Введение к работе
Актуальность теш. Задача приближения вещественных чисел рациональными числами - одна из важнейших задач теории диофантовых приближений. Она занимает достаточно важное место в современной теории чисел и органически связана с теорией алгебраических чисел, теорией трансцендентных чисел и теорией диофантовых уравнений.
Начало теории аппроксимации алгебраических чисел рациональными числами положил Ж. Лиувилль, опубликовавший в 1844г. ее первую теорему, дающую достаточный признак трансцендентности числа. В 1909г. А. Туэ получил первое усиление теоремы Лиувилля. Дальнейшие усиления теоремы Туэ между 1921г. и 1955г. были получены последовательно К.Зигелем, Ф. Дайсоном, А.О. Гельфондом. Существенное продвижение в проблеме приближения алгебраических чисел рациональными получил К.Рот в 1955г.
Задачи, связанные с выяснением арифметической природы классических постоянных, с древнейших времен привлекали внимание математиков. В этой связи отметим, что трансцендентность неперова числа е была доказана в 1873г. Ш. Эрмитом, а в 1881г. Ф. Линдеман, пользуясь методом Эрмита, доказал трансцендентность числа %. В настоящее время теория трансцендентных чисел - достаточно стройная и глубоко развитая математическая теория.
Проблемы теории диофантовых приближений решаются, в основном тремя аппаратами. Это принцип Дирихле, ряда Фарея и цепные дроби.
Поскольку приближенные значения действителльного числа, даваемые аппаратом цепных дробей, являются, в известном смысле, наилучшими, то задача разложения действительного числа в цепную (непрерывную) дробь, является очень важной в теории диофантовнх приближений. Однако до настоящего времени неизвестно разложение в цепную дробь ни одного алгебраического числа степени выше 2. Более того, неизвестно, может ли такое разложение иметь ограниченные элементы, или, наоборот, неограниченный ряд элементов и т.д. Эти задачи исключительно трудны и почти еще не изучены. Поэтому в последнее время внимание числовиков привлекают вопросы, связанные с выяснением арифметической природа цепных дробей, элементы которых растут по определенным закономерностям. Достаточно интересны проблемы, касающиеся вияснення наилучших приближений как для классических постоянных, так и для трансцендентных чисел, не являющихся числами Лиувилля и Рота.
Отметим в этом направлении прежде всего работы К. Зигеля, Г. Веббера, К. Дэвиса, Ж. Шиокавы, О. Такеши и др.
Цель настоящей работы - продолжить этот круг
исследований по цепным дробям. Точнее говоря, перед нами
стоят задачи:расширить класс непрерывных дробей, связанных с
числом е и найти для них наилучший порядок приближения;
1 получить разложение в арифметическую цепную дробь для tg^- и
найти для него наилучший порядок аппроксимации; разложить в
1 непрерывные дроби некоторые числа, выражающиеся через tg- и
найти для них наилучший порядок приближения; определить
наилучший порядок приближения для цепных дробей, элементы
которых растут по какимто заданным закономерностям; исходя из порядка приближения, установить трансцендентность одного класса цепных дробей; построить цепные дроби, допускающие заданный порядок приближения.
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются:
1. Установлены ' тождества, связывающие некоторые
квадратические иррациональности и ряды, общие члены которых
выражаются через произведения чисел Фибоначчи, а также
тождества, представляющие цепные дроби с арифметическими или
геометрическими прогрессиями в виде отношения рядов.
2. Получены разложения в цепные дроби для некоторых
трансцендентных чисел, являющиеся комбинациями числа е и
найден для них наилучший порядок приближения.
3. Получено разложение tg^-, а е N в арифметическую
цепную дробь и найден для него наилучший порядок приближения.
4. Получены разложения в арифметические цепные дроби
для некоторых трансцендентных чисел, которые выражаются
1 через tg^~ и найден для них наилучший порядок приближения.
-
Получен наилучший порядок приближения для цепных дробей, элементы (или подпоследовательности элементов) которых растут по арифметической или геометрической прогрессии.
-
Установлена трансцендентность одного класса цепных дробей, неполные частные которых растут быстрее показательной функции.
-
Построены цепные дроби, допускающие заданный порядок
аппроксимации.
Все основные результаты, выносимые на защиту, являются новымии получены самостоятельно.
Теоретическая и практическая ценность, диссертационная работа носит теоретический характер. Почти все полученные результаты имеют практические приложения в приближенных вычислениях. Результаты диссертации могут быть включены в спецкурсы для студентов-математиков.
Методы исследования. В работе используются классические методы теории чисел (метод "рекуррентных соотношений" Эйлера, Ламберта и др.), методы доказательства трансцендентности чисел, основанные на теоремах Зигеля и Рота.
Применен новый подход для нахождения неполных частных разложений алгебраических иррациональностай вида
Апробация работы. Все основные результаты обсуждались по мере их получения на семинарах по теории чисел в Тбилисском госуниверситете, на семинарах по диофантовым приближениям в Московском госуниверситете им. М.В. Ломоносова, на семинарах по алгебре и анализу в Северо-Осетинском госуниверситете, докладывались на республиканских, всесоюзной (Тбилиси, 1985г.) и 3-ей международной (Тула, 1996г.) конференциях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав исписка литературы. Объем работы составляет і' *> страниц машинописного текста. Библиография включает 110 наименований.
Публикации. Основные ре-зультаты диссертации
опубликованы в работах 1 - 11.