О проблеме делителей Дирпхле и её аналогах в числовых полях Пантелеева, Елена Ивановна

Введение к работе

Актуальность темы. При решении многих задач теории чисел приходится исследовать поведение рядов Дирихле

foe _р

f(s)- а_лп (a_n,seC),

а также тесно связанных с ними функций

/7 «О"

называемых сумматорными функциями коэффициентов ряда Дирихле.
Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция
Римана 5" (S) , при Res у' і определяемая равенством

k -я степень S fSj дзота-функции при l\9SP{ представляет собой ряд Дирихле

А +* s

n—i * где Zfctn) - .число представлений /7 в виде А натуральных сомножителей /при П=2 Т_г(п) = Т(Л) - число натуральных делителей П /. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда

За (*!=*&. Т_А (П)

есть число натуральных решений неравенства sr_f ...# -^-т _t или, что то же, число целых точек под гиперболической поверхность!) or, ... ~# — * /при Ґ1=2 под гиперболой crjur^—oc j. Задачу об асимптотической оценке суммы «5U (зс) принято на--зывать проблемой делителей /Дирихле/.

Классические теоремы ПДирихле ' и Э.Ландау' позволяют получить асимптотическую формулу

3)_k (а) - jc% (іорос) + О (ее ^^),

где И - многочлен- степени k-J , >0 - произвольно малое фиксированное число,

djb ^/- A , fizz.

' Дальнейшая история оценок J. >, такова:
c/A^/-/A+/J , &7у2. /Т..Вороной^3/ и ЭДандау^2//,
^_k^/-3(P + 2j~ , А*У /Г.Харди и ДДиттлвуд^4//,

^l/'ZDislchPet P. Wez die bestlmmung с/ег mliiiezen bleste in с/р2 ZahPpnihpozie j/ JS/>. JAad. №ss. >eztn. W9. к/егАе2. S. У9-66.

^2//landay . г/без die AnzothP с/рг Gittes/iunkte in gewissen Вегеїслеп //Jac/is./lfiadtfLss.ffottLngen. Maih-Ptys.HLj9i2.Hfi.B.S.6f?-7?J.

3/ 'Вороной Г.Ф. Об одной задаче из теории асимптотических функций // Собрание сочинений в трех томах. Т.2 / Киев: Издательство АН УССР, 1952. С. 5-50. ^Ц/'Иагс/у tr.H.,LLltbwoodJ.E Тпе ар/ігохітаіе functional equation in {he iheosy of the ге/а- function, і^/і/л crppfLcaiLons to ihe dii/L-soz p?o>em of MzlchPet and Ptftz // Piac. London Math. Soc. Ses.2.J92. V..2J: P. 59-7V.

J_k « 1- З А " , htt /Д .Хис-Браун^5/7,

_</^^J-J65(2_<pA)~^J ,k?sJ20 /А.Ивич⁶//.

Все эти результаты имеют вид

Jb^ i-c₀k , A?A₀ , /I/

где ^ , /r^, - абсолютные' постоянные.

Г.Рихертом ' для фиксированного А?/$₀ и А.А.Карацубой '
равномерно по А для 2 «" А ^ loQ эг была получена

оценка а другого вида:

Jfi^J-ctt", Аъг, /2/

где С ~ абсолютная постоянная.

Ясно, что оценка /2/ принципиально лучше оценки /I/, но»

5/

' Heath-P>sown S)./?. Mean va/yes of the ?eta-function and dirisos n?oi>/ems // fiecent P?oo?ess in AnaPyhc лїитбег Theozy, Sum/iosium 3)uzham jff?p. )/.1/ lona'on : Acac/pmtc P?ess, /9f/. P. JSS-jyp.

' DvLc A. Some new estimates In ihe SQLvichPet diviso? /t?oPem // /Ida /jpithm. /Р/р. і/. S,

d3. P. 2VJ-253.

7/ ' fiicheH //.'- Einfu?ung in die ТАеогіе dp?

starfien files г scA en Sunrnile?3a?Aeit wo/?

ЯІйсА Pet ?e then // */ac/>?. /fAac/. Іл/iss. /Po'HLngen.

/lath.-Phus. //P. mo. P. /?-?5.

'Карацуба АД. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т.36, » 3. С. 475-483.

_ 4 -

так как известные на сегодняшний день значения константы С ма- .

лы, то /2/ становится лучше /I/ лишь при достаточно больших А

1ак, А.Ивич⁹/ показал, что

Это лучше оценки

с/_А <Ч- J65 ('2<Р4/ , А 7,120

лишь при А > 26 Ю ,

Отсюда естественным образом вытекает задача улучшения константы С . Полученная А.А,Карацубой ' формула для ее вычисления

имеет вид

C-S. (2а/ , *?s2, /3/

где Of - константа из оценки дзета-функции Римана в критической

полосе:'

при Ш ^2 , {^6^4

at(j-6f_t #,
Xfe-tU) ^Ш fog /-і/. /v

Улучшения константы С можно достичь двумя путями: во-пер-. . вых, улучшением вида формулы, связывающей величины С и Of % во-вторых, улучшение^ самой константы а из оценки ,5" (S) , Решением первой задачи занимался, например, А.Фудмг ', который получил для С формулу

^9/JucA. 7he Яіетапп геіа-/unci'ion. J. Witey 4

Sons. dew ҐогА, /9fS.

^IfujUA. On Ш рюбРет of divisots // /Ida Ariih: /P?6. 1/.3J. Р.з55-эж

с=(&ґ(ії-і)*а~*, fob. /з/

Решением второй задачи занимались такие авторы, как В.Стае,

II/ ^ys

Г.Рихерт, П.Туран. Так, В.Стае ' доказал, что Г=2 для

-/3 _. тр /

/—«? 5^ О 5" У . Г.Рихерт ' получил уже оценку Л/ с
CX=?JOO . Наконец, П.Туран ^J' опубликовал результат Of—39 .
Исследование поведения дзета-функции Римана в критической
полосе тесно связано с изучением тригонометрических сумм вида
it Л

21 п ,-Л л ,

называемых дзетовыми суммами. Подобіше сумки встречаются уже в работах К.Гаусса. Исследованием таких сумм занимались Г.Вейль, Г.Харди и Д.Литтлвуд. Существенно новие результати были получены і> 1950 году Н.М.КоробоБым *' и И.М.Виногрр.дознм^х ' . Именно,

^u Si as lV. 2/Ses с/ег Ve з/і alien с/ег Rlmannschpn t- FunPiion and linioss і/еги/апс/ЇР? PunAicon in о'є>г л/ahe t/рг ire?aden ^=//if^ /hiihm.

J9S2. л>-7. P 2/7-S3V.

'' filchРгі И.-Е. uz dSscAcrtzunig с/ез /Plenncn.n-

schen Zpta-JiunftiLon in dpg/i/ahpc/p? l/p?tifra/en

6^ j //Afa^h. Ann. /967. S. /69. H/i. У- S. 97-jos.

13/ —

ju?crn P On samp ?pcem! "PS-v/'/s in 1/lP a-ncr-

I'uii$& 1/wo'cU of numSeps//Pt-oc. Svsr?/?. /b?p

Moih. XX , /ye 9 /Леи/ Уо?/} : ^7/S, Jnst'iiuip o/ лЬтбе? T/hoo?t/, J9?J. P. -359--27'/.

'Ксробсв H.M. Оценки тригонометрических сумм и их приложения И Успехи матем. наук. 1958. Т.13, вин. '; ( 62 ) . С. I&5-I92 .

/Виноградов И.;.[. Новая оценка ^(.1fli) // Изз. АН СССР. Сер. матем. 1953. Т.22, Г- 2. С. І6І-Ші.

было доказано, что

при 2^2о , г

, -2

2. п «// , /б/

где о/₀ - абсолютная положительная постоянная* Опубликованная А.А.Карацубой ' формула

a-=C3_i/3J~'j~ (Jl-CJo),

связывающая константы О из /4/ и с/л из /6/, показывает, что всякое продвижение в оценке дзетовой суммы влечет за собой улучшение оценки Z (S) в критической полосе.

Подчеркнем, однако, что оценки дзетовых сумм-имеет и другие применения в теории чисел. Например, оценка /6/ позволяет уточнить сведения о поведении (S) на прямых KPS*=1 и ЙВ = т , что ведет к улучшении остаточных членов в асі п-тотическом законе распределения простых чисел.и в задаче о попадании простых чисел в интервалы малой длины.

Обобщением проблемы делителей Дирихле является проблема делителей в числовых полях, в частности, задача о.б асимптотической оценке суммы

которая является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле

l/sJjk:hMAi^ssg_f^cn^r' >

КарацуСа АJL Оценки тригонометрических сумм методой И.М.Ви-ноградова и их применение // Тр. Матен» ин-та ии»Б.А,Стекло-ва АН СССР. 1971. Т.112. С. 242-255. '

.--7-гдв ^/SfT'j) ,...,іа№,7д) - L -функции Дирихле с характерами Дирихяе Я/ ,.., 0(fi і

Классическими в этой области являются результаты ЭЛандау ', который получил асимптотическую формулу

Z Cn^fos 5 -tUlx J > ПІ

n^oc S—J

где otfi *?/—2(A+J) , ЬУ/2 , У О -произвольно

малое фиксированное число.

АЛ.Карацуба ' получил для dfa оценку

-Z

где, как и в ПI, Я - фиксированное натуральное число, #у , » ЯД - характеры Дирихле по фиксированным модулям аО_у , » (0л і Cj - абсолютная положительная постоянная.

. В связи с изложенным выше становится актуальной задача получения более точной информации о поведении остаточных членов проблемы делителей Дирихле и проблемы делителей в числовых полях, а также связанная с этим задача получения новых оценок дзета-функции Римана, L -функций Дирихле и некоторых тригонометрических сумм специального вида.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

получение новых оценок дзетовых сумы и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым;

исследование поведения 5 -функции Римана и L -функций Дирихле в критической полосе;

'Карацуба А.А. Проблема делителей Дирихле в числовых полях // Докл. АН СССР. 1972. Т.204, № 3. С. 540-541.

- уточнение оценки остаточного члена, равномерной по всем

, в проблеме делителей Дирихле и получение равномерной по веек 2^k^ioooc ,/^0^(^^.,^1^^-^ оценки остаточного члена в асимптотической формуле для с~С С_п—

— cZI 7j(^j)'..:/lh(^R) I а, ,..., Ah - характеры Дирихле
п^-п^сс ^{н н}

по модулям ^<>у ,...» 3)& /» из которой следуют новые оценки остаточных членов проблемы делителей в квадратичном и /77 -круговом полях.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссерта
ции, являются новыми. Получена новая оценка дзетовой суммы и
улучшена оценка дзета-функции Римана в критической полосе;
улучшен остаточный член в проблеме делителей Дирихле; впервые
равномерная по всем 2^n^tOgor оценка остаточного

члена получена в асимптотической формуле для

причем здесь учтена возможность некоторого роста модулей 3)j,..., cDp, » по которым рассматриваются характеры Яу , ..., 9(д і это позволило улучшить остаточные члены проблемы делителей в квадратичном и т-круговом полях; лри этом получены новые оценки Z -функций Дирихле и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым.

Методы исследования. В работе использована совокупность методов, разработанных в этой тематике: метод Вейля-Харди-Литтлвуда и метод И.М.Виноградова оценки тригонометрических сумм, методы действительного и комплексного анализа, теория рядов Дирихле и др.

Теоретическая и практическая значимость» Работа* имеет
теоретический характер и вносит вклад в решение одной из клас
сических задач теории чисел. Результаты диссертации и сообра
жения, с помощью которых они получены, могут быть использованы
в дальнейших исследованиях, посвященных проблеме делителей и
связанным с ней вопросам.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Всесоюзной школе "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" /Минск,'1969 г./, на республи- ' канской научно-теоретической.конференции "Теория чисел и ее приложения" /Ташкент, 1990 г./, на Ленинских чтениях в МГШІ имени В.И.Ленина, на научно-исследовательском семинаре кафедры теорій чисел МГУ имени МЗ.Ломоносова, на аспирантском семинаре кафедры теории чисел МПГУ имени В.К.Ленина.

/ Объем работы.- -Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы 118 страниц машинописного текста, из них 112 страниц основного текста, список литературы включает 56 названий.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 13 - С ?3 » ^список которых приложен в конце автореферата.