О распознаваемых свойствах ассоциативных алгебр Касапенко, Луиза Юрьевна

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы о существовании алгоритмов для опознавания различных свойств алгебр возникли довольно давно. Іля решения вопросов об алгоритмической распознаваемости свойств лгебр, заданных копредставлением, важным инструментом явля-тся техника стандартных базисов. Первоначально стандартный азнс (базис Гребнера) определен в идеалах свободных коммута-ивных алгебр К[х\,Х2,.. .,„] ( Бухбергер 1965¹, а также 1970²). L.H. Ширшов предложил конструкцию стандартных базисов в сво-одных алгебрах Ли С{х\,х%...,х„) (1962)³. Бергман распростра-ил понятие базиса Гребнера на свободные ассоциативные алгебры ~,{хі,Х2,. -,х_п) (1978)⁴. Систематическое изложение фактов, свя-анных со стандартными базисами сделано В.Н. Латышевым (1988)⁵.

Интерес к стандартным базисам подтверждается публикацией в оследнее время целого ряда статей, посвященных их обобщениям и рименению.

Стандартный базис для супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и цветах супералгебр Ли определен А.А. Михалевым ( 1992⁶, а также )96⁷). В коммутативной алгебре появилась принципиально новая сел» построения базисов Гребнера, разработанная А.Ю. Жарко-jm и Ю.А. Блинковым (1993)⁸. В настоящей работе такие стан-іртньїе базисы называются Р-стандартными базисами.

¹ Buchberger В. An algorithm for finding a basis for *ke residue class ring of a zero-

Tientional polynomial ideal: Ph. D. thesis.- 1965.-Univ. of Innsbruck, Math. Inst.

²Buchberger B. An algorithmical criterion for the solvability of algebraic systems of

iations/1 Aequationes Math- 1970.-.4,N 3.-p. 374-383

³Ширшов А. И. Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли// Сиб.

т. ж.- 1962.- 3,N 2.-е. 292-296

'Bergman G. The diamond lemma for ring theory// Adv. math.- 1978.- 29,N 2.-

78-218. *

⁵Латышев В. H. Комбинаторная теория колец. Стандартные базисы-

:МГУ, 1988.- 68с.

'Mikhalev A. A. The composition lemma for color Lie superalgebras and for Lie p-

leralgebras// Contemprorary Math.- 1992.- 131

Mikhalev A. A. Shirshov composition techniques in Lie superalgebras (Noncommuta-

GSbner bases)// J. of Math, sciences.- 1996.- 80,N 5.-p.2153-2160

Zharkov A. Y., Blinkov Y. A Involutive approach to solving systems of algebraic

aliens/j Proc. of "ЗС'ЭЗ", intern. IMACS symposium on symbolic computations.-

L-. Lille,- 1993.-P. 11-16

Стандартный базис в подалгебрах первоначально определен в свободных коммутативных алгебрах Роббиано, Свидлером (1988⁹), а также Капуром, Мадленером (1989¹⁰) и назван SAG.B/-базисом (Sub-algebra Analogue to Grobner bases for ideals). В подалгебрах свободных ассоциативных алгебр это понятие определено Н.К. Иыуду (1999^й).

В.Н. Латышев^{12 13 14} предложил обобщенную версию стандартных базисов, которая содержит в себе все вышеупомянутые. Она позволяет строить стандартный базис в подполигонах линейных полигонов, в частности, в идеалах алгебр со строгой фильтрацией и в подалгебрах мономиальных алгебр.

Ряд распознаваемых свойств ассоциативных стандартно конечно-определенных (с.к.о.) алгебр указан В.Н. Латышевым и Т.Гатевой-Ивановой (1987¹⁵, 1988¹⁶). В монографии (1995¹⁷) А.Я. Беловым, В.В. Борисенко, В.Н. Латышевым рассмотрено распознавание некоторых свойств автоматных алгебр, в том числе распознаваемость делителей нуля и нильпотентных элементов. В (1995¹⁸) доказана

⁹Robbiano L., Sweedler М. Subalgebra bases// Comm. algebra. Proc. of the work-shop held at the Federal Univ. of Bahia, Salvador, 1988.- Lect. notes Math.- 1990.- 1430.-

p. 61-87

^l0Kapur D., Madlener K. A completion -procedure, for computing a canonical basis for a K-subalgebra.// Computers and Mathematics, Cambridge, MA- 1989,Springer,New-

York, Berlin.-p. 1-11

"Иыуду H. К. Стандартный базис и проблема вхождения в подалгебры свободной ассоциативной алгебры// Межд.алг.сем.,посв. 70-летию каф. высш. алг.

Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

¹²Latyshev V. N. Canonisation and standard bases of filtered structures Transactions of the second intern. Taiwan- Moscow algel ra work-shop.- 1997,Berlin,New-York

¹³Latyshev V. N. General version of standard bases of linear structures// Algebra. Proc. oftheintern.alg.conf. on the occasion of 90th birthday of A. G. Kurosh, Moscow,May 25-30, 1998.- 2000, Berlin

¹⁴Latyshev V. N. An improved version of standard bases// Proc. of the 12th intern. conf. FPSAC'OO, Moscow, June 26-30, 2000

¹⁵Gateva-Ivanovcf T. Algorithmic determination of the Jacobson radical of monomial

algebras/ Preprint.- 1987,Sofia

¹⁶Gateva-Ivanova Т., Latyshev V. N. On the recognizable properties of assosiative algebras// Special vol. of J. S. C: On сотр. aspects comm. algebras. London: Acad. Press- 19S8.-p. 237-25,4

"Belov A. J., Borisenko V. V., Latyshev V. N. Monomial algebras// Contemp. math.

and its app].,Plenum,New-York- 1995.- 26p. "Иыуду H. К. Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания дели-

распознаваемость свойства элемента быть односторонним делителем нуля в классе алгебр с односторонней 1-переработкой. Алгоритмическая распознаваемость одностронних делителей нуля в классе алгебр с односторонней ^-переработкой, где R - натуральное число, доказана Д.И. Пионтковским¹⁹.

В (1999²⁰) положительно решена проблема вхождения в подалгебру свободной ассоциативной алгебры 1С(хі,хг,...,х_п), порожденную конечным числом однородных элементов, с использованием техники SAGBI-базжов. В (1992²¹) У.У. Умирбаевым показано, что для подалгебр в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга проблема вхождения и проблема распознавания свободной порожден-иости заданным конечным множеством элементов алгоритмически неразрешимы. В случае, когда подалгебра в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга порождается конечным числом мономов, данная проблема алгоритмически разрешима²².

Цель работы. Распространить технику стандартных базисов на подалгебры конечно - определенных мономиальных алгебр и алгебры со строгой фильтрацией; получить положительное решение ряда алгоритмических вопросов в подалгебрах мономиальных алгебр и алгебрах со строгой фильтрацией.

Методы исследования. Техника стандартных базисов в подалгебрах мономиальных алгебр и в алгебрах со строгой фильтрацией, общие методы теории колец, комбинаторные методы.

Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений, выносимых на защиту.

Научная новизна. Получено положительное решение ряда алгоритмических вопросов и продемонстрирована техника стандартных

телей нуля в одном классе алгебр// Фунд и.прикл. мат.- 1995.- 1,N 2.-е. 541-544

¹⁹Пионтковский Д. И. Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах // в печати

²⁰Иыуду Н. К. Стандартный базис и проблема вхождения в подалгебры свободной ассоциативной алгебры// Межд.алг.сем.,посв. 70-летию каф. высш. алг.

Москва, февр. 1999.: Тез. докл. -Москва, 1999.-е. 29-31

''Умирбаев У. У. О проблеме вхождения для свободных ассоциативных алгебр// 11 Межресп. конф. по мат. логике, Казань, 6-8 окт., 1992: Тез. сообщ. - Казань, 1992. - с. 145

²²Саломаа. А. Жемчужины теории формальных языков.-М.Мпр, 1986.- 159с.

базисов в алгебрах со строгой фильтрацией и в подалгебрах моно-миальных алгебр.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритмическая распознаваемость свойств конечномерности, алгебраичности, ниль- и нильпотентности фактор - алгебр строго - градуированных алгебр специального вида.

2. Алгоритмическая распознаваемость левых делителей нуля в ассоциативных диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией специального вида по модулю конечнопорожденного правого идеала.

3. Алгоритмическая распознаваемость левых делителей нуля в универсальных обертывающих алгебрах конечномерных алгебр Ли по модулю конечнопорожденного правого идеала.

4. Равенство ниль - радикала и радикала Джекобсона для строго - градуированных алгебр специального вида.

5. Алгоритмическая распознаваемость типа роста стандартно конечно - определенной алгебры Ли.

6. Критерий определения того, является ли предъявленная конечная система полиномов Р - стандартным базисом порожденного ею идеала в алгебре полиномов.

7. Алгоритм определения по заданному конечному множеству порождающих полиномиального идеала того, что его Р - стандартный базис бесконечен.

8. Алгоритм построения Р - стандартного базиса полиномиального идеала исходя из конечного множества его порождающих в случае, когда Р - стандартный базис конечен.

9. Для подалгебр, заданных конечным SAGBI - базисом в конечно - определенной мономиальной алгебре, существует алгоритм распознавания конечномерности и свободной порожденное заданными элементами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы

при создании систем компьютерной алгебры, а также специалистами, работающими в области алгоритмической и компьютерной алгебры.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на

двенадцатой международной конференции "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" ( Москва, 2000 );

научно - исследовательском семинаре кафедры алгебро - геометрических вычислений Ульяновского государственного университета;

на ежегодных научно - практических конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.

Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором лично.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1], [2], [3], [4], перечисленных в конце настоящего реферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, семи параграфов, приложения и списка литературы из 42 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем — 77 страниц.