценке коротких сумм значений ха рактеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В 1938 г. он [2] доказал: если q — простое нечётное, (l,q) = 1, х(а) – неглавный характер по модулю q, тогда

Оценка (3.1) будет нетривиальной, если х q i+ , є 0 - любое фиксированное число, и из нее следует асимптотическая формула для числа квадратичных вычетов (невычетов) mod q вида р — I, р х.

В 1943 г. И.М.Виноградов [3] уточнил оценку (3) и, оценил нелинейную сумму характеров с простыми числами, доказав, что T(x) = С х +G, (3.2) Ti(x) = р х / Х(Р(Р р х 0) С х +G, (3.3) где G = q -і h Ж 6. Последние оценки будут нетривиальными, если х ql+ . Отметим, что оценки (3.1), (3.2), (3.3) представляют исключительный интерес, так как мало что известно даже о распределении простых чисел р в коротких арифметических прогрессиях, то есть в прогрессиях вида p = l(modq), (l,q) = l, p q , здесь А — фиксированное положительное число. В 1952 г. И.М.Виноградов [6] доказал, что Т(%) С х +є ( q x ) . (3.4)

Из этой оценки видно, что она становится нетривиальной, если х q-75+ . Это совершенно удивительный результат. Если к указанной проблеме применять аналитический метод Римана, то естественно ожидать нетривиальной оценки Т(х) в том случае, когда в распределении простых чисел р в арифметических прогрессиях с разностью q наступит “порядок”, а это будет, самое лучшее, при х q2+ , так как из расширенной гипотезы Римана следует, что тт(х] q, І) = \- О (х 5+є) , q — 1 то есть тт(х] q, І) при х q +є. q — 1

Правда, если представить в виде суммы по нулям соответствующих L - функций Дирихле и только потом воспользоваться расширенной гипотезой Римана, то тогда получится оценка Т(%), нетривиальная уже при х ql+ , то есть упомянутый выше результат Виноградова 1943 г. Казалось, что получилось то, чего не может быть. Ю.В. Линник в 1971 г. писал по этому поводу: “Эта оценка имеет принципиальное значение, так как по глубине превосходит то, что даёт непосредственное применение расширенной гипотезы Римана, и, по-видимому, в этом направлении является истиной более глубокой, чем указанная гипотеза (если гипотеза верна)” (см. [30]; с. 29).

В 1953 г. И.М.Виноградов [7] уточнил (3.4), доказав, что \Т{х)\ Сж1+є ((qix l) - + x Q1 ) . Работы Виноградова по оценкам сумм характеров с простыми числами были продолжены Г.И. Перельмутером [31], который нетривиально оценил нелинейные суммы самого общего вида при числе слагаемых х большем, чем

В 1968 г. А.А. Карацуба [9, 10, 11] разработал новый метод, который позволил ему получить нетривиальную оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [12] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М. Виноградова доказал: если q — простое, х(а) – неглавный характер по модулю q, х q +, тогда

и применил эти оценки для нахождения асимптотических формул для количества квадратичных вычетов и невычетов вида р + к и количества чисел вида p(pf + к)) в арифметической прогрессии с растущей разностью[].

В 1986 г. З.Х. Рахмонов [20, 21, 22] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал: пусть D - достаточно большое натуральное число, X — неглавный характер по модулю D, Xq – примитивный характер, порожденный характером х, тогда с П.q _1 -1-1 Т(х) хт х \ —I—Tl{q\) + х 6r{qi) , q\ = I I p. (3.5) у Q x n Если характер \ совпадает со своим порождающим примитивным характером Xq, то оценка (3.5) принимает вид

В 2010 г. Дж.Б. Фридландер, К.Гонг, И.Е. Шпарлинский [24] для составного q показали, что нетривиальная оценка суммы T(xq) существует, когда х — длина суммы — по порядку меньше q. Они доказали: для примитивного характера Xq и всякого є 0 существует 5 0, что для всех х q$+ имеет место оценка

В третьей главе, используя результаты предыдущих глав, а именно: теорему 1.1 о нетривиальной оценке коротких сумм значений характера Дирихле в последовательности сдвинутых чисел по модулю свободному от кубов; теорему 2.1 о нетривиальной оценке короткой двойной суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, имеющих, сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера; теорему 2.2 о нетривиальной оценке короткой двойной суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, имеющих не очень короткую сплошную сумму, длина которой не превосходит корня четвёртой степени от длины двойной суммы, доказываем теорему 3.1 о нетривиальной оценке суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю свободному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел. Теорема 3.1. Пусть q - достаточно большое натуральное число свободное от кубов, Xq примитивный характер по модулю q, (l,q) = 1, є — положительное сколь угодно малое постоянное число, Л = Inq, х q +. Тогда имеем T{Xq) = / Xq(P 0 Х ЄХР ( — У ) р х

Доказательство теоремы 3.1 проводится методом оценок суммы с простыми числами И.М. Виноградова в сочетании с методами А.А. Карацубы [12] об оценке “короткой” суммы T(xq) для простого q, методам З.Х. Рахмонова [27] об оценке “короткой” суммы T(xq) для составного q. Его основу, как уже отмечали, составляют теорема 1.1 первой главы и теоремы 2.1 и 2.2 второй главы.

Короткие двойные суммы значений характера Дирихле от сдви нутых произведений двух чисел, имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера

Теорема 3.1. Пусть q - достаточно большое натуральное число свободное от кубов, Хч – примитивный характер по модулю q, (l,q) = 1, є — положительное сколь угодно малое постоянное число, Л = Inq, х q Тогда имеем [мгКт Мг Mk mk 2Mk тах(м,Ж1) п1 2Ж1 Wfc nfc 2Wfc тіпі---ткпк х, i m\n\---rnknklq)=\ Через [/і = max(it, TVi) обозначим такое число it, при котором модуль подынтегральной функции принимает максимальное значение, тогда \Tk{Xqi М, N)\ С Л \Tk{Xqi М, N)\ , (3.10) где Tk(Xq,M,N) = y /i(mi) У fi(mk) У У Xq(mini ткПк — І), М1 т1 2М1 Мк тк 2Мк U1 n1 2N1 Uk nk 2Nk m1--mkn1--nk x, (m1---mkn1---nk,q)=l Nj Uj 27Vj, j = 1, 2,..., k. Подставляя (3.10) в (3.9), а затем и(3.8), получим Т( ) ) J max T (xg, М, ЛГ)5 (3.11) /г=1 Вводим следующие обозначения: к к MjNj = Y, II MjUj = X, г А ж, Mj xr q , 3=1 3=1 далее, будем предполагать что У жехр ( — 1, 2vJz ) , (3.12) так как в противном случае, оценивая Tk{Xq- М, N) тривиально, будем иметь Tk{Xq-, М, N) С У Т2к(п) С 2 YJzf а;2 ехр ( — 1, 2vJz ) С x n 2fcy :rJz -1exp(-l,2\/j ) ж -6ехр(-\/ Суммы Tk{Xq- М, N), А; = 1,...,г оцениваются почти одинаково. Остановимся на оценке суммы Tr(xq,M,N). Не ограничивая общности, будем считать, что выполняются условия

Рассмотрим следующие возможные случаи значений параметра Ni: 1. iVi 4 2U; 2. (f N\ q % + 2 ; 3. N1... Nk-i q , q N\... Nk q20, A; = 1,..., r; 4. N\... Nr (f. Для рассмотрения случаев 1 и 2 сумму Tr(xq,M, N) несколько преобразуем. Введём обозначения: M1 m1 2M1 Mr mr 2Mr U2 n2 2N2 Ur nr 2Nr m1...mrn2...nr=m Тогда сумма Tr(xq,M,N) в следующем виде: Tr{Xqt М, N) = У 0"m У Xq(mn 0 XU1 YN± . XU 1-1Km -1YN 1-1 U1 n 2N1 mn x, [mn,q)=l В сумме Tr{xq, M, N) интервал суммирования XU m 22r 1YN разобьём на интервалы вида Н m 2Н. Получим не более 2г — 1 сумм вида Tr{xq-, М, N, Н) = У 0"ш У Xq(mn 0- (3.14) Н т 2Н С/1 п тіп(жт-1,2ЛГ1) [mn,q)=l Случай 1. N\ 4+2 . Определяя т 1 из сравнения mm 1 = 1 (mod q), найдём Tr{Xq-, М, N, Н) = У CLmXqi171) / Xq(n П1Я Н т 2Н U1 n mm(xm 1,2Лг1) (n,q)=l Переходя к оценке, получим \Tr(xqiM,N,H)\ У т2гі{т У Xq(n lmq Н т 2Н (m,q)=l U1 n mm(xm 1,2N1) (n,q)=l

Применяя к сумме по п следствие 1.1.1 при г] = 1т1, и = тіп(жт 1,27Vi), у = тіп(жт l, 2N\) — U\ N\, имеем Tr{xq,M,N) C У T2r-i(rn) TVi exp ( — 2vJz J C H m 2H (m,q)=l HJ2r 2 Nx exp -2\/5?) 22r-1YN 1 2r 2N1 exp (-2\/5?) Ciif r exp ( — 2vJz ) C ж exp ( — 1, bvJzf) l+h Случай 2. q Ni q + 2 . Имеем Tr{xq, M, N, H) = у am У Xq(mn 0 H m 2H С/1 п тіп(жт-1,2ЛГі) (mn, /)=l Воспользовавшись теоремой 2.2 при M = H} и = L/I, TV = TVi, с/ = 2(1 — (5) 1 5(5+4(56» 4 и имея в виду, что ато тс{т), при х q2 tfV , получаем Tr{Xqt М, N, Н) С ж ехр ( —1, bvJzf) . Случай 3. Ni... Nk-i qe, qe N\... N q20, A; = 1,..., r. Сумму Tr(xq,M,N) преобразуем, для этого вводя обозначения 0 т = У Mml) / M(mr) / / 1? 3.то Т2г-к()-, Mi mi 2Mi Mr mr 2Mr 4+i nfc+1 2Nfc+1 Ur nr 2Nr m\...mrn]. \...nr=m bn = У ... У 1, bn Tk(n), t/i ni 2Wi Uk nk 2Nk nin2...nfc=n запишем её в виде: Tr{xq-]M1N)= У am У bnXq(rnn — l). X(Ui...Uk) 1 m 22r kY(Ni...Nk) 1 lJ\...Uk n 2kN\...Nk mn x, [mn,q)=l В сумме Tr(xq,M,N) интервал суммирования по т и по п разобьём соответственно на интервалы вида Н т 2Н и V п 2V. Получим не более (2г — к) к сумм вида Tr(Xqi M,N, H,V) = У dm / bnXq(rnn — l). H m 2H V n mm(xm 1,2V) [mn,q)=l Эту сумму оценим, воспользовавшись теоремой 2.1, полагая М = Н, N = V, В = q . 2+26+26+266-\ -j= Из условия рассматриваемого случая и из условия х q 6 v следует, что і -\-25-\-2в-\-25в-\ %= і;-\-25-\-25в-\ %= х х q v q 6»v H AV 2k+1Ni ...Nk - 2k+1 q20 er+1 l+25+259+— =-r- І+25+25Є+-А=Х I +25+259+—Д = q 0-\/2? g2 6»A/ Q g2 6»A/ 6»V q V U\.. .Uk N\... Nk q , І і /\ r / \ i7 /\ — / 9/9\ — #Л з.то Т2г-к{ітї) T ( )? 0n T k\ri) n2 {q )2 = q , то есть выполняются условия теоремы 2.1. Согласно этой теореме имеем \Tr{Xqi М, N, H,V)\ С BHVq exp ( —1, bvJzf) C жехр ( —1, bvJzf) . Случай 4. N\... Nr qe. Покажем, что в этом случае выполняется неравенство M\M i q . Пусть последнее неравенство не выполняется, то есть M\M i qe, тогда из условия (3.13) следует, что г-2 Мз ... Мг (М1М2) 2 . Отсюда, для рассматриваемого случая, из соотношения г 500, а также из (3.7), найдём Y N\... Nr{M\M2) + = N\... Nr(MiM2)2 q 5+ = = дЄ(г-1)-0Щг-4) q9(r-l)-9 щ-в щ-5 exp (\ \[Щ , что противоречит соотношению (3.12). Сумму Tr(xq,M,N) преобразуем, вводя обозначения Йто = У /i(m2)... У fi(mr) У ... У 1, \ат\ Т іг- іічті) M2 m2 2M2 Mr mr 2Mr /i ni 2Ni Ur nr 2Nr m2...mrn\...nr=m bn = У /І(ШІ) У /i(m2), \bn\ т(п), Mx mx 2Mx M2 m2 2M2 к следующему виду: Tr{xq,M,N)= У am У bnXq(rnn — l). X(MiM2) 1 m 2 2r kY(MiM2) 1 М\М2 п АМ\М2 mn x, [mn,q)=l

В сумме Tr(xq,M,N) интервал суммирования по m и по п разобьём соответственно на интервалы вида Н m 2Н и V п 2V. Получим не более 2(2г — 2) сумм вида Tr(Xqi М, N, H,V) = У CLm У bnXq(rnn — l). H m 2H V n mm(xm 1,2V) [mn,q)=l Из условий 2+2(5+2#+2(5#Н -j= по x = q 6»v 5 M\M i (\ , следует, что 1 4 o+2(5+20+2(50H т= T;-\-25-\-250-\ Ж X О2 qr2 6»V l+2(5+2(5 9+— H — эд g V 4M1M2 4g2y 4 то есть выполняются условия теоремы 2.1. Согласно этой теореме, при М = Н, N = V, В = т(п) п2 q , имеем \Tr{xqi М, N, H,V)\ С BHVq exp ( —1, 5v Jz J C жехр ( —1, 5v Jz J .

Из полученных оценок Tk{Xq- M, N), A; = l,...,r, вследствие условия (3.11), получим утверждение теоремы. Заключение Основные результаты диссертации являются новыми, они обоснованы подробными доказательствами и заключаются в следующем: найдена нетривиальная оценка при y q14+ коротких сумм значений примитивного характера Дирихле по модулю свободных от кубов на последовательности сдвинутых чисел; для модулей q – свободных от кубов получена оценка коротких двойных сумм значений примитивного характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел; доказана нетривиальная оценка суммы значений примитивного характера Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел, если только длина суммы является величиной превосходящей квадратный корень от модуля характера являющиеся числом свободных от кубов.

Результаты полученные в диссертации носят теоретический характер, её результаты и методика их получения могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Распределение значений характеров Дирихле по модулю, свобод ному от кубов, в последовательности сдвинутых простых чисел

При изучении закона распределения значений \q в последовательностях сдвинутых простых чисел вида р — /, (l,q) = 1, наряду с задачей получения нетривиальной оценки сумм вида и—у п и (n,q)=l то есть сумм значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых чисел, исследованных в первой главе, возникает также задача о нетривиальной оценке двойных сумм вида W = У ат У bnxq(rnn — l), (l,q) = l, М т 2М ЛГ п тіп(жт-1,2ЛГ) [mn,q)=l где ат и Ъп функции натурального аргумента такие, что \ат\ тс(т) и \Ьп\ тс(п), с - положительное фиксированное число, не всё время одно и то же, Xq – примитивный характер по модулю q. Сумма W называется двойной суммой значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, а при х q - короткой суммой. И.М. Виноградов, впервые изучая сумму W, для простого q получил её нетривиальную оценку при х ql+ а затем нетривиальную оценку короткой суммы W при х q 75+ [3, 4]. Наилучшая нетривиальная оценка для простого q при х q 5+ найдена в работе А.A. Карацубы [12].

З.Х. Рахмонов изучил сумму W для составного q и получил нетривиальную оценку при х ql+ [20, 21, 22]. Нетривиальную оценку короткой суммы W для составного q при х q + в 2010 году получили Дж.Б. Фридландер, K. Гонг, И.Е. Шпарлинский [24]. З.Х. Рахмонов для составного q доказал нетривиальную оценку W при х q + [25, 26, 27].

Во второй главе при х q +, (q - число, свободное от кубов), получены нетривиальные оценки короткой двойной суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел — W, имеющих соответственно сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера (теорема 2.1); не очень короткую сплошную сумму, длина которой не превосходит корня четвёртой степени от длины двойной суммы (теорема 2.2).

Теорема 2.1. Пусть х, М, N, I — целые числа, (l,q) = 1,0- фиксиро А+2(5+2(5 9+—2= Й ванное число, М q 6 v ; N q , ат и Ъп функции натурального аргумента такие, что \ат\ тс(т), где с - произвольное положительное фиксированное число, не всё время одно и то же, и \Ъп\ В. Тогда справедлива оценка W = У ат У bnx(rnn — Ї) С BMNq ехр ( —1,5лЛ5?) . М т 2М N n min(xm-1,2N) (mn,q)= l

Доказательство теорем 2.1 проводится методом работы А.А. Карацубы [9, 10, 11, 12] об оценках коротких двойных сумм значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел — W, имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера. В нашем случае для А+2(5+2(56Ц длины сумм по m, выполняется условие М q 6»v ), применяется также метод работы З. Х. Рахмонова [27] с учётом оценки Берджесса [29]. Теорема 2.2. Пусть х, М, N, U и I — целые числа, (l,q) = 1, U N, ат функция натурального аргумента такая, что \ат\ тс{т), где с -произвольное положительное фиксированное число не всё время одно и то п п 1 гп 2+5(5+4(56)+ „ г— же, и - фиксированное число и 0 и j . Іогда при х q в и q N ж?+ 2 справедлива оценка W = У ат У x(mn —/) С жехр ( — 1, 5v j . М ТП 2М N n min(xm-1,2N) (mn,q)=1

Доказательство теоремы 2.2 проводится также методом работ А.А. Карацубы [9, 12, 13] об оценке коротких двойных сумм значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел — W имеющих сплошную сумму длина, которой не превосходит квадратного корня от длины двойной суммы (в нашем случае сумма по п), в сочетании с методом работы З.Х. Рахмонова [27] и опирается на оценку Берджесса [29].

Короткие двойные суммы значений характера Дирихле от сдвинутых произведений двух чисел, имеющих сумму, длина которой превосходит квадратный корень от модуля характера Теорема 2.1. Пусть х, М, N, I — целые числа, (l,q) = 1, в - фиксиро +2(5+2(56» 2 ванное число, М q е / , N q, ат и Ъп функции натурального аргумента такие, что \ат\ тс(т), где с - произвольное положительное фиксированное число, не всё время одно и то же, и \Ъп\ В. Тогда справедлива оценка